SR 7 LEUR

En appelant alors © un scalaire pourvu de dérivées partielles continues, on a k

0 do D AUE) = Fe ui + QÙ

AD

et, par conséquent,

È * [{ do ] ouads= f]] (2 nee 0).

Î s Up 0x;

Ce résultat, comme la condition (1) auquel il est subordonné, ne concerne qne les fonctions w; et non leurs dérivées. Il est facile de l’établir sans invoquer l'existence de ces dérivées, mais seulement la continuité de u; et de 8. Le plus élémentaire est de recouvrir le domaine D par un pavage cubique dont on fait tendre le côté vers zéro. La relation (1) est appliquée à chacune des cellules, à l’intérieur de laquelle on développe d’autre part © selon la formule des accroissements finis.

Par conséquent, sous notre hypothèse élargie, la condition intégrale indéfinie (1) conserve des applications tout analogues à celles de la

condition locale

CRT Vs 10:

Convenons d’énoncer cette condition intégrale en disant que le

ea scalaire 0 est la divergence large du vecteur u. Nous réservons pour ce cas la notation

PT CNET EU)

alors que les divergences au sens classique, définies par l'intermédiaire des dérivées, s’écriront toujours au moyen du symbole V. Le résultat ci-dessus se traduit donc par

Anton) = AE + 9 Au.

stricte extension de l'identité différentielle classique.

Ces considérations s'appliquent tout aussi bien en dotant w; d’autres indices, c’est-à-dire en partant d’un champ vectoriel d’ordre quelconque.

AG b. Remplaçons notamment u; par ee; et Ô par r;, de sorte que la

condition (1})s’écrit (l Ex Ÿ; do = ff ris LE \ VAN

er

Ne > feaez ff rar. x “ k :

On dira en pareil cas que le champ vectoriel r est le rotationnel large Ca °

de s ; cela s’écrira

soit

ADN PORPI==N,

en réservant la notation en V pour le rotationnel classique. Il apparaît alors que, sio est un champ scalaire à dérivées continues,

> > = > rotor —orote + V À?

ou, si # est un champ vectoriel à dérivées continues, à SES SMS RS

dive À @—w.rotp — p.V À æ.

On étend facilement au rotationnel large la formule de Stokes

PRES = ‘; M ff. ado ; c s

réciproquement, cette relation, vérifiée pour toute portion de surface, entraîne la condition (2). Ainsi pour que F;dx; soit une différentielle

, . . . F2 . L e exacte, ‘;étantcontinu, ilfautetilsuffitquerots existeetsoit identiquement nul (*). ;

c. Dans le même esprit, considérons maintenant deux scalaires o et d, fonctions des coordonnées Ti, Ls, 3 et aussi d’une quatrième variable 4, le temps pour ce qui nous intéresse. Ces fonctions étant

(*) On voit également par là qu'un rotationnel possède une divergence et qu'elle est identiquement nulle.

supposées continues par rapport à l’ensemble des variables dans une certaine région de l’espace et un intervalle de variation de, imaginons que

l S 2 (3) a [ ede= ||] de dt À fi

quel que soit le domaine fixe A. Alors © possède en chaque point de la région considérée une dérivée partielle en #

En effet, de la relation (3), dont les deux membres sont continus,

ae : ee Il o(M, )de— ff] o(M, n)de= dr ff vu, t) dr, AN A Cr, Â

donc en permutant les intégrations

M) M 20 lac “CM, :

AA FM 20 ar dE y(M Dal

quel que soit A. Vu la continuité, cela implique

on tire

le à li

d’où le résultat annoncé.

La propriété s'étend au cas où les domaines considérés, au lieu d’être fixes dans l’espace repère, sont entraînés dans le mouvement d’un milieu continu à champ de vitesses différentiable. La dérivée qui s’introduit alors est une dérivée par rapport à £, prise en suivant un élément du milieu, soit, comme nous le dirons dans le paragraphe suivant, une dérivée séquente.

