ENS

joe (4) D == (6) C.

Soit encore un tenseur du second ordre T;; antisymétrique et son vecteur dual D; —= Eijk 1

Multiplions les deux membres par £;

Lin)

Einn D = , Tx = dr. re DS d’où l’expression du tenseur à partir de son vecteur dual

otre a E;mn D}.

CR en EE Nan D ee MTS

(*) De même que le symbole de Kronecker fournit les composantes du tenseur unité, ces symboles généralisés définissent en coordonnées orthonormales deux tenseurs d'ordres 4 et 6 : à/} et 9" (les symboles d'ordres supérieurs sont nuls dans le cas tridimensionnel), qui sont, en géométrie métrique non orientée, des opérateurs absolus. Is président notamment à la construction des invariants d’une forme quadratique.

Sans

9. SUR LES INTÉGRALES ÉTENDUES A UNE SURFACE FERMÉE. — @. Étant donnée une portion de surface S, limitée par un contour C, une convention classique met l’orientation de la normale à S en chaque point,

définie par un vecteur unitaire «, en corrélation avec celle de la courbe C. On écrit alors la formule de Stokes, pour un champ

—+ vectoriel V continu et dérivable,

E- > TE aM = | Ver che #s ë

Le résultat s'étend à une portion de surface de connexité quelconque (*), le contour C pouvant alors se décomposer en plusieurs courbes fermées.

L'intégrale double s’écrit aussi bien

Émis JA Ya, S x

ce qui permet d'énoncer, symboliquement, l’équivalence des

opérateurs = SEE fai et JL À V do, C S

avec extension au cas d’un champ scalaire ou tensoriel d'ordre quelconque (*), soit, en notation tensorielle :

do o dri— E;xxar—— do.

C LS 0x

5 s On note également d’après cela que l’opérateur symbolique « /\ V

(:) À condition naturellement qu'on puisse en orienter la normale de manière uniforme.

(2) C’est ce que nous appellerons la transformation de Stokes. La transfor-

: . ; . ’ ie

mation d'Ostrogradsky consiste dans l’équivalence des opérateurs |] a do S

- > er [T° dr, où $ est une surface fermée limitant un domaine D (& orienté vers D

l'extérieur).

LA

peut être considéré comme purement superficiel, en ce sens que le résultat de son application à un champ scalaire ou tensoriel ne dépend que des valeurs du champ dans la surface S même.

b. Supposons alors que $ soit une surface fermée de connexité quelconque; l’opérateur RES Que IE À …ÀA do SAS est zdentiquement nul, puisqu'il se ramène à une intégrale curviligne

étendue à un contour évanouissant.

En notation tensorielle on écrira symboliquement

Ô El Lr =— AO 0, À 0x}

ou, en multipliant panne, ce qui coude au tenseur antisymétrique Re le vecteur précédent est le dual,

d d trs UE are) ds 0.

Dans une intégrale Ô Am do, CS Tr

étendue à une surface fermée, les indices m et n sont permutables. )

Æ. SUR LES TRANSFORMATIONS D'INTÉGRALES DE VOLUME. — a. Soient définis, dans un domaine D et sur sa surface frontière S,un champ

ne vectoriel v etun RE scalaire 0. Imaginons que pour toute Poues a\ du domaine, soit X sa surface, on ait

(1) fu ff 0 dr.

St l’on suppose l'existence de dérivées partielles continues pour le champ " cela implique, d’après le théorème d’ Ostrogradsky, que

CR MAOT:

divu — ="