PIED

ut.— si..

Gamme tempérée.

ut0 — sit.\ut, — sit

oj. 9 4o.3

utn — su

utk — sit. ut^ — si5 . ulE

1 i5o 1 535 iqo3

64 CHAPITRE v

30. Consonances et dissonances. — Nous .'liions irai ter un problème, 1res analogue à celui du Chapitre précédent; nous retrouverons des conclusions toutes semblables.

Demandons-nous à guel/e condition un accord est consonant.

On appelle accord la réunion de plusieurs sons; pour qu'un accord puisse être consonant, il faut évidemment que les sons qui s'y trouvent soient deux à deux consonanls; la condition est nécessaire, elle peut ne pas être suffisante. Le premier problème à résoudre est donc le suivant : à quelle condition un accord de deux sons est-il consonant?

Il est clair que la solution de ce problème suppose une définition de la consonance, la découverte d'un principe qu'il suffit ensuite d'appliquer, llelmliollz, après un grand nombre de philosophes et de physiciens, pose le suivant : la consonance est une sensation continue, la dissonance une (/ impression intermittente. Dans de telles matières il est difficile de contester un principe dont l'énoncé est nécessairement vague: la discussion commence au moment où l'on cherche à l'appliquer quantitativement. Helmholtz ramène l'étude de cette continuité ou de cette discontinuité de la sensation à l'étude des battements qui résultent des sons fondamentaux, de leurs harmoniques et de leurs sons résultants. Il ne reste plus qu'à chercher dans quel cas et avec quelle intensité les battements peuvent se produire dans toutes les combinaisons possibles. Si celte discussion aboutit à retrouver les consonances et les dissonances sur lesquelles les musiciens sont d'accord, il y aura des chances pour que le principe admis et la manière de l'appliquer soient également légitimes.

Le principe n'est pas neuf; dans Y Histoire de l'Académie des Sciences pour j~oo, à la fin d'un Mémoire de Sauveur sur le son fixe (son de joo vibrations à la seconde qu'il déterminait par les battements, § ;23), on lit : « Les battements ne plaisent pas ;'i l'oreille, à cause de l'inégalité du son, et l'on

peut croire avec beaucoup d'apparence que ce qui rend les octaves si agréables, c'est qu'on n'y entend jamais de battements.

» En suivant cette idée, on trouve que les accords dont on ne peut entendre les battements sont justement ceux que les musiciens traitent de consonances et que ceux dont les battements se font sentir sont les dissonances. Quand un accord est dissonance dans une certaine octave et consonance dans une autre, c'est qu'il bat dans l'une et ne bat pas dans l'autre... Si cette hypothèse est vraie, elle découvrira la véritable source des règles de la composition. »

Le grand mérite de Helmholtz est d'avoir complété la théorie de Sauveur par la considération systématique des battements des harmoniques et des sons résultants.

kO. Dissonances dues aux battements des sons euxmêmes. — Nous avons dit au paragraphe 24- qu'en augmentant peu à peu le nombre de battements par seconde on arrive à ne plus distinguer les différents coups; les sons interférents deviennent alors roulants et durs. Nous avons aussi fait observer que l'effet physiologique des battements dépend non seulement de leur nombre, mais aussi de l'intervalle des sons qui interfèrent, ou, ce qui revient au même, de leur hauteur absolue.

Le caractère de dureté, la dissonance, varie donc avec le nombre des battements et, pour un nombre de battements donné, avec la position des sons dans l'échelle musicale. On peut dire que d'une manière générale les battements lents (d'une fréquence de l'ordre de 10 par seconde) fournissent un roulement, un ronflement, une dureté lourde; les battements rapides (d'une fréquence de l'ordre de 3o par seconde ou davantage) donnent à l'accord une dureté perdante et criarde.

Par exemple l'accord si3 (4§o) uti (012) fait 32 baltenents : le son est aigre et sifflant. L'accord st4 ut5 fait 34 battements; l'impression est criarde et pénétrante, beaucoup plus désagréable que l'impression due à l'ac- :ord si\ ut^ qui fournit le même nombre de battemeuts mais [ni correspond à un intervalle plus grand.

