MODULATION ET TRANSPOSITION. DES TEMPÉRAMENTS. ACCORD DES INSTRUMENTS

kl. Transposition et modulation. — La hauteur absolue de l'échelle musicale est arbitraire. L'expérience montre que l'audition successive du même morceau à des hauteurs différentes, ce qu'on appelle une transposition, produit une sensation agréable par la variété qui en résulte. Ce qui est vrai d'une composition entière l'est encore bien davantage d'une phrase musicale : cette transposition momentanée s'appelle une modulation. Les mots transposition et modulation ont donc pour le physicien exactement le même sens; il s'agit de multiplier par le même nombre les hauteurs de toutes les notes, soit d'un morceau, soit de quelques mesures de ce morceau.

Sur un instrument à sons mobiles, comme la voix, le problème ne présente aucune difficulté. Théoriquement il an est ainsi pour le violon et les instruments similaires; pratiquement, une fois l'instrument accordé, nous devons pour la majorité des exécutants le considérer comme un instrument à sons fixes, les positions des doigts devant être pratiquement déterminées à l'avance et en petit nombre, pour éviter un jeu trop compliqué.

L'emploi du tempérament égal rend possible une très grande variété de modulations. L'octave étant partagée en demi-tons tous égaux, il est clair que nous pouvons trans-

poser d'un nombre quelconque de demi-tons; il y a donc 12 modulations possibles à l'intérieur de chaque octave. Nous pouvons élever ou abaisser tous les sons d'un nombre quelconque de fois 20 savarts.

Sur un instrument à tempérament rigoureusement égal, les différents tons, c'est-à-dire les différentes gammes diatoniques (majeures, mineures ou généralement d'un mode quelconque) admettant pour tonique un quelconque des 12 sons de l'octave, ne diffèrent que par la hauteur absolue. Par conséquent, quand on passe d'un ton à un autre, le changement d'effet musical doit être purement relatif (1).

Si, au contraire, le tempérament n'est pas rigoureusement égal, si les demi-tons ne sont pas identiques, etsi cependant nous modulons comme s'ils l'étaient, il est clair que le changement de tonique entraine un changement de mode.

On verra tout à l'heure l'importance de ces considérations.

48. Modulations dans la gamme à tempérament égal. — Nous parlerons d'abord de ce cas très simple comme introduction au cas plus complexe de la modulation dans la gamme naturelle.

A partir d'une dés notes de la gamme tempérée montons et descendons d'un nombre quelconque de quintes tempérées, valant par conséquent exactement 7:12 d'octave. Nous obtenons la série suivante :

ut-

soF

re

la-

nu

si

ut .

sol

ré

la

mi

si

ut'

sol'

ré'

la''

mi'

si

Puisque nous opérons avec la quinte tempérée, fa' est identique avec soi , ut avec re', etc.

( ' ) Le lecteur doit soigneusement éviter le contresens auquel prête l'emploi du mot moduler. Moduler, dans son sens strict, ce D'est pas changer de mode, c'est tout au contraire changer de tonique en conservant le même mode. Le mot transposer est préférable comme ne permettant pas cette ambiguïté. Malheureusement il n'est pas employé dans le cas que nous traitons. Le mode est caractérisé par le choix des intervalles de la gamme, le ton par la hauteur à laquelle la gamme s'exécute.

Considérons d'abord la gamme diatonique majeure, et prenons pour tonique le sol. Nous vérifions immédiatement que, pour obtenir la même série d'intervalles, il faut écrire :

sul la si ut ré /ni fa' sol,

c'est-à-dire diéser la noie qui est à deux quintes au-dessous de la tonique. Prenons pour tonique le ré qui est à la quinte du sol; il faut opérer par rapport à la gamme de sol, comme nous avons précédemment opéré par rapport à Yut; donc il

faut maintenir le fa' et diéser Y ut qui est à deux quintes au-dessous de la tonique. Passons à la Ionique la; même

raisonnement; il faut maintenir le fcf et Yut'; de plus il faut diéser le sol. Et ainsi de suite.

En définitive les gammes à 1, 2, 3, .. ., 7 dièses ont pour toniques : ut, sol, ré, ..., utç. Les notes diésées sonty<z; fa, ut; fa, ut, sol; fa, ut, sol, ré; et ainsi de suite, les dièses de la gamme à n dièses comprenant toujours ceux de la gamme à « — 1 dièses.

Prenons maintenant comme tonique le fa à une quinte au-dessous de Yut : on vérifie qu'il faut écrire :

fa sol la sr ut ré mi fa.

Donc c'est la note qui est à la quinte diminuée au-dessous de la tonique qui est bémolisée : elle fait alors avec la tonique

une quinte tempérée. Prenons pour tonique le si : ; il faut -opérer sur le gamme de fa comme précédemment sur la

gamme d'ut; il faut donc conserver si7 et bémoliser Je mi.

Prenons pour tonique le mi ; même raisonnement; il faut

conserver s? et mi7 ; de plus bémoliser le la.

En définitive les gammes à 1, 2, 3, . .., 7 bémols, ont

pour toniques : fa, sr ', mi ', ..., ut. Les notes bémolisées sont si; si, /ni; si, mi, la; si, mi, la, ré; et ainsi de suite, les bémols de la gamme à n bémols comprenant toujours ceux de la gamme à n — 1 bémols.

