AS ) A2 P

LS 1 ve I. Mai ésultat est encore valable, même si puisque V.w est nul. Mais ce résultat es :

Se - , l'existence de V.w n’est pas assurée, en vertu des considérations du

paragraphe 4 a, car pour toute surface fermée

ire I SRE URI ES) de Vodo— &'YNIN U'do —0:

«47 N° 2 Di fé È

On a des lors

quel que soit D, ce qui entraine, d’après le paragraphe 4 c, l'existence de la dérivée

Co 1 (3) alse)=: en

Par passage aux composantes on obtient les équations de Helmholtz que nous établissons ainsi sous des hypothèses notablement plus larges que dans l'exposition classique. Les considérations cinématiques du paragraphe 5 6 donnent à ce résultat une forme particulierement frappante ; (3) équivaut en effet à

Tee (26 )=e.

ae hs ET 2e ; Le vecteur © attaché à un élément matériel est lié au fluide (1).

(1) On trouve déjà dans : Vessior, Sur les transformations infinitésimales ct la cinématique des milieux continus (Bull. Sc. math., 1.38, 1911, p. 233) l’énoncé suivant : Le vecteur obtenu en divisant par la densité le vecteur tourbillon se comporte pendant le mouvement comme un élément linéaire du /luide. Voir également : KELVIN, On vortex motion (Mathematical and physical papers, vol. k). ,

Il est plus imagé d’ailleurs de considérer une portion infinitésimale de fluide :

là masse dm étant invariante, on voit que la somme tourbillonnatre élémentaire TRE ee dK = © dt = -w dm est liée au /luide.

Eye

C'est dire qu’on peut trouver dans le fluide une suite M() d’élé-

ments matériel tels que Le 1 ie __ dM Da TA Dès lors, si l’on a fait choix, au sein du fluide d’un réseau de coordonnées matérielles a, b, c (usuellement : les coordonnées des positions qu'occupaient les divers éléments à tel instant origine £,), on aura Es dM OM da OM db OM dc

DCS D ER dE 0bdi.

c’est-à-dire

OÙ Pos Go o Sont des constantes vis-à-vis de . Par passage aux composantes on reconnaît les équations de Cauchy.

Signalons ici que cette loi d'évolution du champ vectoriel tourbillon peut, dans le cas d’un fluide parfait incompressible, être mise en relation avec le principe de moindre contrainte de Gauss. Considérons une portion de milieu matériel incompressible à champ de

22 . , . . ep RERO ee vitesse u différentiable, limitée par une surface matérielle S. Soit

défini dans D un champ vectoriel £ tel que

(4) div 80 et > > (5) EU à (fonction donnée sur S).

De telles conditions ne sauraient demeurer satisfaites au cours du

Fa .

temps si le champ + est simplement transporté sans altération par le

ea eus à er de : :

milieu, c’est-à-dire si la dérivée séquente = est nulle. Un ajustement

est à chaque instant nécessaire; nous dirons que la répartition vecto-

RQ TS

rielle est transportée en motndre contrainte par le milieu si l'intégrale

rie WIDE À l

présente, à chaque instant, le minimum compatible avec les conditions

Eat .

(4) et (5). Or on peut montrer qu’alors le champ rôtr est lié au milieu. Le cas de lhydrodynamique rentre dans ce cadre, en prenant

> > pour s le champ de vitesse v lui-même : À est à ce moment (au facteur s] 2,7 g e] 2177 . 9 DUO , ‘ . , o près) l'énergie d'accélération d Appell, minima d’après le principe de Gauss. | d. Revenons à la cinématique pure. Si l’on admet l'existence du

. ce . A rotationnel de y la relation (2) nous donne

Per a tre TRE ee LE 0e a(0)= AR Tee ou PE Te + 6 Dir Pin 7 (6) afin) Ne

On met immédiatement en évidence à partir de là un résultat classique de Kelvin (‘) :

Pour que les lignes tourbullons conservent dans le temps leur individua- CA Poe . a . . £ lité matérielle, il faut et suffit que w soit partout colinéatre au rota-

| = tionnel de es

. . ic , L - En effet, la direction de w doit alors être une direction matérielle

Re EURE LOT PR A RER en

(*) Cf. Arperr, Traité de Mécanique rationnelle, t, III, 3e édition, P- 599.

ATNOTEE

. : ar : ; ; , PRES:

invariante, c'est-à-dire qu’il doit exister un scalaire 4 tel que : w soit # )

lié au milieu :

PRES AN as 5 ce a ka (eu )=e.

pu Jade p PME Il faut et suffit pour cela que 17 1> : ES ES LEE cn AD( ES )=e ou SA VA y) =o \ : ï / Ë

8. INTERPRÉTATION TOURBILLONNAIRE DES SURFACES DE GLISSEMENT. — a. Supposons maintenant qu'il y ait dans le milieu une surface de glissement ; nous entendons par là une surface séparant deux portions E’ et E” du milieu qui glissent l’une sur l’autre en conservant dans le temps leur individualité matérielle. En général cette surface X se meut dans l’espace. À chaque instant elle est le siège d’une discontinuité pour le champ des vitesses, mais on montre que cette discontinuité est purement tangentielle (!), c’est-à-dire que

> > > DENT CAES 0

Les discontinuités de vitesses rencontrées en hydrodynamique sont toujours de cette sorte.

(*) En effet, les frontières des portions E’ et E" sont deux surfaces matérielles Z' et À” qui glissent l’une sur l’autre. Faisons choix dans Z’ d’un réseau de coordonnées matérielles À et 4, de sorte que, à chaque instant, la surface È admet la représentation paramétrique

HS > MPG A) TRES SES

Les différents éléments de XŸ”, se déplaçant dans X, ont des coordonnées À, fonctions de !

. — CCR LUETR : DRE OP LOME== î

OX dt du dt dt

d'où

vecteur qui est bien tangent à À,

ilante

Il est classique d’assimiler une telle surface à une répartition tourbillonnaire, chaque élément do de la surface devant être considéré comme équivalent à une cellule tourbillonnaire spatiale

+ 1> © dr © - à /\ (rer ) de ce 5 or 4 Q re | G s I (x représente le vecteur unité normal à do, orienté de la région P' vers la région P). On peut dire qu'il s’agit d’une couche tourbillonnaire, de densité superficielle