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tourbillon dans un fluide helmholtzien : étant donnée une ligne de glissement dans un tel fluide, la quantité scalaire

2 dK'— (ui 7). 4

à s re DR est invariante dans le temps si l’élément vectoriel 4M est lié à la couche médiane. Il en résulte notamment que le potentiel de discontinuité est invariant par rapport à la couche médiane.

10. Maicteu NON HELMHOLTAEN. — a. Envisageons d’abord le cas bidimensionnel. Nous venons de voir au paragraphe 9 que la somme tourbillonnaire K’ d’un îlot non helmholtzien se conserve. On peut donc dire que les actions extérieures sans potentiel et les tensions non normales, qui se manifestent dans un milieu non helmholtzien, ne créent ni ne détruisent de quantité tourbillonnaire, mais en produisent seulement le déplacement.

Précisons celte notion dans le cas d’un Jluide visqueux incompressible, régi par les équations de Navier

= V(U—p) BEQ Au.

La relation (1) du paragraphe 9 c engendre alors l’équation locale

(en postulant l'existence des dérivées invoquées). Dans des régions

a où Fest nul on retrouve, comme il est bien connu, une lot de diffusion identique à celle de la chaleur, le rôle de coefficient de conductibilité étant Lenu par la viscosité cinématique

N CHR , Pr pale . ra OUS POSONS ainsi qu un élément de courbe matérielle ds (soit « un vecteur unité normal) est traversé par un flux de quantité tourbillonnaire, à raison d'un débit d' Re Cat ds = — ya .VEds.

Les quantités tourbillonnaires tendent donc, au sein du fluide, à se déplacer dans le sens de décroissance de #.

La présence de forces extérieures ne dérivant pas d’un potentiel contrarie cette évolution, on a cette fois

df = (GAP Ve).aas,

ce qui superpose à la tendance précédente celle d’un déplacement des tourbullons dans la direction perpendiculaire à la force (*).

Les forces sans potentiel ont une action motrice sur la structure tourbillonnaire, au sein du fluide : elles engendrent en quelque sorte une polarisation tourbillonnaire. C’est une idée qui sera précisée au chapitre II.

b. Soit alors un fluide visqueux bidimensionnel illimité, initialement au repos. Les forces extérieures qui viennent le mettre en mouvement (?) produisent un déplacement tourbillonnaire, une polarisation, qui se traduit par l'apparition de régions où € est positif compensant des régions où € est négatif. Ce déséquilibre se diffuse alors au sein du fluide, tout comme un déséquilibre thermique. Le fluide est en mouvement, mais se confond asymptotiquement à l'infini avec un milieu au repos. On conçuit donc que l'allure à l'infini de ce phénomène de diffusion soit la même que pour un milieu entièrement au repos, ce qui conduit à une structure asymptlotique de la forme

Une étude rigoureuse de cette question délicate sorlirait de notre programme. Retenons seulement que dans un fluide visqueux illimité, tiré du repos par des actions localisées à distance finie, €, à tout

(!) On se rappellera cependant, pour éviter toute illusion à ce sujet, que le champ des « forces ne dérivant pas d’un potentiel » n’est défini qu’à un gradient près.

(2) Des solides immergés peuvent être considérés comme des portions où la conductibilité v est infinie, ce qui conserve qualitivement nos conclusions.

MR nn

instant, s’annule à l’infini comme une fonction exponentielle de r°. Il en résulte, en particulier, que r"€ s’annule à l’infini quel que soit l’exposant posilif n.

c. Ces idées se retrouvent dans le cas tridimensionnel. Pour un fluide visqueux, régi par les équations de Navier, on oblient l’équation locale (!) L

Æ formellement analogue, lorsque F est nul, à l'équation de diffusion de la chaleur, mais d’une exploitation moins aisée, parce que la

quantité sujette à la diffusion est ici vectorielle et que sa dérivée relativement au temps est prisé par un opérateur lié au fluide. Il semble toutefois que l’on puisse en tirer des conclusions analogues aux précédentes en se référant à une configuralion initiale du fluide. La diffusion est alors définie par une équation de la forme

> D TE »L(w),

où L est un opérateur différentiel du second ordre (dépendant du temps), de type elliptique, qui, à l'infini, se réduit asymptotiquement au laplacien.

Plutôt que d'envisager la diffusion d’une quantilé vectorielle'ainsi associée à chaque point du fluide, il paraît plus fructueux d'imaginer la structuretourbillonnaire décomposée en filets infinitésimaux, qui se déplacent au sein du fluide en conservant leur intensilé. On constate alors une diffusion, traduite localement dans chaque section droite par une loi analogue à la loi bidimensionnelle. Il S'y superpose une

- e 0 La 2 tendance motrice dans la direction du vecteur ©/\F. La polarisation qui en résulte sera étudiée dans les chapitres III et FV.