Nous arrivons ainsi à 10 gammes diatoniques majeures. Mais, comme il n'y a que douze intervalles dans l'octave, il est clair que 3 gammes contenant des dièses doivent être identiques à 3 gammes contenant des bémols. On vérifiera

facilement qu'il en est ainsi : i° pour ut* (7 dièses) et ré" (5 bémols); 2° pour ut" (~ bémols et si (5 dièses); 3° pour fa' (6 dièses) et sol: (6 bémols). Donc en tout 12 modulations possibles.

Passons aux. gammes mineures. Rappelons les deux séries d'intervalles :

Gamme majeure T T \t T T T t

Gamme mineure T t T T t T ■+■ t t

Comparons la gamme majeure et la gamme mineure quand la tonique de celle-ci est à un ton et demi au-dessous de la tonique de la gamme majeure (ton mineur relatif du ma*

jeur) :

Gamme majeure.

{la) (si) ut ré mi fa sol la si ut

Gamme mineure.

la si ut ré >)ii fa sol' la

Il faut donc conserver six des notes de la gamme majeure, mais hausser d'un demi-ton la note qui devient la sensible de la gamme mineure. On indique donc une fois pour toutes les mêmes altérations, par la même armure de clef, pour une gamme majeure et son relatif mineur. Quant à la sensible de la gamme mineure, on la hausse (chaque fois qu'elle se présente dans le cours du morceau) soit par un dièse, soit par un bécarre, si la sensible est bémolisée par l'armure de clef, soit même par un double dièse.

Voici des exemples. La gamme de la mineur relatif d'ut majeur est écrite plus haut; le sol est diésé.

Dans la gamme d'ut mineur relatif de mi' majeur (3 bémols)

ut ré mi' fa sol la* si ut

la nouvelle sensible si, qui serait bémolisée d'après l'armure de clef,. est affectée du signe \ au cours du morceau.

8o CHAPITRE VI.

On vérifiera qu'il y a un bécarre dans les tons mineurspossédant trois bémols ou davantage.

Dans la gamme sol* mineur relatif de si majeur (5 dièses)

sol'' la si ut' ré" mi fa sol"

la nouvelle sensible fa^ qui est diésée par l'armure de clef, doit être élevée d'un ton entier. On l'affecte du signe double dièse 85 ou •*. On vérifiera qu'il y a un double dièse dans les tons mineurs possédant 5, 6 ou 7 dièses.

49. Système de sons obtenus par quintes naturelles. Notations. — Pour faciliter la discussion, nous introduirons des notations qui permettent de distinguer plusieurs notes de même nom.

Reprenons le Tableau du § 48; mais, au lieu d'utiliser la quinte tempérée de 1 75°", 5, utilisons la quinte juste de 176°", 1 - Il résulte de l'obtention des sons par élévation ou abaissement d'un certain nombre de quintes et transport d'un certain nombre d'octaves, une gamme sur laquelle nous viendrons et qu'on appelle gamme pythagoricienne du nom de son inventeur.

Voici les intervalles en savarts; je mets en regard les intervalles de la gamme naturelle et de la gamme tempérée

ut. ré.

G. tempérée o 5o

G. naturelle o 5i

G. pythagoricienne. .. . o di

Pour obtenir la note diésée, il faut monter de 7 quintes (soit 176,1 X 7 = i a32ff, 7) et descendre de quatre octaves (soit 3oi x 4 — I20-4) : elle se trouve donc à 28a au-dessus de la note naturelle. Un raisonnement analogue montre que le bémol est à 28- au-dessous de la note naturelle.

En définitive la gamme de Pythagore est constituée par cinq tons de 5i (T( 5 X 5i m 255CT) et deux demi-tons ou limmas de 23t(2 x 23 =r [fi"7). Les tous de 5iff sont recoupés par des notes, dièse et bémol, qui se disposent comme suit :

ut re' ut re

mi.

fa.

sol.

la.

si.

ut.

3oi

3oi 3oi

Les intervalles de demi-tons sont recoupés comme suit :

fa? mi fa mi'

L'intervalle ton moins limma s'appelle apotome; il vaut 2S17.

En définitive, dans une octave, il v a, d'après cette manière

d'obtenir les sons, 21 sons différents dont voici le Tableau

général.

ul. ré. mi. fa. sol. la. si. ut.

N'oies naturelles o 5i io> 1 2 5 176 227 278 Soi

Notes d iésées 28 79 i3o 1 53 204 255 3o6 329

Notes bémolisées.. . . — 28 23 74 97 148 199 25o 273

Dorénavant, quand nous écrirons une note quelconque, c'est la note de ce Tableau qu il faut entendre. — Si nous plaçons une barre au-dessus de la note, fa par exemple, le son fait avec lut l'intervalle du Tableau plus o'7 ; si la barre est sous la note, fa par exemple, l'intervalle est diminué de 5a. Plusieurs barres élèvent ou abaissent la note d'autant de commas.

La gamme naturelle majeure s'écrit dès lors :

ut ré mi fa sol la si ut

Nous pouvons maintenant acquérir une idée précise de ce (|ue serai t la modulation rigoureuse, la transposition exacte avec la gamme naturelle.

