Discussion du mouvement. — i"" Les

seconds membres des équations qui donnent r^ ou y et z ne contiennent que la variable p dans laquelle entre la

constante x = ^j ; ce coefficient x caractérise le

KjO

projectile au point de vue de sa rotation dans lair.

L'angle constant o^ de l'axe et de la tangente n'entre que dans le coefficient [jl^ =[k — ijo^.

On voit que, pour un même projectile (x constant)^ les trajectoires gauches qu^ il peut décrire ont des ordonnées y et z proportionnelles à V écart constant 5^.

2^ Projection horizontale . Points d' inflexion, — A Fori-

gine, Oi = G. Formons -j^ qui a pour expression :

dr cF

dx '' v'

Yj^ croîtra tant que le sinus restera positif, c'est-à-dire jusqu'à la valeur x(Vq — u) = tt où le sinus s'annule.

A ce moment, tj^ passe par un maximum ; il décroît ensuite jusqu'à la valeur x(V^, — y) = 2 tt qui annule le sinus et où yj^ présente un minimum^ et ainsi de suite.

Aux maxima et minima de la courbe des (z, r\^ correspondent pour la projection horizontale (2, x) de la trajectoire des points d* inflexion.

Deux points d'inflexion d'ordre p et p -\- i sont séparés par un intervalle tel que de F un à F autre la

DÉRIVATIO:* DES PROJECTILES OBLOISGS 360

perte de vitesse du projectile satisfasse à l'équation :

Comme, pour une même perte — de la vitesse, les

parcours x des projectiles sont d'autant plus grands que la vitesse initiale v^ est plus faible, les points d^inflexion s'espaceront de plus en plus, à mesure que le projectile avancera, en perdant sa vitesse.

3° Maxima et minima de la projection [zx) . — Nous voulons démontrer maintenant qu'entre deux points d'inflexion de la courbe {zx)^ existe une valeur annulant Tj2 c'est-à-dire rendant la trajectoire parallèle à l'axe des X,

En d'autres termes, il s'agit de démontrer que la trajectoire aura la forme II et non la forme I.

A cet effet, étudions les intégrales :

= / sin p — ^ et ï"" = /

qui sont les aires hachées entre l'axe des p et les courbes L et L dans les deux fisrures ci-dessous.

On trouve la discussion de ces intégrales (qui appartiennent à la même famille que les intégrales de Fresnel) ou, tout au moins, de la première, dans les Traités d'analyse * ,

* BoussiNESQ, t. II, Compléments, p. ii8; Humbert, t. I, p. 3o6.

Fig.

cosp

cfp

Elles se composent d'un nombre infini de boucles successives, de base égale à k et de hauteur décroissante

Fig. i52.

à mesure que p croît. Les intégrales définies telles que

sont développables en séries convergentes à termes

alternativement positifs et négatifs et on démontre même que Tune d'elles

1= / sm — ^

a une valeur égale à

iw

Ceci posé, prenons un intervalle égal à tt et supposons, pour fixer les idées et simplifier les raisonnements, que Pq soit égal à [ip + i) -^ de sorte que cos 0^ est nul. Alors r\^ sera donné par la formule simple :

— = — sin o„ /

/• t/Po

cos p

Je dis que de A. en B, dans Tinter valle tc, Tintégrale a changé de signe.

Elle est d'abord positive jusqu'en C, puis à partir de G une partie négative s'y introduit ; mais, d'après ce qui a été dit, les boucles vont en grandissant vers Torigine.

nx

(ntrpc (n-tz)x

Fig. i53.

(ntSJX

Donc la demi-boucle CB sera plus grande que la demiboucle CA et par suite Y intégrale sera devenue négative en B.

Ainsi yIj s'annulera en M avant d'arriver au milieu B de la boucle DC ; on démontrerait de la même façon qu'il s'annulerait en M entre D et E, mais, relativement un peu plus près de E que de D, et ainsi de suite. Cette espèce de balancement des points où vj^ s'annule donnera naissance sur la courbe (zx) à des maxima et minima groupés par deux.

