A . . FT

au sein du fluide : V diffère de zéro si, dans la portion matérielle infiniment petite que schématise le centre tourbillonnaire P, on applique

des forces extérieures; leur résultante R s'exprime sous la même forme que la portance de Joukowsky :

Sr >

Il est intéressant de rapprocher ce résultat de deux théorèmes classiques concernant le mouvement d’un ensemble de tourbillons ponctuels libres dans un fluide parfait emplissant tout le plan. Si l’on interprète l’intensité de chaque tourbillon comme une masse, le centre de gravité de l’ensemble doit rester fixe et le moment d'inertie par rapport à un point fixe doit rester constant; de là trois intégrales premières de l’évolution. Lorsque, par contre, LA tourbillons sont soumis à des forces, les quantités ee Ne ne sont plus constantes : je relie immédiatement leurs dérivées par rapport au temps aux éléments de réduction, résultante et moment, du système de ces forces extérieures. Ainsi se dessinent des théorèmes généraux d’une dynamique des tourbillons.

L'objet de la présente étude est d'établir, par diverses généralisations de ces points de vue, les relations directes entre les efforts extérieurs et les éléments tourbillonnaires pour un milieu incompressible quelconque, à deux ou trois dimensions. On dresse de la sorte des bilans dynamiques où n’interviennent n1 les champs de forces dérivant d’un potentiel (pesanteur), ni la pression, laquelle, du point de vue mathématique, n’est dans ce cas qu’une variable auxiliaire : la réaction ou le multiplicateur corrélatif de la liaison d’incompressibilité. C’est ce que réalisent déjà, pour les écoulements bidimensionnels permanents, les formules de Blasius (‘).

(*) M. J. Pérès (C. À. Acad. Sc., t. 189, 1929, p. 1246) et M. J. Leray (Les Cahiers d'Aérodynamique, n° T, 1947) ont généralisé ces formules en envisageant des écoulements plans non permanents. En outre, M. Pérès (Comptes rendus du I11E Congrès International de Mécanique appliquée, Stockholm. 1930, vol. 1, p. 132) a donné des relations analogues pour les écoulements périodiques à trois dimensions (cf. $ 48 b). Dans un esprit différent, cf. également un article de M. M. Roy, Sur les écoulements tridimensionnels à structure à l'infini hélicoïdale (J. Math. pures et appl., t. 10, 1931, p. 430).

etes ts

Le chapitre [ est consacré à quelques points préliminaires de technique analytique. J’y précise notamment le maniement d’un symbolisme très simple qui permet la collaboration de la notation tensorielle avec le calcul vectoriel orienté (multiplication vectorielle et opérations corrélatives). Employé depuis longtemps à d’autres fins par les géomètres, cet artifice se révèle capable de rendre en Mécanique les plus grands services.

Au cours de ce chapitre également, je donne desrègles élémentaires pour l’exploitation des conditions intégrales indéfinies, lorsque la déficience de certaines dérivées empêche de les traduire par des équations locales; cette attitude, en pleine harmonie avec les principes de la mécanique des milieux continus, entraïînerait à des développements qui ne trouvent pas leur place dans le présent mémoire. J'ai cru bon en effet, dans la suite de l’étude, de demeurer assez discret sur ce sujet, des généralisations trop encombrantes risquant de masquer les idées essentielles. Le stade de généralité auquel je cherche le plus souvent à me maintenir est celui du milieu continu à champ de vitesses différentiable au premier ordre (sauf sur certaines lignes ou surfaces et en certains points singuliers). 3 |

Le chapitre IT aborde la théorie des tourbillons par diverses considérations nécessaires aux développements ultérieurs. Il était essentiel notamment, pour les applications, de faire entrer en ligne de compte à côté des régions tourbillonnaires propres, dans lesquelles le champ vectoriel tourbillon est fini et continu, les éléments tourbillonatres impropres : singularités ponctuelles ou curvilignes et surtout surfaces de glissement. L'équivalence de ces surfaces, du point de vue descriptif, à des répartitions tourbillonnaires superficielles est classique et intuitive. Mais la portée dynamique d’une telle assimilation ne me paraissait pas avoir été dégagée de façon précise : certains passages à La limite invoqués parfois dans ce domaine sont injusufiés, parce que les équations de l’hydrodynamique ne sont pas linéaires. De fait, l'adaptation à ce cas de la théorie des tourbillons de Helmoltz, que je réalise au S 8 c, est subordonnée à des conditions restrictives (*).

(:) Helmholtz (Wässenschaftliche Abhandlungen, 1. 1, p. 151) invoque déjà un déplacement des filets tourbillonnaires de la surface de glissement avec

LPS

L’étude des singularités tourbillonnaires ponctuelles est menée, dans ce même chapitre, de front avec des considérations sur la structure asymptotique d’un écoulement s'étendant à l'infini. On y voit déjà s’y imposer la notion de polarisation de l’écoulement, qui joue dans la suite un rôle fondamental.