/ 50. Modulation dans la gamme naturelle. — Admettons qu'on veuille moduler en prenant successivement po§ur toniques les sons de la gamme d'ut majeur; voici l'ensemble des Dûtes nécessaires pour les sept transpositions.

ut ré mi fa sol la si ut

sol la si ut ré mi fa' sol

ré mi fa' sol la si ut' ré

la si ul' ré mi fa' sol' la

mi fa' sol' la si ul' ré' mi

si ut' ré' mi fa' sol' la' si

fa sol la si- ut ré mi fa

Scienlia, n° 28. - 6

(Il Wl I m. \ I.

Les 50ns différents dans l'octave sonl au nombre -le 18 pour sept modulations possibles.

Si maintenant on veut moduler en prenant pour tonique L'un Quelconque des sons obtenus, il est clair qu'on ne s'arrêtera dans la subdivision qu'à 3o, sons dans l'octave, en prenant le savart comme dernier intervalle négligeable ( ). Un neut il est vrai, moduler alors dans 3oi tons, mais il est trop'évident qu'aucun instrument a sons fixes ne peut être construit sur ce principe. .

Le Tableau montre que la définition du d.ese et du bémol , narle moyen de la modulation est ambiguë; par exemple, Tous rencontrons deux dièses différents, Vu£ qui provient de la modulation en ré, et Pu» qui provient de la modulation en mi. Donc diéser est tout aussi légitimement hausser la note de (28 -5=) ^ que la hausser de (28 - 10=) i8«. Plus exactement c'est employer, suivant les tons et la position de la note altérée, l'un ou l'autre de ces procèdes. Même remarque pour les bémols.

assurément, quand on veut moduler dans un petit nombre de' tons il est possible de construire un instrument a sons fixes («): le Tableau montre qu'avec .8 sons par octave on peut moduler rigoureusement en prenant pour tonique 1 un des" sons de la gamme d'ut majeur. Mais il n'est pas possible de moduler par demi-tons. ,

Devant ces résultats, on fut amené peu a peu a chercher „„ tempérament, une altération des intervalles naturels, satisfaisant aux deux conditions suivantes : 1° ne pas dépasser ia sons'à l'octave; 2° avoir cependant le moins de dureté possible dans les accords. C'est au xvu° siècle que la quesion fut posée et au zriu- siècle qu'on finit par adopter e tempérament égal. Donnons quelques détails sur cette lustoire.

51 Tempérament. Accord d'un instrument. Partition. Pour comprendre comment se présente la question du

meilleur tempérament, il faut avoir une idée nette de la manière dont on accorde un instrument à sons f:\es. dont on divise l'octave, travail que désigne le mol partition (division en parties) employé par les accordeurs.

L'intervalle le mieux, déterminé après l: octave étant la quinte, c'est toujours par quintes que l'on opère.

On prend vers le milieu de l'instrument (piano, orgue, harmonium, harpe) un son pour servir de base à tous les autres; appelons-le ut3. On accorde le sol3 à la quinte, puis le rét. On revient au ré3. on passe à la quinte la3, puis "encore à la quinte mi,,. On revient à l'octave inférieure mi3. On continue de même, montant de quinte, en quinte et redescendant d'une octave quand on s'éloigne trop.

On recommence la même opération vers le bas, passant de ut3 à fa.2, puis à/a3; de fa3 à si%, puis à si3, et ainsi de suite. • —

Quand une octave est ainsi convenablement divisée à l'aide des deux, octaves voisines, le reste va sans peine puisqu'il suffit d'accorder des octaves successives.

Toute la question des tempéraments se ramène donc, au point de vue pratique, à savoir quelle quinte on emploiera. Si l'on utilise la quinte tempérée, on obtient le tempérament égal; si l'on utilise tantôt la quinte juste, tantôt une quinte plus haute ou plus basse, on obtient un tempérament inégal. Mais, comme la quinte naturelle est la plus aisée à réaliser, c'est toujours elle qu'on cherche d'abord à obtenir, quitte à l'augmenter ou à la diminuer ensuite tant soit pea.

52. Tempérament inégal. — Voici le tempérament adopté jusqu'à la mise en vigueur du tempérament égal, c'est-à-dire iusqu'à Bach et Rameau au milieu du xvme siècle.

A. Partons de Y ut et procédons par des quintes telles que la quatrième ramène le mi, à la tierce naturelle de l'ut.

L'intervalle de quinte qx à employer est donc tourni par la relation

4ql — 2 x 3oi = 97, y1 = i74».8.

La quinte est donc tant soit peu plus petite que la quinte naturelle q = 176*, 1.

S.J CHAPITRE vi.

B. P° Parlons du mi ainsi obtenu ; m oui un- de \ quintes y., et descendons de deux octaves; nous arrivons à un -on que nous pouvons appeler sok. 20 Parlons de 1'///; descendons de 4 quintes «'i montons 'le .'> octaves; nous parvenons à un son que nous pouvons appeler la?. (Voir le tableau du § !\$). Ecrivons que ee^ deux sons coïncident

— kq*. -+- o°3 = *■

D'où <•/, = ijô7, j: = 199. La quinte est à peu près rigoureusement égale à la quinte naturelle. La note x ainsi obtenue est sol- = la? d'à lires la nolalion du S 50.

On obtient ainsi le système de 12 sons dont voici les intervalles en savarts :

ut

ut"

ré.

rcr

mi

fa-

sol.

sol*

Si.

2ÔO

Tel est le tempérament préconisé jusqu'au milieu du XVIIIe siècle.

