AFFINITÉ DES SONS. CONSTITUTION DE LA GAMME RATIONNELLE

20. Importance des harmoniques. — Helmholtz, après une infinité de physiciens et de musiciens parmi les plus éminents, fait dériver toutes les lois de parenté des sons de l'existence des harmoniques. Il faut donc montrer quelle est leur importance et leur véritable rôle.

Voici déjà longtemps que Chladni a présenté avec force l'objection capitale à ce système : « Il n'est pas conforme à la nature, dit-il {Traité d'acoustique, p. il), de vouloir dériver toute l'harmonie des vibrations d'une corde et surtout de la coexistence de quelques sons avec le fondamental. Une corde n'est qu'une espèce de corps sonore. Dans beaucoup d'autres corps les lois générales des vibrations soDt très différentes; par conséquent on ne peut pas appliquer les lois d'un corps sonore particulier à ce qui doit être commun à tous. Un monocorde ne peut donc pas servir pour établir les principes de l'harmonie. . . ».

En d'autres terme-, il y a des corps qui émettent des par-

( "' ) Une expérience très simple prouve que les voyelles sont associées à des sons de hauteurs absolues déterminées. Quand on fait tourner un phonographe avec une vitesse qui n'est pa« convenal«le, les paroles deviennent incompréhensibles, preuve que les voyelles ne sont pas caractérisées par des accords, mais bien par des sons de hauteurs ftxcs.

liels non harmoniques du fondamental; donc les harmoniques n'ont pas en musique le rôle prédominant que plusieurs leur attribuent.

On peut d'abord faire à cette objection une réponse sans réplique : on n'utilise en musique, l'oreille ne considère comme vraiment musicaux, que les sons dont les partiels I sont harmoniques du fondamental. 11 n'arrivera à personne de prendre pour base d'un système musical le son des cymbales, des cloebes ou du tambour. On a donc parfaitement le droit de faire en musique une place à part aux. harmoniques, alors même qu'ils n'auraient pas un rôle prédominant en acoustique.

Mais il se trouve de plus que les harmoniques ont aussi une importance capitale en acoustique et ne peuvent être assimilas à des sons partiels quelconques. Helmholtz le démontre par une théorie très neuve et très intéressante des sons résultants, dont voici le résumé.

30. Sons résultants. — Dans la théorie de la résonance du § 16 nous avons supposé que le corps excité, éloigné de sa position d'équilibre, tend à y revenir avec une force proportionnelle à l'écart. Il peut se faire qu'il soit dissymétrique, comme l'est par exemple le tympan. La théorie montre qu'alors un son simple de hauteur p y excite non seulement le son de hauteur /?, mais tous ses harmoniques; que deux sons simples de hauteurs p e.1 q y excitent, outre leurs harmoniques, les sons/? — q (différentiel du premier ordre), p + q (additionnel du premier ordre), ip — q, nq — /?, ip -+- q. iq H- p, ... (sons du deuxième ordre) : on les appelle sons résultants.

Voici la démonstration de cette proposition.

L'équation générale du mouvement est (en négligeant le terme amortisseur) :

d ' oc (1) — m —rx — ax + ta-!4- P s'xniT.pt ■+- Q sin(2-£j -+- x).

Le corps écarté de sa position d'équilibre et abandonné à lui-même (P = o, Q = o) y revient sous l'influence de la force dissymétrique ax -h bx-; elle n'est pas la même pour deux

valeurs égales et de signes contraires de x. Il s'agit de trouver l'intégrale générale.

Développons la solution en série par rapport à une variable auxiliaire e. Nous poserons

x = zXi-i-z*a;t+z3x3 + ..., P = eP„ Q = eQ„

Substituons dans ( i ) et égalons séparément à o les coefficients des diverses puissances de t. Cela revient à faire une série d'approximations.

Comme première approximation nous aurons

(2) m -—■ -j-oarjH- Pj sin i~pt -+- Qj s\n(i~q tA- y.) = o.

