CE PA
D'autre part,
onrate= fomia(fré)e- fowsaé BUS 4/5 475$ #
Oo
et Ne flow ave de = [] OMex À Ygde— ff 4 A Vous do s * s * LA S *
= 2 ff OM À à qu s
Donc finalement
2 OA Eee + fo A (Ta) SA +effoal: wa —(u.a)u a le rowé(s o.a)
Pour un milieu emplissant tout l’espace nous HA Us l’annulation uniforme à l'infini de ü, non régulière de r° o et r“ É, l'annulation uniforme de r°T et mo. Il reste alors au second
EN membre l'expression du moment résultant H des forces sans potentiel appliquées au milieu = 1 À Me (G) D LR
. > En particulier si ce moment est nul, J est constant. Comme tout à l'heure, le résultat subsiste si le milieu présente des surfaces de glissement, qui devront alors contribuer à l'expression
dej par des intégrales de surface
= ff Lomk a (22) D
De là l'application à un fluide contenant des solides immergés.
d. On peut également considérer l'expression
> Pre) ee f= [ff -Con.s) où de.
On a »(OM.5)oM =(OM.F À 2)oM —(oM À F.4)0M,+ (OM À &.)oM —(OM.Ÿ A %)0M+OMA 4,
A ne donc
Fe ee HR > P= ffON À ddr + ff (OM.a 1 à) OM dr D s
= Cela permet de développer à partir de J’ des calculs absolument semblables aux précédents. De même pour la quantité
ÿ= 302547) 25 ff OM A (OM A6) &, D à |
qui donne x Fe ff oMaua+ 3 JoMAlOMA(GA&) ler.
D S D'ailleurs la différence I = ca ir OM.& À à a ON + < OMea A à | de
est ae si u'est nul sur la frontière. En y remplaçant d’autre
part Lie par (AA U* F)OM, la quantité intégrée s'écrit
Lon.on (a 1 2.F) Jon + ! OM:(2 A2.) OM = Lome (2 À 2.F) où + ! om:(a À a.) M = om(2aA FE) 0H Low(5. FA)
Après i intégralion sur une surface fermée 2, constituant tout ou RATE de la frontière S, cela laisse
ff ts) OM:OM de, »
qui est nul si FA est nul sur Ë, ou bien encore pour une sphère de Ne infiniment grand, d’après l'hypothèse d'annulation régulière de T5 1
Les trois intégrales À F et J' sont ainsi égales pour un noyau tourbillonnaire ou pour un milieu illimité. Ælles peuvent donc se remplacer dans la formule (x).
ETES 16. LE rorseur DE POLARISATION. — a. D’après ce qu’on vient de
voir, les quantités Î et F pour un milieu illimité, constituent les dérivées par rapport à & de la résultante et du moment en O d’un torseur indépendant du choix de O : au facteur o près, le torseur des actions sans potentiel. Il est à prévoir que ces quantités elle-mêmes constituent également la résultante et le moment d’un torseur indépendant du choix du point O. On le vérifie aisément :
En effet, nous avons déjà fait observer, au chapitre IL que
. ñ ca r . . À e : :
l'intégrale [ était indépendante du choix de O, puisque La somme
. r> K = (ff: dr D est nulle, cela pour tout noyau tourbillonnaire ou bien encore pour un milieu emplissant l’espace entier, en vertu des conditions à l'infini que nous posons. Il reste à prouver que la variation de J, consécutive à un
déplacement de O, satisfait bien à la loi de changement d’origine d’un moment, soit, pour un déplacement différentiel,
On écrit
or 2(0M50)5—(oOMAS)A50=(S20)0M+(oM66)5 —1(FA2.00)0M + 1(0M.66) a « =1(Va2.30)0M+2:(0M.00)Vax, puisque (FA 4.50) 0M + (OM.80)V Au = à À 00 +00 À ü—0. Donc 5—1100=; [Lana 50)0M + (OM.50)& A & | do S
TO) KE DU ape Res La nullité de cette expression est assurée Si uw S annule sur >, Mails ce n’est pas là le cas qui nous intéresse. Nous obtenons une expression ne en w en remarquant que
CAM EU CR A tre au le A 0) OM, de sorte que la quantité sous le signe Î prend la forme
i gai
(2 À 2.5) (0M.66) où + (0M.50) (21 ü.Ÿ) OM = (3 À ü.V) (OM.66) OM — (à À 2.5) (0W.60) où.