Les intervalles n'étant pas strictement égaux, un changement de ton est un véritable changement de mode. Certains tons, celui d'ut majeur en particulier, se rapprochent beaucoup de la gamme naturelle; certains autres (le ton de mi majeur par exemple) s'en- éloignent par une tierce qui peut atteindre 10217.

Quelques lignes de J.-J. Rousseau précisent l'importance qu'il va i5o ans on attachait à ces questions. « La tierce majeure, qui nous excite naturellement à la joie, nous imprime jusqu'à des idées de fureur, quand elle est trop forte; et la tierce mineure, qui nous porte à la tendresse et à la douceur, nous attriste lorsqu'elle est trop faible. »

Avec un instrument accordé suivant un tempérament inégal, on possédait donc tout un arsenal de modes différents, richesse que prisaient fort des musiciens attachant aux intervalles pris en eux-mêmes, l'importance dont la citation précédente fournit une idée.

Bien entendu, le tempérament précédent n'est pas le seul

DIVERSITÉ DE MONJMAi

qui ait été proposé (1). Quelques théoriciens ~oulWi&riptctfi£J-lF server la gamme d'ut majeur rigoureusement naturelle et recouper simplement les intervalles de tons. Dans cette division, ils n'étaient plus d'accord. Les uns recommandaient les intervalles iS : 17 et 17 : 16 comme parties constitutives du ton majeur, 20 : 19 et 19 : 18 comme parties constitutives du ton mineur; c'est ce qu'ils appelaient une division arithmétique. Les intervalles sont alors en savarts :

ut ut' ré ré' mi

Naturellement les dièses et les bémols se confondent. Les autres coupaient le ion majeur et le ton mineur chacun en deux intervalles ésaux :

ut ut'

Mais il ne suffit pas de décréter l'excellence d'un tempérament, faut-il encore donner le moyen de faire la partition, et Ton ne peut pratiquement procéder que par quintes. Aussi le tempérament inégal que nous avons d'abord exposé, procédant par quintes avec ses trois preuves {mi à la tierce de

Yut, sol' à la tierce un peu haute du mi, enfin la coïncidant avec le sol'), était-il le seul usité.

53. Tempérament égal. — Quand la musique prit définitivement pour base le principe de tonalité, quand on fit moins attention à la beauté de l'intervalle pris en lui-même et qu'on attacha plus d'importance auxjnodulations, on s'aperçut que le tempérament inégal n'était pas la meilleure solution. Cela devint évident pour les musiciens qui cultivèrent la fugue tonale, Bach par-dessus tous. Il ne s'agit plus de choisir un ton et d'y rester; il faut pour ainsi dire superposer deux tons, manœuvrer simultanément dans ces deux tons. Or, la perfec-

(') On trouve les inventions les plus variées sur la division de l'octave. Sauveur proposait de diviser foctave en 43 parties, qu'il appelait mcrides. Chaque partie valait -'• '\ le ton ou hej/taméi ide valait \<f , le demi-ton majeur 2S5 et le demi-ton mineur 21*. Huyghens réclamait 55 parties.

lion d'un Intervalle est une gêne plutôt qu'un avantage, s'il doit être suivi et précédé du mente intervalle faussé : conservant un terme (!<• comparaison, l'oreille ne s'accoutume plus; sa tolérance est moindre.

On comprit que la seule manière de sortir des difficultés était de fausser également tous les intervalles; d'où le tempérament égal, mis en honneur parBacli dont tout le monde connaît le recueil de fugues : Le clavecin bien tempéré.

Voici comment Chladni légitime dans son Acoustique l'emploi de ce tempérament.

Douze quintes justes font sept octaves plus 6e, intervalle qu'on appede souvent comma pythagoricien. On a en effet

176e7, 1x12 = 2113^2; 3oiCTx 7 = 2107*7.

Comme on procède par quintes pour faire la partition, il faut, quel que soit le tempérament, fausser quelques-unes des quintes. Dans le tempérament inégal que nous avons étudié, 4 quintes devaient être abaissées à 174^, S. On se rappelle que la quinte tempérée, valant exactement 7:12 d'octave, est de ^ô17, 6.

Ceci posé, voici les remarques de Chladni :

i° Sur les 12 quintes, plus il y a de quintes exactes, c'està-dire valant 176e7, 1, et plus le tempérament est mauvais, c^ parce qu'alors le petit nombre de quintes fausses entre lesquelles on répartit le comma pythagoricien deviennent moins supportables.

20 On aboutit à des différences de pureté très perceptibles pour l'oreille, si Ton répartit le comma inégalement entre les quintes.

3° Les tempéraments les plus mauvais sont ceux où il y a des quintes haussées, parce qu'alors quelques autres quintes supporteront, outre une fraction de comma pythagoricien, une fraction de l'excès des quintes haussées.

Conclusion : le seul tempérament admissible est le tempérament égal. — Pour l'obtenir pratiquement on part d'une touche quelconque; on en accorde la quinte juste, puis on diminue aussi peu que rien; on procède ainsi d'une quinte à l'autre. On doit parvenir après J2 quintes ou son dont on est parti, bien entendu en ramenant les sons dans l'octave

-primitivement choisie. Inutile de dire qu'une longue habitude e?t nécessaire pour faire correctement la partition.

54. Reproches adressés au tempérament égal. — Les reproches adressés au tempérament égal lors de son apparition sont curieux, et montrent combien ce qu'on peut appeler le sens musical se transforme d'une époque à l'autre.