Scientia, n" "28. -- 5

66 CHAPITRE v.

Si donc les inten ailes de seconde et de demi-tons sonl particulièrement désagréables, c'est qu'ils fournissent des battements nombreux. Il peu! paraître étrange qu'on fasse intervenir dans la théorie de la consonance des battements dont le nombre peut être égal ou supérieur à ioo. Il ne faut pas oublier que l'oreille est éminemment propre à reconnaître de très petits intervalles de temps. Quand deux pendules oscillent l'un à côté de l'autre, l'oreille apprécie la coïncidence des battements à ^ de seconde prés. Il n'est donc pas étonnant que l'oreille, sa/is pouvoir compter ni percevoir isolément les battements de l'ordre de ioo à la seconde; considère cependant la sensation de l'accord comme discontinue et en éprouve une impression désagréable.

On admet que pour les sons simples le maximum de dureté correspond à 2,1 battements par seconde. Pour un nombre moindre, l'oreille commence à percevoir les coups séparément; la masse sonore devient moins confuse. Bien que l'impression de chevrotement ne soit j}as agréable, nous commençons à saisir la cause du tremblement; d'où une notable diminution psycholog iq ue de dureté. Pour un nombre de battements plus grand que 2i à la seconde, la sensation tend à devenir continue, d'où une. nouvelle diminution de dureté.

Bien entendu, dans le grave, on n'obtient ce nombre de battements que pour des intervalles considérables. Plus exactement on n'obtient pas de battements aussi rapides, l'intervalle devenant trop grand; il faudrait en effet que les sons -d0 et utx par exemple agissent sur les mêmes résonateurs auriculaires pour fournir 32 battements à la seconde. Mais de grands intervalles comme la tierce majeure naturelle (f) ou la tierce mineure naturelle (|) fournissent des battements lents qui font de ces intervalles des accords peu harmonieux, d'une dureté pesante et d'un effet pâteux.

il. Battements des harmoniques de deux sons musicaux. — Si la dissonance est due à l'existence de battements nombreux, produits par des sons agissant simultanément sur les mêmes résonateurs auriculaires, il va de soi que deux sons simples faisant un intervalle suffisant ne peuvent pas don/ter d'accords dissonants, non pas seulement parce que les battements sont trop nombreux, mais surtout parce que

les deux, sons n'agissent pas simultanément sur les mêmes résonateurs auriculaires.

De fait, si nous prenons des sons quelconques aux deux bouts du clavier, nous sommes en peine pour trouver qu'ils forment plutôt une consonance qu'une dissonance.

L'explication des dissonances des grands intervalles doit être cherchée dans les dissonances des petits intervalles que forment leurs harmoniques. En définitive, suivant Helmholtz , ne peuvent être dissonants que les sons situés à des intervalles assez petits pour agir simultanément sur Les mêmes résonateurs auriculaires. Appliquons ces principes.

Il se produit des battements chaque fois qu'un des harmoniques de l'un des sons est assez voisin d'un harmonique de l'autre. Leur netteté augmente avec l'amplitude des harmoniques; ils ne seront donc généralement perceptibles que pour les harmoniques inférieurs.

Emettons simultanément les sons ut^ et ut.2 supposés musicaux, c'est-à-dire accompagnés d'harmoniques ; si l'octave est exacte, nous n'entendons pas de battements. Car l'harmonique ut* de utt coïncide exactement avec ut*. .Mais émettons les sons utt et sit : c'est exactement au point de vue des battements comme si nous émettions six et ut», le second harmonique de utr étant ut.2. Dans la gamme naturelle et l'échelle des physiciens, nous entendons 8 battements à la seconde; nous en entendrons 7 dans la gamme tempérée et l'échelle des physiciens.

Emettons simultanément les sons ut3 et sol% à la quinte naturelle (f) l'un de l'autre; pas de battements. Voici en eflet la série des harmoniques

ut 3 . ut; sol; ut-a , mih

S0I3 sol; réi sol-a

Seuls les battements entre rés et uth ou mi5 pourraient se produire; mais il s'agit de sons partiels déjà élevés et par conséquent d:intensité petite : il y aurait 28 battements par seconde.

