CES [= SN

(résultante de polarisation), on a pour le’second terme du développement

A2. Sincurarirés. — a. Soit un noyau tourbillonnatre, c’est-à-dire un domaine D à la frontière duquel le vecteur tourbillon est tangentiel ou nul. Nous considérons sa contribution dans l’intégrale de Biotet

Savart :

Soit O un point, à distance finie, qui usuellement sera pris dans le domaine D lui-même, et R le rayon de la plus petite sphère de centre O renfermant D. Le champ vectoriel

jun développement

en série de Taylor selon les puissances des coordonnées de M, uniformément convergent pour OM << OP, donc, a fortiori, convergent pour

possède autour de O, comme le champ scalaire

toute position de M dans D si OP ©R. Alors, en multipliant par o(M)

et en intégrant sur D terme à terme, on obtient un développement en

série pour u(P), convergent à l’extérieur de la sphère de centre O et

de rayon KR. Les termes de ce développement sont des vecteurs a

fonctions homogènes de OP, de degrés — 3, —4, —5, ... Le

premier a été construit au paragraphe précédent :

> SR SU > x — Lepresif — = (1.08) 6P L avec ; TU ue Me = fl! OM'A'o dy.

Les termes suivants, dont il est inutile de chercher l’expression

ee

générale, dépendent des moments successifs du noyau, c’est-à-dire des

tenseurs de la forme Tijes = ff ares. 08 47 D

Le procédé employé au paragraphe précédent (en note) pour établir l’antisymétrie du moment du premier degré T;'conduirait à des relations entre composantes qui permettent de ramener la donnée de chacun de ces tenseurs à celle d’un tenseur d’ordre inférieur d’une unité.

b. Imaginons alors un noyau de dimensions infiniment petites, avoisi-

nant O, mais dans lequel w a des valeurs infiniment grandes, de sorte que les moments T;; sont encore finis. Le développement précédent est convergent tout autour de O. Ce point est un pornt singulrer du

= champ w et le développement joue un rôle tout analogue à celui de la série de Laurent en théorie des fonctions analytiques. Seul nous intéressera le cas où tous les moments sont nuls, sauf le

se * . . Â -d . .

moment du premier degré, c’est-à-dire l’intégrale [. C’est ce qui a lieu

notamment pour un noyau infinitésimal déduit d’un noyau fini par

. . . . os - F une similitude de rapport infiniment petit &, les valeurs de © aux

e ; I : Û points homologues étant alors dans le rapport = Il reste simplement

(1) AS 0 em 1.0P) OP — 1.

aie BOL I

Un tel champ peut encore être considéré comme le champ newtonien d’une répartition de masses (de somme nulle) localisées dans le domaine infinitésimal du noyau. On retrouve en particulier cette expression comme champ créé par deux masses opposées infi-

Ê Ô Ô ; 5 ASE" Ô AE niment grandes Lot Pie placées en deux points M et M’, infini-

ment voisins de O et tels que

De là le nom de doublet, donné classiquement à la singularité en

y te

question (ce serait, du point de vue hydrodynamique, un couple d’une « source » et d’un « puits » infiniment voisins, de même débit à,

infiniment grand). Le vecteur Î est la polarisation du doublet. D'une manière générale, nous dirons qu’un écoulement présente

en O un doublet, sile champ u est la somme d’un champ de la forme (1)

et d’un champ continu en O ainsi que ses dérivées partielles. ja tend donc vers l'infini lorsqu'on approche de O : une telle singularité n’est mécaniquemeut concevable que comme schéma limite d’un noyau tourbillonnaire très intense et très petit. En l’envisageant ainsi il sera légitime de lui appliquer les résultats dynamiques des chapitres suivants.

Plus précisément, si l’on vient à considèrer une intégrale linéaire > 2) > en 6, fl 9 w dr (o champ scalaire), pour une portion d'écoulement

présentant un doublet, la contribution du doublet sera l’intégrale étendue au noyau infinitésimal D

Pa je >

AS

=== fl o 6) de:

Le D

& A ASS à do :

En supposant l’existence de dérivées partielles 7. Conlinues en O, TR J

On a RE DE On 9 = 9 rl ) + æxnk

(nx tendant uniformément vers zéro avec x),

d’où la limite (') 34 do 244 à Re do nl () Æ OT AE ES ordres r(O)=Senlie de 9(0) ff] vd 4 FE (O) ff] avo lu SE (0) = 2 ejuls TE

c’est-à-dire

(:) Du moins, on montrera sans peine que la contribution du terme complémentaire æyn4 est nulle à la limite, s’il s’agit d’un doublet déduit d’un noyau fini par similitude. Pour un doublet général, l'étude est plus délicate,