Les musiciens se plaignirent d'abord qu'on leur enlevât des moyens d'expression; Rameau eut beau leur dire qu'ils se trompaient, que la variété peut tout aussi bien résulter de l'entrelacement des tons et de la variation de la hauteur absolue, ils répondirent que l'un des procédés n'exclut pas • l'autre.

Ils déclarèrent d'ailleurs incidemment que l'on n'obtient jamais pratiquement le tempérament égal : mais c'est là une question sur laquelle nous reviendrons plus loin.

J.-J. Rousseau, dans son JQjç^jjDnjiajre, prétend même que ■ Coupe ri n etMersenne.au xvue siècle avaient essayé d'introduire le tempérament égal, mais sans succès; l'oreille des musiciens se refusant à souffrir la discordance des tierces majeures trop fortes (ioo7 dans le tempérament égal, g~c dans la gamme naturelle).

Quand Rameau disait que l'oreille s'habitue à l'alt-'raiion de la tierce naturelle, ses adversaires répliquaient qu'ils ne conçoivent pas comment l'orgue pourra s'habituer à supprimer les battements qu'on y entend par cette manière de l'accorder.

Evidemment ce dernier argument est sans réplique; il montre que la théorie d'Helmholtz sur l'origine des dissonances était implicitement admise bien avant lui. Que l'orgue fasse entendre des battements pour les tierces fausses, c'est incontestable; qu'il soit déplorable que l'on ne puisse obtenir toutes les tierces naturelles, ce ne l'est pas moins. Mais le problème ne se pose pas ainsi. Il s'agit de savoir où est le moindre mal, s'il ne vaut pas mieux faire battre toutes les tierces sans trop de dureté, que d'en conserver quelquesunes sans battements, en faisant hurler les autres.

11 est à noter que du côté du tempérament égal sont

d'illustres harmonistes comme Rach et Rameau, et que dans

.l'autre camp sont des gens comme J.-J. Rousseau, auteur du

èH I II U'I l RE VI.

Devin du Village et signataire de la | lira se suivante : « Le plaisir que donne une fugue étant toujours médiocre, on

peut «lire qu'une belle fugue est l'ingrat chef-d'œuvre d'un bon harmoniste. »

J'insiste sur ces questions, parce qu'il est profondément irritant d'entendre si souvent des gens qui confondraient la quinte et l'octave, déclarer fau\, archi-faux, un instrument comme le piano, accordé suivant un système que Bach ne réprouvait pas.

55. Accord réel des instruments soi-disant accordés d'après le tempérament égal. — Le débat est actuellement clos; il est universellement admis que le seul tempérament théoriquement admissible est le tempérament éga1. Mais un autre problème se pose immédiatement : parvient-on à réaliser ce tempérament? Dans quelles limites le réali^e-t-on?

Sur un instrument à sons fixes accordé suivant le tempérament égal, tous les demi-tons étant égaux, tous les sons avant le même timbre, les différents tons doivent présenter exactement les mêmes caractères, à la hauteur près. Or, si l'on fait accorder séparément deux pianos suivant les règles ordinaires de partition (qui doivent conduire au tempérament égal), de manière que V ut du second soit rigoureusement à l'unisson du ré- soi-disant tempéré du premier, on trouve que, ni sur l'un ni sur l'autre de ces instruments, le ton d'ut majeur n'est identique au ton de rê> majeur. Pourtant les toniques, ut pour l'un, ré- pour l'autre, sont exactement à la même hauteur. Faut-il conclure de là qu'il est pratiquement impossible d'accorder un piano suivant le tempérament rigoureusement égal? Faut-il conclure que l'attaque des touches noires, plus courtes et plus étroites, modifie légèrement la nature du choc du marteau et par conséquent le timbre? Helmholtz n'ose se décider.

Évidemment la seule manière de trancher le débat serait de mesurer effectivement les hauteurs de tous les sons, ce qui ne serait d'ailleurs pas très difficile avec un instrument construit de manière que les cordes soient plus directement accessibles à l'observateur qu'elles ne sont généralement. Toujours est-il que le ton d'ut- ou de ré? paraît plus voilé

que le ton d'i/t naturel : même résultat pour le ton d'ut? ou de si- comparé au ton d'ut naturel.

Des organistes ont affirmé à Helmliollz que les divers Ions de l'orgue sont rigoureusement équivalents, ce qui peut tenir à la plus grande facilité d'accorder un instrument à sons tenus. On admet la même identité pour les voix.

Sur les instruments à archet, il est impossible d'ublenir un tempérament rigoureusement égal, puisque les cordes à vide donnent des quintes naturelles. D'ailleurs, les sons à vide se distinguant très facilement des autres par leur timbre énergique, les tons changent de caractère suivant la manière dont les sons à vide y interviennent. Les variations de timbre des différents degrés peuvent donc jouer dans la constitution des gammes un rôle analogue aux différences de hauteur.

Ce qui est vrai pour les variations de timbre des sons du violon, l'est encore pour les sons des instruments à vent. Chacun sait à quel point diffèrent les sons bouchés et non bouchés du cor; quelque chose d'analogue se produit selon le nombre et la position des tuyaux de rallonge introduits par le jeu des pistons.

Il ne faut surtout pas oublier que d'eux-mêmes les instruments à vent tendent à donner la gamme naturelle; on peut évidemment leur faire rendre un son quelconque au moyen d'ouvertures pratiquées dans le tuyau; mais c'est au dépens du timbre et de l'éclat qu'on force les hauteurs naturelles.