Mais, si la quinte est fausse, les battements se produisent entre les deux sol;, ils sont intenses et l'accord devient désagréable.

Soient par exemple les primaires re3(288) et /a3(49.6.5)

dans la gamme naturelle (je prends toujours l'échelle des

physiciens). La quinte n'est plus la quinte naturelle , ( 1 760, i)^ ;

mais la quinte un peu plus petite 77 : % = — > soit no7 - r 6 8 27 ' *' •'"

elle diffère d'un comma de la quinte naturelle. Voici les

harmoniques

re3 re\ lak

la3 /a;

Or le lak harmonique de ré3 fait 288 x 3 = 864 vibrationstandis que (lai) harmonique de la3 fait /j26,5 x 2 = 853 vibrations. Il y a 11 battements par seconde. La quinte fausse ré3 la3 de la gamme naturelle n'est donc pas un intervalle consonant.

Raisonnant de même, nous trouvons que la douzième naturelle (intervalle 3) est un intervalle parfaitement consonantil n'y a pas de battements des harmoniques.

42. Audition des battements des harmoniques. — Avant d'aller plus loin dans l'étude des consonances, présentons quelques remarques générales. Quand on émet deux sons air hasard sur un instrument à sons musicaux possédant des • harmoniques intenses, l'harmonium par exemple, on entend j presque toujours des battements, à moins que les sons ne . fassent un intervalle très supérieur à une octave.

Il est donc facile d'entendre les battements; il ne l'est pas de distinguer quelles sont les parties de l'ensemble sonore qui battent. Le problème est exactement le même que celui de l'audition des harmoniques comme sons distincts dans un son musical. On emploie pour s'exercer les mêmes artifices que pour les harmoniques, en particulier les résonateurs.

Il peut arriver que plusieurs des harmoniques de l'un des sons se trouvent suffisamment rapprochés de plusieurs harmoniques de l'autre son pour donner plusieurs systèmes de battements. Par exemple, si deux harmoniques battent, leurs octaves, qui sont aussi des harmoniques, battent avec un nombre double de coups par seconde; mais ces octaves sont généralement beaucoup moins intenses, circonstance qui permet de distinguer les deux systèmes.

L'explication de la dureté d'un accord s'applique exactement à la dureté d'un son unique dont les harmoniques supérieurs sont assez intenses. Ces harmoniques battent entre ■eux et fournissent des dissonances appréciables. Reprenons par exemple les harmoniques de Vut,

uli ut3 sol3 u(<, mi\ soli, si\ ut-a

Le si[ fait 896 vibrations, V uts en fait 1024 ; il y a donc 128 battements à la seconde; d'où une dureté possible si l'on jie supprime pas l'harmonique 7. On sait que les marteaux du piano attaquent la corde au septième de sa longueur; on supprime ainsi le son ~ qui a un nœud en ce point et l'on •évite l'intervalle dissonant de ton.

Pour comprendre le bien fondé de l'hypothèse de Helmholtz, rien ne vaut l'étude des sons d'un harmonium; ils sont riches en harmoniques et indéfiniment tenus avec une intensité constante. Qu'on donne par exemple l'octave ut3 uti} puis les intervalles ut3 si3 et ut3 ré\, on constatera immédiatement le caractère calme, inlroublé de l'octave, par comparaison avec les autres intervalles durs, cascadants, analogues, et pour la même raison, à un bruit de crécelle. Les battements des harmoniques (ici 32 à la seconde) sont à la limite d'être perçus séparément : ils donnent à l'accord une dureté particulière.

i3. Classification générale des intervalles consonants. — Voici comment Helmholtz résume sa théorie (p. 248). Si deux sons musicaux résonnent simultanément, l'accord qu'ils forment est généralement troublé par des battements des harmoniques, en sorte qu'une plus ou moins grande partie de la masse sonore produit des secousses discontinues. L'accord devient dur, il y a dissonance.

Mais, pour certains rapports entre les hauteurs des fondamentaux, il n'y a pas de battements ou les battements sont très faibles, se- produisant entre des harmoniques peu intenses. Ces cas exceptionnels s'appellent consonances. On peut les classer de la manière suivante :

i° Consonances absolues. L'unisson (1), Voctave (2), la douzième (3), la double octave (4).