Le premier terme, soit
donne zéro par intégration sur toute surface fermée, et il reste AU HR À D—1A50= |] (2.0) (0M.60) OM &, | S
qui sera bien nul pour tout noyau tourbillonnatre, s'étendant éventuel-
lement à l'infini (en vertu de l'hypothèse d'annulation régulière de 7 5: È 4 Fr ; 2
rw à l'infini qu'on invoque déjà pour la convergence de 1).
> > ne Fu
E et J constutuent en ce cas les éléments de réduction d ‘un lorseur bien défint que nous appelons torseur de polarisation du milieu.
Voici une raison de cette dénomination :
b. Soitun doubler, tel que nous l’avons étudié au chapitre IL(S128).
L'origine O étant prise au point même qu’il occupe, la contribution Û ? Le Lee . .
du doublet dans l'intégrale Î n’est autre que le vecteur L, polarisation
: è DT ce du doublet. Et la contribution dans l’intégrale J est nulle, comme se reliant au tenseur moment tourbillonnaire du second degré. C’est dire que la contribution du doublet au torseur de polarisation est constituée Fa e , , . y « par le vecteur L, considéré comme lié à O.
ET Pour un ensemble de doublets, les quantités [ et J, évaluées à
Does, à EE
partir d’une origine O quelconque, sont donc la résultante et le moment résultant du système des vecteurs polarisation des divers doublets. C’est par extension que nous continuons, pour une structure tourbillonnaire quelconque, à dénommer torseur de polarisation le
- > torseur dont I et J sont les éléments de réduction.
Soit d’ailleurs un‘anneau tourbillonnatre C, d'intensité T. En ce qui js
concerne l'évaluation de toute intégrale de volume linéaire en w, donc . n Ê 2 = . « .
notamment vis-à-vis de I et de J, cet anneau équivaut à un feuillet S,
ayant C pour contour (chap. IL, 8 12 d) :
Le torseur de polarisation de l'anneau équivaut au torseur intégral des Fe dE):
Nous arrivons alors à cette conception imagée du torseur de polarisation : Pour un écoulement quelconque, on supposera la structure tourbillonnaire décomposée en anneaux; chacun d’entre eux équivaut à un feuillet, c’est-à-dire à une répartition superficielle de vecteurs polarisation. L'ensemble de ces vecteurs engendre le torseur de : polarisation.
c. Nous énonçons en résumé :
Le torseur des actions sans potentiel subies par un milieu incompressible, homogène, illimité, au repos à l’unfini, s'exprime en multipliant par la densité © la dérivée relativement au temps du torseur de polarisation (? ).
A titre de premier exemple, appliquons ce résultat à la théorie classique de l’inertie apparente d’une sphère immergée :
Une sphère solide S est baignée par un fluide parfait indéfini au
(*) En particulier pour un anneau plan le torseur de polarisation équivaut à un vecteur unique, issu du centre de gravité de l’aire plane S que limite l’anneau, normal à son plan et de grandeur LS (avec les règles d'orientation connues).
(2) À vrai dire, ces « actfons sans potentiel » ne sont définies en chaque point qu’à un gradient arbitraire près. Mais si ce gradient est choisi de manière que l'annulation à l'infini reste assurée, le torseur résultant est bien défini.
LT Ton:
repos. On la met en mouvement selon une loi quelconque. Pendant une première phase du mouvement, assez courte pour que les effets du décollement soient encore négligeables, le schéma classique d’un écoulement irrotationnel partout régulier est valable. Le champ de vitesses du fluide, à l'extérieur de S, est celui d’un doublet, localisé au
centre O, de ane
A rREŸ à:
L rayon de la sphère, Ÿ, vecteur vitesse du centre (‘).
Considérons le milieu homogène illimité que constituent le fluide et la sphère solide supposée de méme densité que lui. On évalue la résultante de polarisation grâce à la remarque suivante :
0 . . D . 2 , Pour toute portion d’un milieu incompressible, I ne dépend que du mouvement périphérique. Cela résulte immédiatement des équations
[(1), S13et(2)}, S 14].
On ne change donc pas FE imaginant que u se confond dans tout l’espace avec le champ du doublet, par conséquent
Ne > LENS ER Ne
Alors la résultante des forces sans potentiel subies par le milieu, c'est-à-dire la force qu’il faut exercer sur la sphère pour assurer son mouvement au sein du fluide, est donnée par
(*) L'expression donnée au chapitre II ($ 42 a) pour le champ du doublet se transforme en effet, par la formule du double produit vectoriel, en
ess BA (OP A À) + À
Sur la sphère S, il reste donc
> > CRÉENT RE qui est bien {angéntiel. Avec la condition d'annulation à l'infini, cela caractérise le champ. Sue