567 Gamme de Pythagore. — P.atiquement les instru-

ment ne peuvent s'accorder que par quintes successives, la quinte étant le seul intervalle plus petit que l'octave dont on puisse apprécier correctement la justesse. Il était naturel de transformer ce fait d'expérience en une nécessité théorique. Pvthagore connaissait le sonomètre et son emploi; il savait que la corde dont on prend les 2 : 3 donne l'intervalle de quinte; la simplicité du rapport 2 ; 3 devait le frapper d'autant plus que les anciens étaient habitués à chercher dans les nombres un sens mystique.

La théorie de Pvthagore revient à dire que les sons s'engen- / drent par quintes et par octaves. Nous avons vu qu'on parvient ainsi à une gamme dans laquelle l'octave est divisée en

9° ,CH \i'i nu: vi.

cinq tons de 5i»el deux limmasde 23». Nous avons va qu'en poussant les quintes vers le haut, on peut définir des dièses qui sont à 28* au-dessus delà note naturelle correspondante;

qu'en poussant les quintes vers le bas, on peut définir des l»m. ois qui sont à 2S* a u-dessous de la note naturelle correspondante.

Avec les 21 notes de la gamme pythagoricienne, on peut moduler dans 10 tons différents.

En effet, la série /a, ut, sol, ré, la, mi, si, dont les notes sont à la quinte les unes des autres en montant, donne la gamme d'ut majeur; la tonique est la seconde note de la série. Donc une série quelconque de sept notes qui sont à la file dans le Tableau du paragraphe 48 fournit une gamme majeure de même constitution.

La première série débute par/ah; elle fournit la gamme en 7 bémols, avec ut? pour tonique. La seconde série débute par ut b, elle fournit la gamme en 6 bémols, avec soi? pour tonique. Et ainsi de suite. Nous trouvons successivement la gamme en 7, 6, ..., 1 bémols. Nous parvenons ainsi à la série qui débute par fa et fournit la gamme d'ut majeur. Continuant en montant, nous trouvons la série qui débute par ut, admet sol pour tonique et possède un dièse. Nous sommes forcés de nous arrêter sur la série qui commence par/a*, admet ut? comme tonique et possède 7 dièses. Car les autres séries en montant seraient incomplètes.

Il est à remarquer que nous avons ici effectivement i5 modes distincts, et non pas 12, comme avec la gamme tempérée, les dièses et les bémols n'étant pas confondus (comparer au § 48). Par exemple les tons de réb , sol', utp sont respectivement à un comma au-dessous des tons d'ut*, ■de fa* et desi. Dans un instrument accordé sur cette gamme, il serait possible d'effectuer des modulations enharmoniques, à un comma de distance, au moins pour trois tons.

Que vaut le mode pythagoricien ? Ses défenseurs en France ont été principalement Cornu et Mercadier; mais leurs efforts pour réhabiliter ce mode ont été vains, leurs expériences devant recevoir une interprétation différente de celle qu'ils leur ont donnée.

Le grand argument des défenseurs du mode pythagori-

•cien s'appuie sur la position de la sensible relativement à la tonique, et conséquemment la position du dièse relativement au bémol. Il est incontestable que Je demi-ton majeur 16 : i5 ou 28^ paraît trop grand, non pas entre le mi et lefaà l'intérieur de la gamme, mais entre le s/ et Vut. Nous avons déjà dit à quel point la sensible est mal déterminée; sa parenté avec Vut est peu nette ; elle n'est en somme qu'une note préparatoire à la cadence sur l'octave de la 'tonique. Il y a donc tendance à diminuer cet intervalle pour 1 indiquer le sens de la résolution; les chanteurs et les vioj lonistes ne manquent pas d'y céder.

Mais, outre que les mêmes raisons ne poussent pas à diminuer le demi-ton mi fa (la tierce et la quarte étant deux intervalles parfaitement caractérisés), nous ne sommes pas autorisés à modifier arbitrairement les intervalles uniquement pour rapprocher la sensible de sa résolution. Aussi est-ce une erreur : i° de chercher dans la sensible le principe de la constitution de la gamme diatonique; 20 d'appliquer au demi-ion mi fa la diminution que l'imprécise définition harmonique du si permet de faire sans inconvénient sur l'intervalle si ut.

Quant à la position du dièse par rapport au bémol, les musiciens font aux physiciens une querelle dont il faut montrer la vanité. La raison d'être des dièses et des bémols se trouve dans les nécessités de la modulation (*). La position relative de Vut* par rapport au ré9, par exemple, dépend donc des hypothèses initiales faites sur la structure de la gamme diatonique qui sert de point de départ, et du degré de conformité admis a priori entre les gammes résultant des modulations et la gamme initiale. Donc la discussion ne peut en aucun cas porter sur la position relative de? diè=es et des bémols ; elle n'a de sens qu'à propos de la gamme qu'on prétend la meilleure (gamme de Zarlin, tempérée, de Pylhagore. d'Euler, etc. ), puisque, cette gamme une fois admise, les positions des dièses et des bémols sont complètement déterminées.

(') Je laisse de coté la question du dièse et du bémol envisagés comme notes de passage, comme ornements autour des notes principales du ton. Leur position est arbitraire et au gré du compositeur et de l'exécutant, pourvu que l'instrument permette un tel arbitraire.

