Relation entre l'amortissenent et le champ de résonance

Premier problème. — On se donne un corps caractérisé par un certain a. Ou fait varier l'intervalle i; on demande comment varie le rapport p = w : W = sin- 1. L'équation (1) permet de calculer 1 et par conséquent sin2 s en fonction de i.

On obtient ainsi un faisceau de courbes (s en ordonnées,

i en abscisses) qui admettent les valeurs de a comme cotes. Elles sont en forme de cloche, présentent un maximum pour 1 = 1 (unisson, p = i); les deux branches tendent vers Taxe des i asymptoliquement, quand i tend vers co ou tend vers zéro.

Plus a est petit, plus la courbe se rapproche rapidement de l'axe des /; si a est extrêmement petit, si par conséquent il s'agit d'un corps ayant un amortissement négligeable, p passe brusquement de la valeur i ( pour i = I ) à la valeur o, pour peu que i diffère de l'unité en plus ou en moins. Le corps ne résonne donc que sous l'influence d'un son à l'unisson : le champ de résonance est nul.

Au contraire, si * est grand, la courbe descend lentement vers Taxe des i. Le champ de résonance est grand. Assurément, à cause du grand amortissement, l'amplitude de la vibration d'influence n'est pas très grande, même pour t = T; toutefois le son excitateur peut différer notablement du son propre du corps, sans que cette amplitude devienne une fraction très petite de sa valeur maxima.

Si l'amortissement est petit, l'amplitude maxima est énorme, mais la moindre variation du son excitateur la ramène à o.

Second problème. — Il n'est en somme qu'une autre manière de présenter les remarques précédentes : je choisis l'exemple numérique d'Helmhollz.

C'est maintenant p= w \ W qu'on maintient constant; on se propose de calculer la relation entre a et i sous une forme concrète.

Supposons les conditions telles que l'énergie w transmise au corps excité soit le dixième de l'énergie W qui serait transmise si la résonance était maxima. 11 faut poser sin2e = o,i; d'où tangs = i : 3. La condition à satisfaire est donc :

Soit, par exemple, l'intervalle i d un ton : i = -• II vient

Ceci posé, cherchons après quel nombre d'oscillations l'intensité du son du corps abandonné à lui-même est réduite

RESONANCE. THEORIE DE l'oREILLEv- 29

au 1 ; 10 de sa valeur. Les intensités étant proportionnelles aux carrés des amplitudes, le facteur d'amortissement est e-;r.na î\Tous devons poser : e;~"a = io, 4~'<a — 2,3o2. D'où n =4)~3- Nous pouvons recommencer les calculs pour ^a même hypothèse p = o,i et toute une série de valeurs de i. Voici le tableau d'Helmholtz.

Nombre n

de vibrations

au bout desquelles

l'intensité du son est réduite Intervalles i. au I : 10.

j ion 38, 00

X ton 1 9 , 00

| ton 9,5o

f ton 6,33

1 ton 4,75

{ton 3, 80

f ton 3.17

l'on 2,7'

2 tons 2.37

La résonance est maxima pour i=\. Admettons déterminé par un procédé quelconque au bout de combien d'oscillations l'intensité du son d'un corps abandonné à lui-même tombe au dixième de sa valeur. D'après ce qui précède, nous saurons calculer pour quel intervalle, entre le son excité et le son propre du corps, l'énergie communiquée au corps n'est que le dixième de l'énergie communiquée ma\ima qui correspond à l'unisson.

Ces bases mécaniques posées, voici les raisonnements d'Helmholtz, qui forment un des plus beaux enchaînements logiques qu'on puisse imaginer. Je les systématise seulement pour mieux les faire comprendre.

11 est bien évident d'abord, en vertu de la forme linéaire de 'l'équation que nous admettons, c'est-à-dire en vertu du principe des petits mouvements (dont nous di.-cuterons plus loin la légitimité), qu'un son complexe excite toutes les vibrations simples en lesquelles on peut le décomposer, avec des intensités que les équations précédentes permettent de calculer.