Le chapitre IL résout le problème posé pour le cas d’un milieu incompressible quelconque (usuellement fluide parfait du visqueux renfermant des systèmes immergés) emplissant l’espace entier et au

. , 2 FC ° CRT repos à l'infini. w désignant le vecteur tourbillon, les quantités vecto-

rielles > > > > if] OM A w dr, f=- ffows dr,

dont l'introduction en hydrodynamique me paraît nouvelle ('), jouent un rôle analogue à celui des éléments cinétiques, non définis en l’occurence : leur dérivées par rapport au temps conduisent à la résultante et au moment résultant des actions extérieures non conservatives subies par le milieu. Pour les écoulements comportant des singularités ce résultat revêt des formes particulièrement significatives. Le cas bidimensionnel se traite d’une manière analogue qui généralise l'exemple initial des systèmes de tourbillons ponctuels en fluide parfait. |

On trouve chez Kelvin (?) la première idée, pour le cas d’un fluide parfait illimité en mouvement irrotationnel, de grandeurs, construites alors à partir du potentiel des vitesses, qui jouent un rôle semblable dans le bilan dynamique de l’écoulement. Ce même auteur signale (À) l’équivalence à ce point de vue d’un anneau tourbillonnaire infiniment délié et d’un feuillet ayant l’anneau pour contour, mais la démonstra-

une vitesse égale à la demi-somme des vitesses de part et d'autre, mais élude toute justification. Il semble qu'on n'ait fait par la suite que s'appuyer sur son autorité.

(1), CR. Acad: Sc), t. 296, 1948, p. 1 420.

(?) Math. and physical papers, vol. k, p.13; cf. également : Tu. THsopoRsEN, Impulse and momentum in an infinite fluid (Applied Mechanics, Th. von Karman Anniversary volume 1941 ).

(*) Jbid., p} 127.

1 SFIES ASS

tion annoncée semble n’avoir jamais été publiée. Une justification sommaire en est donnée par M. M. Roy (!}, qui applique cette conception à la théorie de Prandtl.

Je traite ensuite dans le chapitre IV le cas d’une portion D de milieu incompressible quelconque baigné à sa périphérie par du fluide helmholtzien (fluide parfait soumis à des forces conservatives). Si la

E L L , « e. - Le .

structure tourbillonnaire est fermée, c’est-à-dire si w est tangentiel où nul à la frontière, le bilan dynamique s'établit comme ci-dessus, à

partir des intégrales. Î et Ê mais en faisant intervenir, à côté de la résultante et du moment résultant des forces non conservatives exercées dans la masse, des termes d'influence tourbillonnaire extérieure : ces termes d'interaction entre la structure tourbillonnaire de D et l'écoulement primitif s'expriment comme des actions électromagnétiques. On peut voir là une généralisation large, mais directe, du théorème de Joukowsky. J’applique ce résultat à la dynamique des singularités ponctuelles : tourbillon ponctuel et doublet.

D'un point de vue différent, pour le cas général où la structure tourbillonnaire de D n’est pas fermée, j'étudie l’évolution des lignes tourbillons. Dans la région périphérique helmholizienne ces lignes peuvent, ainsi qu'il est classique, être considérées comme matériellement transportées par le fluide. Mais en pénétrant dans D, qui est un milieu non helmholtzien s’il s'y manifeste des forces extérieures non conservatives et des tensions non hydrostatiques, les lignes tourbillons perdent cette propriété et acquièrent un glissement vis-à-vis du milieu matériel. A ce glissement je relie quantitativement la résultante et le moment résultant des forces extérieures non conservatives appliquées dans D, ainsi que la puissance développée par les actions non helmholtziennes (forces extérieures non conservatives et tensions non hydrostatiques ).

Ce dernier aspect, énergétique, de la théorie des tourbillons me paraît particulièrement significatif : c’est dans cette voie sans doute qu’il faudra chercher les extensions au domaine des milieux compres-

(*) Thèse, Strasbourg 1923, p. 13 et Sur l'aérodynamique des ailes sustentatrices et des hélices, Paris, 1928.

DONGUEL

sibles. J’ai pensé, malgré tout, que la présente étude, consacrée aux milieux incompressibles, réalisait dès maintenant une synthèse assez efficace pour apporter la réponse à de nombreuses questions. Elle devra notamment contribuer de façon sensible au progrès des théories tourbillonnaires de l’aile et de l’hélice.

Pour en revenir à l’exemple initial du mouvement d’un système de tourbillons ponctuels libres au sein d’un fluide parfait à deux dimensions, On sait existence dans ce problème d’une quatrième intégrale première. Elle joue le rôle de fonction de Hamilton pour la construction d'équations canoniques qui régissent l’évolution. C’est un point de vue que j'ai également pu généraliser, la fonction en question étant d’ailleurs en rapport étroit avec l'énergie cinétique. Cette dynamique tourbillonnaire développée selon l’esprit de la mécanique analytique fera l’objet d’un mémoire ultérieur.

Je ne veux pas clore cette introduction sans exprimer ma respectueuse gratitude à M. le Professeur Villat, qui m’a fait l'honneur de présenter à l'Académie des Sciences plusieurs Notes sur mes études et qui à bien voulu accueillir ce mémoire au Journal de Mathématiques pures et appliquées.

Que M. le Professeur Pérès, dont les profonds travaux ont souvent

-donné l’impulsion à mes diverses recherches et qui m'a témoigné le plus bienveillant intérêt, accepte le témoignage de ma déférente reconnaissance.

Je tiens enfin à rendre hommage à mon maître, M. le Professeur Poncin, qui a conduit mes pas dans la recherche scientifique, au sein de cette équipe qu’il a su constituer à l’Institut de Recherches de Poitiers et qu'il dirige avec une diligence si éclairée.