5. VECTEURS LIÉS A UN MILIEU COMTINU. — 4. Nous considérons un milieu continu dont le mouvementest décritrelativement àunrépèreOx,æx,æx; par les variables d’Euler u;(x,, t), composantes de la vitesse en chaque point æ,, pour chaque instant &. Nous supposons l'existence des dérivées

: du; : ; ; partielles =." continues en x, et en'{; on sera également amené au k È

Loge G À RAA du; ; me chapitre IT à invoquer l'existence des dérivées > qui conditionnent l'expression de l'accélération. fs Le mouvement d’un élément du milieu se définira par intégration du système de trois équations différentielles

dx; Ge PE) ve

Justiciable de la théorie classique, puisque de l’existence et de la conti-

ain, du; a ie nuité des =— on conclut que les w; vérifient des conditions de TL}:

Lipschitz.

b. Soit alors, dans l’espace de l'instant 4, , une suite de points M,(À) ordonnée selon les valeurs d’un paramètre À, avec un vecteur dérivée

6 d. LUCE Ar 1 é rer > géométrique ee De la théorie générale des équations différentielles

il résulte que la suite des points M(À), positions à tout autreinstantt

des éléments matériels qui occupaient les positions M, (À) à l'instant £,, =

présente aussi un vecteur dérivée géométrique ra Pour telle

valeur À, de À, on définit ainsi un vecteur, issu d’un élément déterminé du milieu et dont la grandeur vectorielle évolue dans le temps. D’après des calculs classiques concernant la dépendance des intégrales d’un système d'équations différentielles à l'égard des conditions initiales, cette évolution peut se définir par i() demo:

dt\ dÀ ) di 0x D'une manière générale, un vecteur mobile issu d’un élément du milieu, dont la grandeur vectorielle évolue selon une semblable loi dl; du; di — Que *

ou, en notation vectorielle,

sera dit /é au milieu. Intuitivement on peut concevoir un tel vecteur comme demeurant dans un rapport constant avec un segment infinitésimal joignant deux éléments matériels voisins, segment qui apparaît ainsi transporté par le milieu. Il s’agit visiblement là d’une dépendance intrinsèque à l’égard du milieu, indépendante du choix du repère (x; invoqué pour décrire le mouvement.

M + . ‘ . La . SAT 7. S1 l’on considère ensuite un vecteur a, issu d’un élément du milieu el évoluant selon une loi quelconque, le vecteur

à . Fa . .

différence entre la dérivée de a, et la dérivée que présenterait ce vecteur

si, à partir de sa position instantanée, il évoluait comme lié au milieu, ; 9 ee sera appelée dérivée du vecteur mobile a par rapport au Lemps pour

un opérateur lié au mulieu ou, plus brièvement, dérivée cinématique par rapport au mulieu ('). Nous représentons cette dérivée par le

> symbole A a.

6. DéRivéE D'UNE INTÉGRALE DE SURFACE. — a. Considérons une surface matérielle, constituée par des éléments du milieu paramétrés en À, u.

À une portion infinitésimale do de cette surface s'associe le vecteur a 7 . , .

infinitésimal & do (a, vecteur unité normal), dont on peut préciser

comme suit l’évolution dans le temps : on introduit un vecteur infini- Le le ce : 4 AD TE tésimal /, lié au milieu, issu d’un point de do, de sorte que / .« do

représente, à un ordre supérieur près, le volume d’une cellule matérielle en forme de cylindre oblique. On a alors l’équation des

dilatations eo (ra) = (Fu) (Ge se

(1) Pour plus de détails, sur le contenu de cette notion et la transposition à la cinématique des milieux continus de certaines idées directrices de la cinématique des solides, voir J.-J. Moreau, Sur la notion de système de référence fluide (Congrès national de l'Aviation française, 1945, sous-section n° 31, rapport n° 368).

k l THEÉSE J.-J. MOREAU. 1