Tous les harmoniques du son le plus haut coïncident avec

les harmoniques du son le plus bas pris de i en i, de 2 en 2 de 3 en 3, etc. Donc l'existence des harmoniques n'ajoute aucun élément de dureté : si les fondamentaux sont exactement dans les rapports indiqués, les harmoniques ne battent pas.

20 Consonances parfaites. — Ce sont la quinte (3 : 2) et la quarte (4 : 3).

Nous avons déjà vu que, si la quinte est naturelle, les battements ne peuvent se produire qu'entre les quatrième et cinquième harmoniques du son le plus grave, et le troisième du son le plus aigu; les intensités de ces harmoniques sont déjà faibles et l'intervalle qu'ils font est d'un ton : circonstances qui diminuent leur rôle désagréable.

La qiarte est une consonance moins parfaite que la quinte. Voici les harmoniques :

ut s

utL

soli, ut s mû

ut*

Il y a intervalle de ton entre le troisième harmonique du son le plus grave et le second du son le plus aigu, et intervalle de demi-ton entre les sons fah et mi6. Pour l'octave choisie, les intervalles fak solw et fa- mis donnent l'un et l'autre 85 battements. Le principal avantage de la quarte est de donner la quinte par son renversement, ou si l'on veut d'être le complément de la quinte pour former l'octave.

3° Consonances moyennes. — Elles comprennent la sixte majeure (5 : 3) et la tierce majeure (5 : 4).

Tierce majeure. uh . ut^ . soli, . ut& mit

mi3 mik si., mi&

Déjà il peut y avoir battements directs entre les fondamentaux. Aussi dans le grave les tierces mêmes naturelles ne sonnent-elles pas très bien. Dans le haut les battements deviennent nombreux et l'intervalle est meilleur.

Sixte majeure.

ut3 . ut± soîit . uts mib

la3 la,,

Le fondamental la3 donne l'intervalle de tierce mineure et des battements relativement dangereux; le second harmonique la± donne l'intervalle de ton. Nous nous rapprochons donc des dissonances.

4° Consonances imparfaites. Tierce mineure (6:5). Sixte mineure (8 ! 5). — Ce sont les renversements des intervalles précédents.

Tierce mineure.

ut3 . utk . sol,, . ut5 . mi3 50/5

mi3 mi] si\ mil sol$

Sixte mineure.

ut3 . ut,, sol± , ut-0 . mis S0l5 ■ sf- ut6

la\ la\ mi\ fas ; utz

Dans le grave les tierces mineures donnent des battements peu nombreux. Déjà dans le médium l'accord ul3 mi^ produit 5i battements par seconde. Quant à la sixte, le second harmonique du son aigu fait un demi-ton avec le troisième du son grave, d'où un nombre de battements du même ordre.

Ce qui précède suffit amplement pour comprendre les bases de la théorie rie Helmholtz. 11 l*a complétée en introduisant les battements des sons résultants, qui ne sont pas négligeables quand les sons primaires sont intenses. Nous ne pouvons dans ce court volume entrer dans des détails pour lesquels nous renvoyons à la Théorie physiologique de la musique. On y trouvera la discussion complète de la hiérarchie des consonances.

Pour des accords de plus de deux sons, la théorie est. la

aiU'l'IHK V

même; il faut que chaque accord partiel soil une consonance; mais la condition n'est pas suffisante (voir un exemple au • $ 3).l Helmhollz parvient à expliquer les résultats généraux des Traités d'Harmonie (').

hk. Continuité de la consonance et de la dissonance. Rôle du timbre. Instruments à vent. — D'après la théorie précédente on ne peut pas séparer par une barrière les consonances des dissonances; entre les unes elles autres il existe une série continue de degrés, d'accords dont la dureté augmente progressivement. Conformément à cette conclusion et malgré les classifications usitées, la limite entre les intervalles consonants et dissonants a singulièrement varié au cours des temps. Les Grecs considéraient la tierce comme 1 une dissonance; il est vrai qu'ils ont souvent employé la tierce pythagoricienne (voir § 56), qui correspond au rap- . port 81 I 64, et qui est nettement une dissonance. La double octave du fondamental le plus haut bat avec le cinquième harmonique du fondamental le plus bas. Mais ils ont aussi connu la tierce naturelle qui n'est pas elle-même, si l'on veut, un? consonance parfaite. De même les tierces mineures ne sont considérées comme des intervalles consonants que depuis un petit nombre de siècles.

