CHAPITRE I

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA STRUCTURE TOURBILLONNAIRE. STRUCTURES SINGULIÈRES.

7. LA SOMME TOURBILLONNAIRE. — a. Etant donné, comme au paragraphe précédent, un milieu continu à champ de vitesses différentiable, nous considérons le vecteur tourbillon

Fe Gi ne / u.

Pour une portion D du milieu, l'intégrale . > K = f] 6) dr D

peut être appelée somme tourbillonnaire de D. La transformation d'Ostrogradsky donne, si S est la surface entière,

6) Fe 7 s

ea Ta Nous en concluons d’abord la nullité de K lorsque w est nul sur S

rap Pn ; Ke , 1 e £ S 0] ou, dans le cas d’un milieu s'étendant à l'infini, si r°|w| s'annuleuni-

I , e formément avec “ En outre on écrit

2 Au=(antŸ)ON = (ce 1 a.v)oM— (à À a.Ÿ)OM

SMS TRALELS SN AR 2 OM 2(2.0)0M, ce qui, pour toute surface fermée 3, nous laisse

DRE OGM ETES œ Nudo—=.2 | fon 5 VS 4 . Cu PE ., = 1e) Ü . . .

K est donc nul si «.«w est nul sur la frontière du domaine (a Jortiort si

w est nul). Nous disons en pareil cas que D constitue un noyau tourbllonnatre où qu’il présente une structure tourbillonnaire fermée. Cette

ee ah site ; Ê . .

condition 4.0 — o est vérifiée en particulier pour loute portion de

surface sur laquelle v est identiquement nul. Dans l’hypothèse d’un domaine D s'étendant en outre à Pinfini, la

[2 . . f , TE 3 L condition usuelle pour que l'intégrale K converge est que l’on ait une condition de Hôlder :