FR
ou, en introduisant une dérivée cinématique relativement à la couche médiane,
> > DK —20: À K.
+ Ainsi, lorsque w, = 0, soit usuellement lorsque w est tangentiel ou nul > de part et d'autre de È, le vecteur élémentaire K est lié à la couche médiane.
Alors, mais dans ee cas seulement, où w° est nul (*), apparait une analogie profonde entre la dynamique de la discontinuité et la théorie classique des structures tourbillonnaires helmholtziennes de l’espace.
On remarque d’abord que les lignes tourbillon de X, c’est-à-dire les
Te .
lignes intégrales du champ 1. (ou lignes orthogonales au vecteur de
re . RTS tie ., ñ discontinuité à ), peuvent être considérées comme matériellement liées à la couche médiane, puisque, en chaque élément de cette couche, la direc-
tion de f est'aussi celle d’un vecteur K lié à la couche.
La portion de couche médiane comprise entre deux de ces lignes constitue une bande tourbillon, dont les propriétés s’assimilent à celles des tubes tourbillons de la théorie classique : le flux de la bande à travers une surface de section s'exprime, selon le principe du paragraphe 8 a, par une intégrale curviligne étendue à la courbe de seclion AB,
> > I > 0 D D — [ PUAS CS a (2 u").dM
AB
et cette valeur reste constante dans le temps lorsque l'arc AB est entrainé dans le mouvement de la couche médiane. I] suffit pour le voir de constater l’invariance de
Fe Fa ms PA ea > ste u").dM er db: CNE
A Es NX (:) Condition qui peut s’interpréter en disant que u*.dM est dans Zune différentielle exacte.
sys pp « ° , û e ta où dM est un vecteur lié à la couche. Or, si l’on introduit un élément de surface do avoisinant M, le scalaire
Le Ne des (SA &.dM) de = &.K À dM
représente, d’après ce qui précède, l’aire d’un parallélogramme construit sur deux vecteurs liés, et évolue donc selon la même loi de dilatation que l’élément de surface do lui-même, d’où l’invariance
annoncée.
Il est à noter que le flux ® de la bande n’est indépendant du choix
de la section que si
c’est-à-dire, d’après l'hypothèse antérieure, si
A a 0 DPI NAITE=I0:
Dans ce cas (‘), on voit que le vecteur de discontinuité
ANR RES
DO est tel que