Conformément encore à la théorie, le degré de dureté des accords varie singulièrement avec le timbre des sons utilisés. Pour les grands tuyaux bouchés de l'orgue qui émettent un son très approximativement simple, il n'y a guère que l'intervalle de demi-ton et de ton qui soient des dissonances. Les octaves fausses et les intervalles voisins de l'octave, si abominables sur l'harmonium et même sur le piano, ont une douceur relative. Quand on joue sur le registre bouché de l'orgue des compositions à plusieurs par-

(') Ce n'est pas l'opinion de nombreux musiciens qui ont écrit sur la musique. Malheureusement ils ne se rendent pas un compte exact u rôle et de la nature d'une théorie physique. Ils prennent pour des explications scientifiques des opinions esthétiques. Ils ont toujours à la bouche le sens artistique, le sentiment musical, données sur lesquelles il est juste possible de construire une théorie métaphysique. Je ne veux pas dire que tout soit parfait dans la théorie d'HelmhoItz, mais c'est la seule théorie physique que nous ayons.

ties, présentant les dissonances les plus mordantes, tout résonne avec la même harmonie ; mais c'est vague, ennuyeux et mou. Rien ne montre mieux l'importance du rôle des harmoniques, et par conséquent du timbre, dans la notion de dissonance.

Les instruments dont le timbre se rapproche le plus de celui des grands tuyaux bouchés sont les flûtes etlejeu de flûtes de l'orgue (tu vaux ouverts où l'air arrive sans force). On y entend l'octave et la douzième. Les intervalles parfaitement consonants y sont mieux définis, leur altération amenant aussitôt une dissonance sensible. Les intervalles moyennement et imparfaitement consonants sont encore mal déterminés; on démontre en effet la règle suivante : un intervalle est faussé d' une manière d'autant plus désagréable, les battements y produisent tout de suite une dureté d'autant plus appréciable, qu'ils sont plus parfaits. Helmholtz rappelle le proverbe qu'il n'y a rien de plus effravant pour l'oreille qu'un solo de flûte, si ce n'est un duo de flûtes. Mais, associée à d'autres instruments qui font ressortir l'enchaînement de l'harmonie, la flûte est irremplaçable grâce à la charmante douceur de son timbre.

Les tuvaux ouverts de l'orgue, quand on pousse le vent, surtout quand on les associe avec leurs octaves, donnent un son suffisamment pourvu d'harmoniques pour que les dissonances y deviennent particulièrement tranchées.

Les petits tuyaux bouchés (qui n ta ton ) où les harmoniques impairs sont intenses, font la transition avec les tuyaux à anches, particulièrement riches en sons partiels, et enfin avec les jeux de fourniture ou de mutation. Dans ces derniers on sait qu'à chaque tuyau est adjointe une série plus ou moins nombreuse de tuyaux donnant les divers harmoniques ou leurs octaves. Dans le nazard (deux rangs de tuyaux) on adjoint la quinte au fondamental; dans le cornet (trois rangs) on adjoint la tierce et la quinte.

Citons pour mémoire les jeux discordés {voix humaine, voix céleste) où l'on fausse l'unisson par l'emploi de deux tuyaux qui battent et dont l'effet est profondément épouvantable.

Les sons de la voix humaine sont accompagnés d'harmoniques graves relativement forts; aussi donnent-ils des con-

-^ CHANTRE v.

sonances el dissonances bien marquées. Les accords ne sont beaux qu'avec h-s intervalles justes, ce qui arrive rarement, parce que les chanteurs sont habitués à l'accompagnement

d'instruments accordés suivant le tempérament égal.

