AN ANNEE

(or em

soit dans X la différentielle exacte d’une fonction 9, que nous appellerons le potentiel de discontinuité. Il résulte alors de ce qui précède que le potentiel de discontinuité est défini dans la conche médiane d'une manière indépendante du temps.

9. Cas BIDIMENSIONNEL. — a. Les considérations des paragraphes préeédents se transposent avec quelques modifications pour le cas d'un milieu évoluant dans le plan. La signification usuelle de ce concept est de décrire un mouvement tridimensionnel dans lequel le champ des vilesses, partout perpendiculaire à l’axe des z, est indé-

(*) Cela revient à dire qu'il n’y a pas de fuites tourbillonnaires entre 2 et l’espace ambiant,

CA Li No

pendant de la coordonnée z. Le vecteur tourbillon est alors partout colinéaire au vecteur unitaire de cet axe :

WC z de sorte que la structure tourbillonnaire est décrite par la donnée du champ scalaire © dans le plan.

On note d’abord une différence essentielle avec le cas de Ne pa

l'intégrale de €, pour un noyau tourbillonnaire isolé du plan, n’est pas nécessairement nulle.

Soit D une aire du plan, limitée par une courbe fermée C, qu’on . 2 r . ? a ON .

oriente consécutivement au sens de z, de manière à permettre l'appli-

calion du théorème de Stokes :

# P ’ > > + ee cda=: |] SAV. de 4 D 2 D5 :

< res ss D u.dM.

2 CG Dérivons en supposant que l’aire D conserve son individualité maté-

D LL Dr LB. 2) (Fa) C C

dt 2

rielle :

la seconde intégrale est nulle, puisqu'elle s’écrit I Duke DR TD u? V.dM.

b. On en tire une première conclusion : si le milieu est helmholtsien, non pas forcément dans toute l'aire D, mais seulement au

+ voisinage de la frontière C, y se trouve être tout le long de C le gradient d’une fonction uniforme, d’où

dk!

La somme tourbillonnaire du milieu intérieur reste constante (*) :

(:) Ce qui revient évidemment au théorème d'invariance de la circulation de

Lagrange-Kelvin.

AD se

e fluide helmholtzien apparaît ainsi comme non conducteur du tourbillon €. | Du point de vue local on rejoint ce résultat classique : si le fluide è as ne MED | ; ADN est helmholtzien au voisinage d’un élément, la dérivée séquente — 2 y Î

est nulle. À l’élément considéré s'attache une valeur de - constante

dans le temps.

c. Considérons maintenant un milieu quelconque emplissant tout le plan, dans lequel les contraintes intérieures sont décrites par une pression hydrostatique p, superposée à un tenseur d'efforts T;. On

pose OT

— = O;, dt be

Bornons-nous, pour simplifier, au cas d’un milieu incompressible ; parmi les forces qui sont appliquées dans la masse, on sépare celles

. - Re qui dérivent d’une fonction de forces U, des autres, soit F do pour un élément de surface (et pour une tranche d'épaisseur unité). L’équation de La dynamique s’écrit alors q ÿ s

PREND) ESS D'où

HOME TR Ie

Sir s’annule régulièrement à linfini, l'intégrale K' converge sur le plan entier. Et si l’on suppose l’annulation uniforme de rF et ro, il reste (1) dk ACTE

D OC Se D Eee Ci Ge A RE SR

(*) De facon plus précise, on Supposera que les majorations impliquées par les annulations en question sont uniformes non seulement vis-à-vis de 7, mais aussi vis-à-vis de £. À cette condition, en étendant K’ à un cercle de rayon 7’, on pourra montrer

* RE pK NV CARE

La démonstration est d'ailleurs facilitée par une transformation du type de celles du paragraphe 18 b, ramenant à un domaine fixe.

DAT: 4 FOR La somme tourbillonnaire du milieu reste alors constante. En parlicu-

lier elle est nulle si le milieu est parti du repos.

d. Les considérations du paragraphe 8 se transposent également sans difficulté dans le cas bidimensionnel. Une ligne de glissement peut être assimilée à une répartition tourbillonnaire, chaque élé-

{ > L2 , , . 4 L LA C ment dM de la ligne étant équivalent à une cellule tourbillonnaire superficielle

ak (os 5). 4.

Pour l'exactitude des signes on pourra distinguer le côté intérieur et

C ’ Là ® RE A 4 b le côté extérieur de l'élément vectoriel dM, selon la même règle que pour le théorème de Stokes (le côlé intérieur est indiqué par l’orien-

> > tation du vecteur :/\dM) : les régions discriminées correspondent respeclivement à l’intérieur et à l'extérieur d’une courbe fermée

= . Air: Cut , . , 0 dont d\MI serait un élément dirigé selon le sens trigonomélrique.

" doit alors étre la vitesse du côté extérieur de di, ul! la vitesse du côté intérieur.

Comme dans le cas de l’espace, cette interprétation tourbillonnaire sauvegarde la validité des relations intégrales linéaires par rapport -

Le . .

à u. Il en va de même pour les relations quadratiques

PC M }u #4 |] = ff Laru—0s 1 u jar

OM. La. ah) à — € aM | = = ff on. ERA

à condition de prendre comme vitesse dans la couche de glissement la vitesse médiane

C’est, là encore, la notion de couche médiane qui permet d’adapter au cas d’une ligne de glissement la propriété de conservation du