Nous négligeons donc ,1e terme en x-. Nous savons que le corps ainsi excité donne deux sons de hauteur p et q; il y a superposition pure et simple des effets des sons excitateurs.

La seconde approximation fournit

(3) m ~^~ ■+- ax% -f- bx\ = o.

Introduisons à la place de xt l'intégrale précédemment trouvée comme première approximation : sa partie permanente est de la forme

Xi = Pj $\ri2-pt -h Q', s'\n('2.-qt -+-/.).

Développons les carrés des sinus et leurs produits; nous aurons l'expression de x± en fonction de

sin27T(2/?)«, s\n2~(2q)t, sin2-(/>— q)t, sin 2 -(/> -+- ? )t.

Substituant dans (3) nous retrouverons une équation de la forme ( 2 ) ; elle nous apprend que, comme seconde approximation, le corps excité donne les octaves des sons primaires et les sons résultants du premier ordre. Si les sons excitateurs sont faibles, l'amplitude des harmoniques et des sons résultants est faible; mais elle croît très vite quand les sons excitateurs deviennent intenses.

La troisième approximation donne

dlxz ,

(4) m —r H ax3 — ibxlxi = o.

Nous n'avons qu'à répéter les raisonnements et les calculs

48 i n \iTnu: îv.

précédents pour prouver l'existence des sons de hauteur

ip, 3q, -j.p — q, iq-^p, -±p—<J, %q— p,

résultants du second ordre.

Soit Q = o; nous obtenons la règle suivante : si un son pendulaire suffisamment intense agit sur un corps dissymétrigue, ie mouvement périodique induit contient la série complète des harmoniques.

31. Condition d'existence des sons résultants ou de production des harmoniques par un son pendulaire. — Comme on vient de 1e voir, les deux questions de la production par résonance : i° des harmoniques d'un son simple; 2° des sons résultants de deux sons simples, se ramènent à une seule. Il doit naître des harmoniques et des sons résultants chaque fois que les vibrations ne peuvent pas être considérées comme infiniment petites; les équations du mouvement ne sont plus linéaires, le principe des petits mouvements ne s'applique plus.

On prouve directement que les harmoniques d'un son simple intense, ou les sons résultants de deux sons simples intenses se produisent objectivement, lorsque des ébranlements considérables sont communiqués à une même masse d'air ou généralement à un même résonateur. On entend les sons résultants avec une intensité extraordinaire en utilisant un harmonium.

Mais il est important pour l'objet qui nous occupe de remarquer que les parties vibrantes extérieures de l'oreille, surtout le tympan et les osselets qui forment un système essentiellement dissymétrique, peuvent fournir des harmoniques et des sons résultants chaque fois qu'elles sont soumises à un ou deux sons pendulaires d'intensités considérables.

Les harmoniques jouent donc un rôle fondamental et très différent de celui d'une série quelconque de sons partiels, puisqu'ils peuvent résulter de l'audition d'un son parfaitement simple.

On remarquera que la hauteur du premier son différentiel est égale au nombre par seconde des battements des sons primaires (différence des hauteurs). Ou l'a quelquefois con-

sidéré comme un son de battements. Si la théorie que j'expose est exacte, cette manière de voir est insoutenable. Le son résultant p — q agit principalement sur les résonateurs auriculaires accordés à la hauteur p — q, tandis que les battements produits par l'interférence des sons suffisamment voisins p et q agissent simultanément sur les résonateurs accordés sur les sons voisins des sons p et q (§ 2+).

