D RAS

d’où par dérivation séquente

avec : 2 p ow (2) = 1 | (x. ai) Hs ju dï | à 3 D ome(5. af), donc

ZINC SR RE RER ne (a Eee ne OM A F de + « 9 OM À (T.ai A)

— 2 Dow (F+e).M — p OM. (ai) — Eu |.

Pour un milieu emplissant tout le plan, on suppose l'annulation uniforme de & à l'infini, l'annulation régulière de 7‘ €, l’annulation

> ss uniforme de r°T et r°o, l'annulation régulière de r°F.

L’annulation limite de la dernière intégrale, du second degré en uw,

n’est pas aussi immédiate que dans les considérations antérieures.

Mais on invoque le développement limité du chapitre IT (SA e):.

> > à u—=u + u”, avec

e > Ë te + 1 Fr te ! / 4 EE u(P)= —K'3/ OP el u'(P\= —.

(P)= KE A (Be

L'intégrale en question, étendue à un cercle de centre O, de rayonr indéfiniment croissant, se décompose dans les termes suivants :

> Ff> > 1 6 OM. | Cara) à — sua |,

C je Po. | (Ga) E 1 (2.5) 4], CDN + Où.| (ur. a) Mess c 2

T6 22 nuls à la limite, parce que la quantité intégrée s’annule plus vite

ue — et que >»

D Pi > 7 Ÿ OM. | (x) u! — - ua |,

= nul de par la structure de y’.

Pour le milieu entier nous avons donc dj": H ere moment résultant des forces sans potentiel.

Tous ces résultats sont aussi bien valables s’il se présente des structures tourbillonnaires singulières : singularités ponctuelles ou lignes de glissement, à faire entrer dans les expresssions de ['et J’ sous les formes précisées au chapitre II.

c. En particulier si le milieu n’est soumis qu’à un champ de forces

LD e. ee : e dérivant d’un potentiel, Î’ et J' sont constants. On a vu d’ailleurs au chapitre IT (S 9 c) que la somme tourbillonnaire

K= ff : de D

restait elle-même constante. Si elle est différente de zéro, on peut définir par

le point G, barycentre des tourbillons: ce point est alors fixe. De même l’invariance de J' peut s'énoncer en disant que le moment d'inertie des tourbillons par rapport au point fixe O est constant. Nous généralisons ainsi des résultats classiques concernant le mouvement d’un système de tourbillons ponctuels en fluide parfait (*).

û , Fa Dans le cas général, les dérivées de [' et J’ par rapport au temps conduisent aux éléments de réduction en O du torseur des actions