TES 8 Y = TRES RY & Y

Du point de vue strictement descriptif, cette équivalence apparaît intuitive si l’on envisage l’élément do comme limite d’une couche

a . . . BA d'épaisseur infiniment petite, dans laquelle w varierait linéairement. De façon plus précise, l'assimilation est légitime pour toute transformation intégrale de la forme

ff x 6+A AN. a de ff As A ad, et l) S

où À représente un champ vectoriel quelconque, à dérivées partielles continues. En supposant en effet, pour fixer les idées, que la surface Z partage le domaine D en deux portions D' et D’ Fo Ë, la cloison commune ) et la surface frontière S en deux portions S’ et S”, il suffit d'écrire

TASSE TANT fAsnud— |] À .a N\ u! de:

LE D’ L Dan

PA NS MOMENT E TS > fl Mod) de JO RS À ua D" " S" ; J.

et d’ajouter, pour obtenir

€ + + — + +) + > > + > Ill GAS +X A a)æ + ff Aa Au ur) de = f} ARE Up À D S

On peut de même étendre la transformation stokienne

= SARA ris house vai) aa fox.

Er. ire

(9 champ scalaire à dérivées partielles continues), au cas où la cloison S est coupée, selon une courbe l', par la surface de discontinuité Ë. On doit poser que chaque élément ds de l apporte à l’intégrale double la contribution d’un élément superficiel dégénéré

& 5 be > Se OLA ILE u').dM.

En d'autres termes, le flux de la couche tourbillonnatre Ÿ à travers un élément de surface do ne dépend que de l'élément de courbe ds selon lequel E coupe dc et s'exprime par

rie + à =\u— u").dM = p.nds

> (r vecteur unité normal à l’élément linéaire ds, tangent à la couche X,

dans le sens pris pour sens positif de flux). Cela est bien conforme au principe d’assimilation.

En résumé, on peul dire que l’assimilation de la discontinuité à une couche tourbillonnaire est légitime dans les considérations intégrales où la structure cinématique intervient {néairement. Ces considérations se prêtent d’ailleurs à un symbolisme uniforme, suggéré par la notion d’intégrale de Stieltjes, qui englobe lés répartitions tourbillonnaires spatiales et superficielles (*). À toute portion infinitésimale d’espace,

on associera l’élément vectoriel K, somme lourbillonnaire propre ou assimilée, et à toute portion infinitésimale de surface, l’élément scalaire d®, flux de tourbillon propre ou assimilé. Et il vient en toute généralité ?

> + + >> PSE > ll 2 ÀA.dK + A AVud= |] A.a /\ udo, D “D * s Aer 2e redire a Pa row | oV A u.a'do== | ou.dM.

s SG C

IL importe toutefois de noter que les relations intégrales ainsi obtenues ne peuvent être utilisées qu’à titre instantané. On ne pourra

graphe 12 d.

PAT To eue

pas, comme dans le paragraphe précédent, leur faire subir de dérivation séquente, parce qu’un domaine d'in tégration ainsi traversé par une surface de glissement se trouve scindé lorsque le milieu évolue

(cf. S21 a).

b. Passons maintenant à un autre type de transformations intégrales, non linéaires Par rapport à la structure citématique, et vis-à-vis desquelles pourtant l'assimilation tourbillonnaire de la. discontinuité reste légitime.

L'intégrale, étendue à la surface fermée S,

Îlie-Gale

se transforme en une intégrale étendue au domaine intérieur D, portant sur la quantité

d’où )

fiez Ca) ad ff (an nS 0), Je |

, . . . ee Lai 0 désignant la dilatation Ÿ.«.