Les premiers différentiels sont très faciles à entendre, surtout avec l'harmonium (1). Voici leur hauteur dans le tempérament égal en prenant l'«£3=:256r comme base de l'accord :

leuxieme note de l'accord. . . ré-à

lifTérentiel .... ut,.

fa-i

solu

ut,

fo-x

sol\

la3

la'.

ré'»

sol'2

fa\

la,

uth

5 ri

ut3

euxieme note

de l'accord. .. so/^

iflerentiel .... uto

Les sons différentiels ne sont pas identiques aux sons notés; il peut résulter de là des battements qui interviennent, comme nous le verrons, dans la consonance des accords. Il est remarquable et très facile de constater qu'un son, qui ne bat pas avec l'un ou l'autre des sons d'un accord, peut battre effrovablemenl avec cet accord. Emettons d'abord séparément les accords fa% ut3 et fa<> la3; pas de battements. Émettons l'accord fa., ut3 la3; il y a des battements : fa2 bat avec le premier différentiel de ut3 la3.

Voici qui est encore plus remarquable. Considérons l'accord parfait ut3mi3sol3\ dans la gamme de Zarlin, les accords ut3mi3 et mi3sol3 ont le même différentiel utl^=64v. Dans la gamme tempérée, le différentiel de ut3 mi% a 66 vibrations, le différentiel de mi3sol3 en a 60 seulement. On

( ! ) Il est déplorable que les cabinets de Physique, qui possèdent si souvent des appareils coûteux et inutiles, ne consacrent pas 35ofr à l'achat d'un harmonium (2 jeux et demi, iranspositeur), indispensable pour renseignement.

Scient ta. n° '28. 4

min

fa a

so/a

lai

re4

re'J

/ni;

soU

5o CHAPlïHE iv.

entend battre un son très ï/<n<\ qu'il est facile d'identifier avec l'ut} quand on écrit l'accord, dit parfait, utt mis sol^

Les sons additionnels sont bien moins nets que les différentiels. Le Tableau en donne le premier. Il est construit dan- les mêmes hj'pothèses que le précédent.

Deuxième note de l'accord. /•<?'.•,

''-s7 Additionnel ut\

Les premiers additionnels sont contenus dans la quinte ut.tsolk; s'ils n'étaient pas très faibles, ils donneraient, avec leurs primaires ou les harmoniques de ceux-ci, des dissonances très dures.

3-2. Construction de la gamme diatonique majeure (1). — Il s'agit maintenant d"expliquer comment on a été amené à diviser l'échelle continue des sons en degrés discontinus. Cette division n'est évidemment pas arbitraire, puisqu'elle se retrouve à peu près identique chez les peuples les plus divers et à des époques très différentes. Nous en chercherons la raison dans la complexité des sons proprement musicaux, laissant de côté pour l'instant la question de savoir pourquoi ils nous semblent particulièrement agréables.

Commençons par l'octave qui a la parenté la plus nette avec le son fondamenlal.

Si Ton donne sur un instrument musical d'abord le ut0 puis le ut}, nous entendons, quand le ut% résonne, une partie de ce que nous venons d'entendre. En effet, le premier son contient les harmoniques «/,, ut>, soL, ..., qui sont aussi les harmoniques du ut}. Par conséquent la répétition à l'octave d'une mélodie n'est en réalité que la répétition d"une partie de la même mélodie. Comme les harmo-

(«) Nou^ ne faisons pas ici un historique de la manière dont la gamme diatonique a été découverte: nous cherchons seulement à expliquer les raisons qui la légitiment. La théorie que les Grecs donnaient de leurs gammes n'a aucun rapport avec celle que nous admettons;']! est d'autant plus curieux qu'ils soient parvenus eu somme aux mêmes résultats.

niques du ttt^ ne sont que les partiels pairs de ut0. aucun élément nouveau ne s'ajoute à ce que nous avons déjà entendu. Quand nous accompagnons une mélodie à l'octave aiguë, nous ne faisons que renforcer les harmoniques pairs.

De là découlent la première et principale division de notre échelle musicale et la quasi-équivalence des sons à l'octave les uns des autres. On conçoit la monotonie d'un accompagnement à l'octave et pourquoi il est proscrit dans une musique à plusieurs parties.

