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Développons les calculs pour la première de ces relations: Le domaine D est supposé partagé en deux parties D’ et D’par la surface de discontinuité X; soient Set S/ les portions correspondantes de la frontière S. On a
Soient en outre A’, A/ les contributions de S’, S' dans l'intégrale
TATRe > >\> = ua; \u. qu L'dr, 0 S 2 £
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G', G’ leurs contributions dans l'intégrale
> > + OM A (œ A ds.
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Soient l', [’, (* les contributions, dans l'intégrale É des domaines D' et Det de (e couche bien ete quo au cours du temps
comme il vient d’être dit); soient É’, Fr, Ex leurs contributions dans l'intégrale | OM A u dd,
fre Jon rs ut). |:
c'est-à-dire
Test la courbe de section de X par la frontière S. Nous reprenons là
Q g . ML 4 ‘ les notations du paragraphe 8 : « désigne le vecteur unité normal à 2 orienté de D’ vers D’; la courbe F est orientée corrélativement. La relation (1), appliquée séparément aux domaines D’ et D’, donne
RARES - me > > + RE A £' G+ ]] aura (a. ai | de de ME el > (> + + ÎT OM À & (ea) done NY) & . > 1> TRE ARS é A HD) LR A’ E’” Gr Î Ë rie (ur, à) dl > >> — > > = [ROM a (ao) à —: j OM A (& À") de.
Par addition il vient donc
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en posant
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THÉSE J.-J. MOREAU, ; 13
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Il s’agit de prouver que
On écrit de même Ne Pa ? = Ca 7 Le à HU ON u"—= u*— à, d’où EN 2e Mau 0 2 RENE ee Ce Ca a" (à D de Le At) a AV Va — Ô 2 # x x POUR) en CARS — Lu ô) NAT 5) | D} Ga, x * Me NE de Pride ar x x
et, par suite » P ;
&= [fo A La (a AFS) — S(a AV. a) ] de.
D'autre part, on à, par la transformation de Stokes, Ér Fo À n' (8.2 AY) eu ras hs Fo A La (6.2 AV) 2% me (8.2 AV) Jde, donc, après
> É@e & gt a À dk
AFF) de.
Par ailleurs, on effectue une dérivation séquente selon la couche médiane
- | = à Î OM A AK = ff Ad + ff on OMA + # (ak)
OU de
et les calculs du paragraphe 8 c donnent.
d ( K) 50 x) ee > 5) eo Vo ANR —=|T0 a AV.u ré x A V.d) + 5% /À (; — Y Me. L'égalité annoncée en résulte.
La relation des moments (2) s'étend de même. Le cas bidimensionnel conduit à une extension analogue.
22. Bizan ÉNERGÉTIQUE. — a. Sans nous soucier, pour cesimple aperçu,
de réduire les hypothèses au minimum (nous allons être amenés
notamment à supposer w dérivable par rapport aux z;), reprenons le point de vue du paragraphe 18c. Soit une portion D de milieu incompressible, helmoltzien dans le voisinage de la frontière S. L’évolution de la structure tourbillonnaire est décrite comme une déformation des lignes tourbillons, supposées individualisées de telle sorte que l'intensité de tout tube reste constante dans le temps: un tube atteignant la région périphérique helmholtzienne par deux extrémités y présente par hypothèse des bases matériellement liées au fluide.
La vitesse absolue de déplacement des lignes est définie en chaque point à une composante tangentielle près : ce champ de vitesses est celui d’un ensemble d’éléments matériels, fluide fictif (0), la loi de déplacement de ces éléments le long de chaque ligne étant fixée arbitrairement. La différence
constitue la vitesse de glissement des lignes par rapport au milieu. Sur la frontière S
