I -=-; -4-/-Ï- + G 6 = Asm tuf
dt1 J dt
I est, suivant les cas, une masse ou un moment d'inertie. C et A sont, suivant les cas, une force ou un couple; fa, suivant les cas, les dimensions d'une force ou d'un couple multipliées par un temps.
A. Considérons l'équation privée de second membre. Nous savons qu'elle admet pour solution
Les oscillations sont isochrones, de période T' et décroissent en progression géométrique.
Quand le frottement est nul, /— o, la période devient
^~2"\/r' ^e S0D '^' saPPe^e son propre du corps; le
son T s'appelle, nous verrons tout à l'heure pourquoi, son de plus forte résonance.
On démontre que, si le frottement reste petit, les sons T et T' diffèrent extrêmement peu; la durée d'oscillation est à peu près indépendante de l'amortissement.
L'amortissement pendant une période est mesuré par le facteur e/I" ou très approximativement e~'J.
itions
6 = 80e-*'sinQ'f,
Soient 6, et 6, les amplitudes du même côté de la position d'équilibre pour deux oscillations consécutives; le mobile y arrive pour des temps t et t -\- T'. On a
e1 ; e,= e,r = i + xr,
si l'amortissement n'est pas trop grand. Nous posons
e,-ea ==ô = xr==ZI' =/Z.
0j al '" al
Au même degré d'approximation
B. Rétablissons maintenant le second membre. La solution générale se compose de deux termes : d'abord du terme précédent qui s'annule généralement vite, puis d'un terme périodique non amorti qui constitue la résonance. L'équation différentielle est en effet vérifiée par le mouvement
0 = — 7 — sin(w< — e)= 60 sin(w£ — e), tangE = ^-^ rr*
fut Li — OJ- 1
j 17. Discussion de la solution périodique non çmortie. —
,i ' r Le mouvement excité a donc la même période : = 2^: w
^ ,. \ y-que le son périodique simple excitateur. L'amplitude 60 du
cw*'- ^ mouvement excité est proportionnelle, toutes choses égales
^-} ^ * d'ailleurs, à l'amplitude de son excitateur. Elle est maxima
pour sini = i. On a alors C = w2I. La période t est alors
égale à ce que serait la période du son propre, si le frotte-
,^inent était nul. C'est pourquoi le son T = 2-yï : G s'ap-
'/■.*'• pelle son de plus forte résonance. Posons 2 = 2t : T; il
vient
tançE =
Il existe toujours une différence de phase t entre le son excitateur et le son excité; quand l'excitation est maxima, I> = w, tang£=rcc, £:=-; 2.
Énergie reçue par le corps résonant. — Elle a pour
expression
A. s'in iu t . dft = A 0o~ sin t.
L'énergie moyenne reçue est donc
A80ïîfinE A2sin2e
Elle est maxima quand le son excitateur est à l'unisscndu son de plus forte résonance du corps excité; à mesure que z s'éloigne de - : 2, l'énergie reçue décroît rapidement.
Appelons W l'énergie transmise pour le son de plus forte résonance 0. On a alors sin2 s = 1; w = W sin2£.
Pour préciser les discussions qui vont suivre, nous changerons de variable. Posons a ■=.$ \ 2IQ. La loi de décroissance des oscillations du corps abandonné à lui-même dépend du facteur e~At. Mettons en évidence le nombre n d'oscillations effectuées; nous devons poser / = «T', ou très approximativement t = nT. Le facteur amortissant devient e~ /T-n.
Or
* ~~ âTÔ — O ~~ ~i ïï ' d'où
g— >.T.n — g— SxnCC.
La variable a peut donc servir à caractériser l'amortissement.
Introduisons l'intervalle î entre le son -. et le son T; i=z<jj '. Q. On peut écrire
<i) tansî= = =2* ■: — 1
Au signe près on a le même t que l'on prenne i = w ; il ou i — Q : tu. La valeur de sin2s n'est donc pas modifiée.