Considérons maintenant les intervalles définis par les nombres 3 et |. Le log de -| est 0,1761; l'intervalle \ est donc de 1 76e7, 1 - Il est donc plus grand que l'intervalle tempéré de quinte qui vaut f$ de 301er, soit 175*, 6; la différence est d'un-demi savart. Nous appellerons cet intervalle quinte juste harmonique; l'intervalle entre le fondamental et l'octave de la quinte est donc une douzième harmonique.

Ce qu'on a dit plus haut de l'octave s'applique, mais à un degré moindre, à la douzième harmonique et à un degré moindre encore à la quinte harmonique. Représentons^eneffet les harmoniques de ces sons, en appelant 2 le fondamental :

Fondamental ... 1

Douzième

Quinte

Quand nous 1 eproduisons une mélodie à la douzième, nous ne retrouvons les partiels du fondamental que de 3 en 3. Donc nous n'entendons qu'une partie plus restreinte de ce que nous avons déjà entendu.

Quand nous reproduisons une mélodie à la quinte, nous réentendons non seulement les harmoniques du fondamental de 3 en 3, mais encore des sons nouveaux (sons 3 et 91. C'est toutefois la répétition la plus exacte que nous puissions faire avec un intervalle inférieur à l'octave. Aussi les chanteurs les moins exercés sont-ils tentés d'utiliser l'accompagnement à la quinte qui était même systématiquement employé au début du moven âge. On sait le rôle que, dans la musique moderne, joue la transposition à la quinte; dans la

U I HAÏTI iu: IV.

fugue normale, le sujet est reproduit à la quinte; dans la

sonate, le thème pa?se à la quinte dans la première reprise

pour revenir au ton fondamental dans la deuxième partie.

Nous ne pouvons donc pas nous étonner que l'intervalle de

quinte se retrouve avec l'intervalle d'octave dans toutes les

gammes de tous les peuples.

Nous voici parvenus à la division ut0 sol0 utx\ nous en

déduisons immédiatement l'intervalle de quarte harmo-

nique è et par conséquent l'existence du degré fa et la divi-

vision : ut, fa, sol, utr En effet, la parenté des sons/«0 uti

est exactement la même que la parenté des sons ut, sol»,

' 3 puisque - X - = 2. Le troisième harmonique de/a0 est uts 1 ' 3 2

nui est aussi le second harmonique de utv

..,34g Mais les deux sons fa0 sol, font un intervalle - : ^ = g

avec lequel nous devenons familiers; c'est le Ion majeur harmonique de 5i savarls. On conçoit qu'on ait rempli les intervalles trop grands utofa0, sol0 utu par des sons faisant le même intervalle avec les deux sons extrêmes; d'où une gamme qui se rencontre assez fréquemment dans l'histoire de la musique :

ut0 re'o, fa, sol0, si9 ut{.

Le si? ainsi défini est à 5ia de l'aÉ, et par conséquent à sSo*7 de ïutn-

Revenons au mode normal de découverte des degrés de la gamme diatonique.

11 est inutile de reprendre mot pour mot ce que nous avons dit pour l'octave et la quinte. La tierce harmonique { {ut0 miQ) nous est fournie par le cinquième harmonique mi%; c'est le mi0 harmonique dont l'intervalle avec le fondamental est de g- savarts; il est donc légèrement au-dessous (de 3 savarts environ) du mi0 tempéré. Le sixième harmonique donne l'octave de la douzième, soit la double octave de la quinte : rien de nouveau. Le septième harmonique fournit le son j soit un son à 2^G du fondamental : c'est encore à peu près le sr. Le huitième nous donne la triple octave. Enfin le neu-

vième donne un son à trois octaves au-dessus du ré0 déjà défini plus liant par un autre procédé.

En définitive, nous appuyant uniquement sur l'existence des harmoniques, en prenant comme principe que les degrés choisis pour l'échelle musicale sont déjà dans le fondamental, nous arrivons à classer les sons par octaves successives et à diviser chaque octave de la manière suivante :

ut.

mi.

sol.