ko. Consonances et dissonances sur les instruments à cordes. — Sur les instruments à archet, les harmoniques sont particulièrement intenses, perceptibles jusqu'au sixième ou au huitième selon que l'archet s'approche davantage de la touche ou du chevalet. Les consonances seront donc particulièrement bien définies. Mais les accords complets deviennent durs et les accords prolongés peu harmonieux. 11 faut faire à propos des battements de ces instruments une remarque curieuse. A cause des petites irrégularités de l'action de l'archet sur la corde, il y a de brusques et inévitables changements de phase une ou deux fois par seconde au moins. Supposons deux violons jouant à l'unisson, ou donnant un accord tel qu'un des harmoniques de chacun des deux sons soit rigoureusement commun. Il y a interférence, et le son résultant dépend de la phase relative des deux sons interférants; puisque cette phase varie une ou deux fois par seconde, il y aura variation d'intensité, alors même que l'unisson serait parfait. Si l'unisson n'est pas parfait, il y a battements pendant le temps qui sépare deux irrégularités. 11 résulte de là : i° qu'il est extrêmement difficile d'entendre des battements lents dans un accord donné par un ou deux violons; 2° qu'il y aura dureté dans un accord, même s il y a unisson parfait et a fortiori si l'unisson n'est pas parfait. Helmholtz attribue à ces causes l'aigreur particulière des quatuors cordes exécutés par des artistes qui ne sont pas éminents.

Les sons graves du piano sont très riches en harmoniques et les sons aigus relativement pauvres. Dans le grave, l'octave et la douzième sont quelquefois aussi intenses que le fondamental; donc les septièmes et neuvièmes, dissonances voisines de l'octave, sont aussi désagréables que les secondes. Les douzièmes et les quintes fausses sont très dures. Mais les intensités des harmoniques diminuent très rapidement avec leur numéro d'ordre, les tierces fausses ne sont pas trop dures, parce que l'intervalle de tierce est surtout déterminé

CONSONANCES ET DISSONANCES. j5

par les harmoniques à partir du troisième. Les sons du piano n'étant pas tenus, les dissonances y sont incomparablement moins désagréables que sur les instruments à sons tenus. On obtient un effet désastreux par exemple en jouant sur l'harmonium certains morceaux de piano, à cause de l'abomination des intervalles dissonants.

46. Remarque sur les deux questions traitées dans le précédent Chapitre et le Chapitre actuel. Rapports simples. — Dans le Chapitre IV, nous nous servons des harmoniques pour construire, les gammes diatoniques; nous prenons comme point de départ la proposition suivante : la parenté de deux sons provient de ce que l'un se trouve dans Vautre comme harmonique, ou de ce qu'ils ont des harmoniques communs. — Nous obtenons ainsi un certain nombre d'intervalles, précisément ceux que les musiciens avaient découverts depuis longtemps.

Dans le Chapitre Y, nous nous servons des battements pour classer les accords suivant une hiérarchie allant de la consonance absolue à la dissonance la plus dure. Nous retrouvons ainsi les principaux intervalles déjà définis; la raison de cette coïncidence vient de ce que nous utilisons encore les harmoniques.

Nous avons dans cet emploi la raison profonde de l'existence des rapports simples auxquels les anciens physiciens attribuaient une vertu mystérieuse. La simplicité des rapports tient à ce que seuls les premiers harmoniques ont une intensité suffisante pour qu'ils soient utilisables. Seuls ils peuvent donc créer une parenté, seuls ils peuvent intervenir pour faire un accord consonant et le rendre dissonant par une altération de l'un des sons constituants.

Mais n'oublions pas que classer des fractions et déclarer que nous déterminons indubitablement, par les plus simples, le degré de douceur ou de dureté relative de tous les intervalles qu'elles représentent, n'est pas une explication physique.

C'est la raison de ce classement que le physicien recherche ; son rôle commence alors que l'artiste peut se déclarer satisfait.

7» CH \ pitre VI.

Est-il nécessaire d'ajouter qu'on a composé d'excellente musique avant qu'on ait posé la question scientifique; beaucoup de musiciens auront fort heureusement du génie, sans connaître un mol d'Acoustique; le physicien n'espère pas que ses théories fourniront la moindre idée à aucun d'entre eux. Et réciproquement, que ses théories aient ou n'aient pas l'approbation des musiciens, lui est parfaitement indifférent.

Ne mélangeons pas les genres.

CÏÏAPITRE VI.