5** Forme de la projection horizontale. — En partant du point 0, la courbe est tangente à l'axe des x ; l'inclinaison Tj2 est positive et croît. Les deux forces qui agissent sur le projectile (200,1°) sont opposées. En ap

après une perte de vitesse — se trouve le premier point

d'inflexion et en m^ le premier maximum.

YI2 change alors de signe ; les deux forces deviennent

toutes les deux de même sens et tendent à rapprocher le centre de gravité de la tangente rectiligne Ox.

Suivant la grandeur actuelle de la somme des forces relativement à leur différence antérieure, et suivant la

durée de leur action qui dépend de la valeur p à Torigine, deux cas pourront se présenter auxquels correspondent les deux figures ci- dessus. Dans Tune la trajectoire revient couper l'axe des x ; dans Tautre, elle reste constamment du môme côté. En vertu de l'alternance des forces et de la décroissance régulière de la vitesse, il se trouvera en général que le projectile passera tantôt d'un côté, tantôt de l'autre du plan de projection, et que par suite le cas de la figure I sera le plus ordinaire.

6° Projection verticale.

On a :

Fig. 154.

c?7)y cF

cosx(Vq — v).

La discussion et la forme de la courbe sont les mêmes que dans le cas précédent; mais les points d'inflexion correspondent aux valeurs qui annulent le cosinus, c'est-à-dire aux arcs.

TU

*^(Vo — ^) = (2/^ + l) — .

Ils correspondent à une perte de vitesse

Vq — v=[im-\- \) — ,

2o3. Figuration du mouvement- — La discussion précédente permet de représenter, à la façon de la géométrie descriptive sur trois plans perpendiculaires, les

^?Oi.:.

I^K^Forme

Fig. i55*.

2 ^ Forme

projections de la trajectoire gauche du centre de gravité du projectile.

* Erratum à la figure 155. Au lieu de ^ lire partout X.

On rappelle qu'on a pris (199) pour plan vertical {xy)^ le plan qui, à Torigine des temps, pour une vitesse initiale appelée V^, contient Taxe du projectile et la trajectoire horizontale.

Les deux projections présentent des singularités (maxima et points d'inflexion) qui ne se retrouvent évidemment pas sur la trajectoire elle-même. Celle-ci est une sorte d'hélice dont la projection, pour un observateur placé derrière Tarme, est figurée en haut des figures et qui serpente (fig. 2), autour de 1 horizontale.

204 Conséquences de cette théorie. — Si on ne veut pas pousser la théorie jusqu'aux applications que les formules établies rendent possibles, mais qui exigeraient le calcul numérique préalable de quelques intégrales, la discussion précédente permet cependant . d'interpréter dans tous leurs détails les

s. expériences de tir au panneau.

^^v i^ Ainsi, on saura que la distance

I ) ) ] à l'axe des x des courbes relevées

w^ expérimentalement sert de mesure à

^ l'angle S^, d'écart initial entre l'axe

„. ^ et la tangente. Ces courbes passent

toutes par les mêmes points de Taxe des X (fig. i56).

2" Ces courbes ont une certaine périodicité dans leurs formes et l'intervalle de deux points d'inflexion p et p -\- I correspond à une perte de vitesse fixe :

JV — »'p+i = 7

3° Cet intervalle, qu'on peut déterminer expérimen

talement, permet le calcul de la constante k = -^ —

qui figure dans la théorie de la dérivation.

4^ On voit que les empreintes d'un projectile oblong sur les panneaux seront ou parfaitement circulaires, s'il arrive que les maxima ou minima des deux projections coïncident ou au contraire avalisés dans un sens ou dans l'autre lorsqu'on passera aux points d'inflexion des courbes. C'est ce que représente la figure 1 55 ( i ^® forme) (ovalisation systématiquement très exagérée).

5** La théorie explique très simplement ainsi le mélange d'empreintes ovales et circulaires que Ton relève sur les panneaux. Malgré les incidences diverses sous lesquelles le projectile rencontre les panneaux parallèles, il se présente toujours à l'air dans les mêmes conditions, le long de la trajectoire sinueuse qu'il décrit, et son axe fait avec la tangente l'angle constaat ù^.