Cette relation a d’ailleurs une portée torsorrelle, c'est-à-dire qu’on à pour les moments

——- à a à fon ur-(i)ile LU S :

à ns De Pen es ae MAC: NN > +\>7) = /]] Lu OM AV (2%) AE TOM ane 5 * * x

ie a > = ff OM À (a REA D

Supposons alors le domaine D partagé par une surface de glisse-

RÉROAURE

ment =; en écrivant séparément la relation ji les deux parties et en ajoutant, on obtient

ARENA > SN > ua — u.2)u |de A

= CNETA PS

D ARE ne AA Se u2'@ HEC ee ir ad

Or, eu égard à la condition > > u 10

= Se AND ANC

on écrit l'élément différentiel de la dernière intégrale

TETE ICE re ee) de

A Dunb e En E ea NE UN Re

en introduisant la vitesse médiane

On devra considérer cette valeur 2* comme définissant la vitesse dans la surface Z elle-même, conception qui va s'imposer dans la suite avec une force particulière. La relation des moments s’étend de la même façon.

Signalons encore que les relations intégrales en question, quadratiques par rapport à la structure cinématique, engendrent des relations

Te .

polaires. En prenant en effet pour w une expression de la forme

> > À u + pu,

> > : s où u, et uw, sont deux champs vectoriels, À et 14 deux paramètres,

Le ah AE

on oblient, par identification des termes rectangles en À, y,

+ +\S NN AN ENS [l | CORAN AT CONTE TE CA té er S

Fa Ca Te F2 ca = 2 a /\ Do 2 Le /\ y 10) Ds U: dr D

et résultat analogue pour les moments. Nous verrons, au paragraphe 11 4, cette relation polaire jouer un rôle assez semblable à celui des relations de réciprocité dens les théories harmoniques.

c. Abordons maintenant, de ce même point de vue de l’assimilation tourbillonnaire, la dynamique d’une surface de glissement dans un Îuide par fait helmholtzien (*).

Cette hypothèse implique l’existence d’une relation entre pet o, et par suite, une expression de la fonction P(p) valable de part et d'autre de £. La pression p doit rester continue à la traversée de 2, donc aussi la fonction P. Il en résulte que la composante tangentielle de VP doit

être la même de part et d’autre, d’où finalement > > > œ /\ (F- Fr) LE

Tel est notre argument dynamique.

Outre les couches frontières X et X” nous imaginons une couche médiane *, qui glisse également sur elles et caractérisée par la vitesse (?)

a TR le u À

ea UÙ—

(*) C. R. Acad. Se., 1. 228, 1940, P. 1923.

(?) La possibilité cinématique d’une telle couche se montre immédiatement en reprenant les notations de la page 22, note (*). En effet, le système d'équations

différentielles d} I

ah 1 du I DES

U(A,p, L), D? OU U, À)

définit bien le mouvement d’une couche matérielle glissant sur Ÿ’. Or la vitesse d’un élément de cette couche est

MAR Le

Nous considérons alors un élément tourbillonnaire superficiel > + 17 > > K= par 5° À (ue u') do

dont nous allons étudier l’évolution, en supposant l'élément de surface do entraïné dans le mouvement de la couche médiane. Cela, en vue d’une analogie avec les équations de Helmholtz, lesquelles définissent l’évolution d’une cellule tourbillonnaire

lorsque l'élément de volume d7 est entraîné dans le mouvement du fluide.

En posant, pour abréger,

LAT— CO, (au) =6, nous écrivons (‘) dk he Fe > À TE NÔ To.

La Le . HS (& À A) A u?, : Ce Rte = £ ci Ar La Le et (a.Ÿ) u' CRIER

(*) L’équation (1) invoque des dérivées partielles de w* par rapport aux trois coordonnées; la suite des calculs montre ce que nous entendons par là : w' possède des dérivées partielles continues dans E/, définies Jusque sur la surface 2,

rer = à + E” : < >> de même que les dérivées partielles de w” sont définies dans E” et jusque sur 2.

: > à Ce sont alors les demi-sommes qui constituent les dérivées partielles de u*. Mais

Log ner

et, par conséquent,

puisque

et que

+ ve He w" étant ce qu'on peut appeler le tourbillon de la couche médiane. Et l’on écrit alors

car

représente la composante normale de w*. Donc, en définitive, dk Ne Fr = de a) u+20, À K

il importe de noter que, même en l'absence de cet artifice, et bien que u* ne soit défini que dans À, on peut donner un sens à l'expression

(Vac)auw=- (GAY) À % de,

> > parce que l'opérateur « /\ V est, comme nous l'avons fait remarquer au chapitre I, purement superficiel.