(Il \l'lï Kl. \ I.

Si , pal exemple, nous déclarons la gamme de Zarhn la meilleure, nous devons placer les dièses plus lia- que le; bémoU. Si la gamme de Pythagore nous semble préférable, nous devons mettre le- dièses j >lu s haut que le,- bémols.

Là-dessus le- musiciens déclarent énergiquemeni que, suidés par leur sens artistique, les dièt-es sont plus liant que les bémols. Ce qui ne les empêchera pas quelques minutes après de déclarer, non moins énergiquement, le piano faux et la gamme tempérée exécrable. Ils oublient seulement que, pour mettre tous les dièses au-dessus de tous les bémols, il faut prendre comme point de départ une gamme qui soit encore plus fausse que la gamme tempérée, plus éloignée de la gamme naturelle, la gamme de Pythagore par exemple.

Si les tierces tempérées sont dures, que dire des tierces pvtbagoriciennes ! à quels battements l'introduction de cette gamme ne conduirait-elle pas?

La vérité, c'est que les musiciens ne se rendent pas un compte bien exact de ce qu'ils disent. Au fond ils veulent que, non pas tous les dièses, mais certain dièse soit plus haut qu'il ne l'est d'après la gamme de Zarlin, ce dièse étant précisément la sensible. .Malheureusement il est impossible de concilier leurs désirs avec les néces-ilés de construction des instruments à sons fixes.

57. Tempérament dans la gamme de Pythagore. Gamme d'Euler. — La gamme à 21 sons de Pythagore (je rie veux pas dire par là que PylhagDre connût la gamme à 21 sons, la modulation étant ignorée des Grecs) ne peut servir sur les instruments à sons fixes. Il faut la tempérer pour ramener à 12 le nombre des sons à l'octave. J'indiquerai le système d'Euler comme une généralisation de la construction de la gamme par des puissances de 2 et de 3. et comme un exemple de ces fausses théories qui ont l'air d'une explication et n'expliquent rien.

Voici comment Ruler s'exprime dans ses Lettres à une princesse d'Allemagne (lettre IV) : « Quand l'oreille découvre aisément un rapport qui règne entre les sons, leur accord est nommé une consonance ; et, quand ce rapport e-t très difficile à découvrir ou même impossible, l'accord est

MODULATION ET TRANSPOSITION, ETC. g3

nommé dissonance. » Euler oublie de dire par quelle opération mystérieuse l'âme parvient à calculer le rapport numérique de deux hauteurs. Quoi qu'il en soit. Pvlhagore obtient toutes les notes en multipliant la hauteur de la tonique par des expressions de la forme 2a3rl, où a et 3 sont des nombres entiers convenables (élévation ou abaissement d'un certain nombre de quintes et d'octaves); Euler généralise et obtient tous les sons en multipliant la hauteur de la tonique par des expressions de la forme 2a3<J5'!'. Pourquoi s'arrêter en si beau chemin? « Si l'on voulait, ajoute-l-il, introduire encore le nombre -. le nombre des tons d'une octave deviendrait plus grand et toute la musique en serait portée à un plus haut degré, o Dieu nous garde de ce plus haut degré! Voici les 12 sons que lui fournit sa règle; les intervalles sont exprimés en savarts :

fa. /a=- 3 s°l- sol'.

Cette gamme coïncide évidemment avec celle de Pylhagore pour v= o; elle fournit en plus les sons intermédiaires. Je les ai notés en dièses; il serait plus rationnel de leur donner de nouveaux noms, car ce ne sont par nature ni des dièses ni des bémols.

Il est inutile d'insister sur de telles divagations. A propos de la vertu des nombres entiers petits, faisons seulement remarquer avec Helmholtz qu'une consonance peu altérée sonne à peu près aussi bien qu'une consonance juste et mieux qu'une plus fortement altérée, quoiqiien général le rapport numérique qui exprime l'accord atteigne sa plus grande complication par une faible altération. L oreille serait donc capable de distinguer, non seulement que l'intervalle est simple on non, mais encore que l'intervalle complexe diffère peu de s'exprimer par une fraction simple; ce qui est une hypothèse bien singulière.

ut', ré.

ré'. mi.

la.

la'.

si.

ul.

3oi

t»4 CHAPITRE VII.

OBTENTION DES SONS. TOLÉRANCE DE L'OREILLE. PRÉCISION Dl" MÉCANISME.

58. Précision avec laquelle l'oreille reconnaît un intervalle. — Nous avons tous appris dans les traités élémentaires que le com ma, soit 5 savarts, est à la limite des intervalles négligeables. On trouve cette affirmation même dans des ouvrages signés par des musiciens. M. Lavignac écrit (Mu— sique et Musiciens, p. 6) ) que « le comma approche tellement de la limite d'appréciation des sons, que, tout en recoru. ; naissant mathématiquement son existence, on peut musicalement le considérer comme négligeable ». Si le comma est un intervalle négligeable, pourquoi se dispule-t-on depuis des siècles sur la meilleure gamme, puisque les deux gammes les plus différentes qui aient été proposées, la gamine de Pythagore et la gamme de Zarlin, ne diffèrent que d'un comma, et encore pour trois seulement des sept degrés, le mi, le la et le si?

