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appelé vecteur dual du tenseur. De l’antisymétrie de e il résulte d’ailleurs que ce vecteur est nul lorsque le tenseur est symétrique, et ne dépend donc en fait que de la partie antisymétrique du tenseur T.
D'une manière générale, dans l’espace orienté à n dimensions, on invoquera un tenseur d'orientation €, d'ordre », qui préside à la défimituon des opérations orientées. Son introduction permet de saisir l'influence du nombre de dimensions sur le développement du calcul orienté.
c. Nous nous bornons ici au cas tridimensionnel. Les règles de calcul des opérations orientées se condensent en quelques résultats très simples concernant le tenseur €.
Soit d’abord un produit tensoriel du tenseur € par lui-même
d, 0, d NOUS < Le Ne N NP n N m EijkELmn — O 0! 0! X< 0 OR Ô 3 96 9 d dr 0 . d
La multiplication ligne par ligne conduit à un déterminant dont chaque élément est de la forme
d’où
EijkEltmn — | 0; jj
l Sin SA 2 Nm Ju OP | 0 j
en introduisant ce que nous appelons un symbole de Kronecker généralisé; d’une manière générale
* À NA d, où (2 SÀ NA Na < ? 08 0ù 08 Del t dù où n’est différent de zéro que si «fi ... {et Au ... € sont deux permuta-
tions d’un même groupe d'indices tous distincts; sa valeur est
do
alors (— 1): lenombre d’inversions faisant passer d’une permutation à l’autre (*).
Envisageons maintenant une contraction
= = Née EijkEimn == O;jx .
Après développement du déterminant, il reste
mn == Smn -= msn m An 1 AOpn à dd GT HO r Of
Ce résultat condense pratiquement toute la technique du calcul des opérations orientées.
Soient par exemple trois vecteurs a, b, c et le double produit vectoriel SU G p— aY\ KO 6) on écrit
Pi Eijr A; EkIm DiCm — Ekij Ekim A; bic — (d! 0 Te ) 0) C7 bic — À; be; Hi a;b;c:, ce qui donne la formule classique du double produit vectoriel