11 est vrai que d'autres physiciens et d'autres musiciens tombent dans une erreur opposée et non moins étrangère. On lit dans Helmholtz (p. i83) que des oreilles exercées peuvent encore percevoir une différence de hauteur correspondant au rapport des nombres de vibrations iooo et iooi. Le plus petit écart perceptible serait donc de

iooolog(iooi ' iooo) = oa, 43,

environ un demi-savart. Le comma valant exactement

1000 log(8i : 80)= 57, 4,

une oreille très exercée pourrait reconnaître 1 : i3 de comma. Proposition qui, présentée d'une manière absolue, est grossièrement erronée et dont Helmholtz d'ailleurs n'est pas responsable.

En effet, plusieurs distinctions s'imposent.

Il faut d'abord séparer nettement la possibilité de reconnaître certains intervalles quand les sons sont maintenus simultanément et indéfiniment, de la possibilité de les reconnaître, quand ils sont émis l'un après l'autre; dans le

OBTENTION DES SONS. TOLÉRANCE DE L'OREILLE. g5

premier cas, la .mémoire n'intervient pas, dans le second s o n r ô|e__HSt j-i réd n m i n g n t .

Tl faut en second lieu distinguer les intervalles; si Ja théorie de l'affinité des sons développée au Chapitre IV est exacte, il est clair qu'on reconnaîtra bien plus aisément la parenté de deux sons faisant approximativement l'unisson, l'octave ou la quinte, que la parenté de deux sons faisant une seconde. On ne peut donc pas parler absolument d'une erreur limite à laquelle près l'oreille apprécie un intervalle ; il y a pour chaque intervalle une erreur limite particulière.

Enfin nous savons qu'il existe des procédés physiques (battements, résonance, etc.). grâce auxquels on reconnaît objectivement l'exactitude de certains intervalles et qui n'ont rien à voir avec la justesse et la sensibilité artistiques de l'oreille. Je ne dis pas qu'une telle expérience est aisée; mais les qua lités qu'elle suppose à l'oreille sont d'un ordre différent.

Ces considérations suffisent à nous rendre prudents dans l'énoncé de limites générales.

59. Erreur dans la longueur des cordes correspondant à l'intervalle d'un comma. — Avant d'aller plus loin, il faut préciser l'erreur sur la longueur d'une corde de violon ou de violoncelle qui entraîne une erreur d'un comma. Le comma valant 81 '. 80 et, pour une tension donnée, les hauteurs des sons fournis p-ar une corde étant en raison inverse des longueurs, une erreur d'un comma correspond à une erreur de 1 : 80 sur la longueur de la corde. La longueur d'une corde de violon est voisine de 4ocm et celle d'une corde de violoncelle voisine de 70e111; donc, quand on veut un son plus haut d'un comma que le son à vide, il faut appuyer le doigt sur la touche de manière à raccourcir la partie vibrante de a corde de 5mm pour le violon, de près de qmm pour le violoncelle. Ce sont évidemment là des quantités fort appréciables. Mais il est clair que, si l'on part, non plus de la corde à vide, mais d'un son à l'octave du son à vide, la corde utile étant alors moitié moins longue, l'écart qui correspond à une erreur d'un comma n'est plus que de 2mm,5 pour le violon, 4mn>,4 pour le violoncelle.

Dans les mêmes conditions, quand on veut limiter l'erreur à un savart, il ne faut pas hésiter sur la position du doigl de

( 11 M'i'riii; \ 11.

la cinquième partie des longueurs ci-dessus indiquées, ce qui représente une précision remarquable, surtout dans les mouvements rapides.

Enfin si l'on remarque : i° que la délimitation de la corde l>;n- le bout du doigt est toujours assez imparfaite, à tel point (|u il suffit sa/ts déplacer le doigt de faire Osciller la main, pour produire un véritable trémolo (procédé dont s'abstiendraient les violons et violoncelles s'ils respectaient les oreilles de leurs auditeurs, mais dont ils connaissent l'effet certain sur un public vulgaire); 20 que les cordes ne sont jamais ^/homogènes, c'est-à-dire n'ont pas tout de leur long rigoureusement le même poids par unité de longueur; on sera tout disposé à admettre que la précision avec laquelle il est possible de donner mélodiquement un intervalle sur le violon est assez restreinte et ne doit pas dépasser quelques savarls. Ceci, indépendamment de la justesse de l'oreille, mais simplement comme difficulté matérielle de réaliser des cordes homogènes et de délimiter une longueur donnée sur la corde.

GO. Position des doigts sur la touche d'un violoncelle pour la gamme naturelle, la gamme tempérée et la gamme de Pythagore. — Pour mieux fixer les idées, j'ai calculé sur le violoncelle les longueurs des cordes pour la gamme naturelle, la gamme bien tempérée et la gamme de Pvthagore. L'octave considérée est celle qui part de la corde à vide dont la longueur est ora, 70, corde supposée accordée sur un ut. Les longueurs à vide des cordes de violon étant de 4°cm environ, pour obtenir les distances sur un violon, il faudra prendre 4 : 7 des longueurs indiquées. Elles sont données en millimètres.

ut. ré. mi. fa. sol. la. si.

ul

naturelle ....

tempérée ....

de P\thagore.

La quant

ité dont il faut déplacer le doigt pour passer de

la gamme naturelle à la gamme tempérée n'est pas infini-

ment petite

, puisque pour le mi il s'agit de ^.mm. Toutefois

il ne faut pas oublier : i° que le calcul est fait pour le vio-

loncelle et

que pour le violon les distances sont à peu près