I. Modifications sur les angles

Les troncatures qui modifient les angles peuvent être plus ou moins nombreuses ; il en existe une, trois ou Six.

8 87. Une seule troncature : Octaèdre. — Si nous Supposons qu'une force quelconque, obéissant à la loi de symétrie, tronque les angles solides du cube d’une quantité égale, de façon à ce que chacun des angles soit remplacé par une facette, nous aurons un solide dont la forme générale restera cubique , mais qui présentera huit petites faces triangulaires à chaque angle (fig. 2).

À mesure que les facettes nouvelles grandiront, elles réduiront de plus en plus les faces primitives du cube, comme ou le voit dans la figure 3; et si enfin elles se rencontrent , le cube aura complétement disparu pour donner naissance à l'Octaèdre régulier, solide à huit faces dont chacune est un triangle équilatéral (fig. 4). L'octaèdre régulier est donc une forme dérivée du cube ; les formes 2

et 3, qui nous ont servi à faire comprendre la génération de ce solide, sont appelées quelquefois formes de passage.

Il est bien évident que l’octaèdre pourrait être choisi pour solide générateur du cube, et qu'il donnerait ce polyèdre par des troncatures sur les six angles solides, comme le montrent les mêmes figures de passage 3 et 2 qui lient ensemble le cube et l’octaèdre (1). Cette observation pourrait également se faire à propos des autres solides dont nous allons nous occuper.

$ 88. Trois troncatures : Trapézoèdre, — @ctotriaèdre. — Sj chaque angle solide du cube est modifié par trois troncatures correspondant aux trois faces adjacentes , nous obtenons le polyèdre de la figure 10. Sufisamment agrandies, ces petites facettes , en se rencontrant, donnent naissance au Trapézoëèdre, solide à vingtquatre faces trapézoïdales (fig. 41 ).

Si les trois facettes modificatrices, au lieu de correspondre aux faces adjacentes du cube, correspondaient aux arêtes, on obtiendrait encore un solide à vingt-quatre faces, mais ces faces seraient des triangles isocèles. Ce solide est nommé en conséquence octotriaèdre ; mais On peut le regarder comme analogue à un octaèdre dont chaque face serait remplacée par un pointement triple, et il a reçu en conséquence le nom d’octaèdre pyramidal (fig. 14).

La génération du trapézoèdre peut étre représentée aussi comme ayant lieu par deux troncatures sur chaque arête de l’octaèdre, comme le montrent les figures 13 et 1 4, et elle peut encore être considérée comme produite par un pointement quadruple sur les angles de l’octaèdre, comme l'indique la fig. 42.

$ 89. Six troncatures : Solides à 48 faces.—Six troncatures sur chaque angle (fig. 15) convertissent le cube en un solide dont les quarante-huit faces sont des triangles scalènes. Quand le solide présente une forme générale cubique analogue à celle de la figure 45, on le désigne quelquefois sous le nom de heæakisociaédre, qui rappelle ses rapports avec le cube; quand il prend la forme de la figure 46, on le distingue par le nom de octakisheæaèdre, qui exprime ses relations avec l’octaèdre. On peut, en effet, se

(1) Souvent, au lieu de présenter les modifications dont il s'agit comme résultant de troncatures , on les figure comme produites par l’apposition de plans tangents sur les arêtes ; ces deux procédés conduisent au même résultat. Le premier, celui qne uous avons adopté, donne des solides dérivés de dimensions plus petites que celles du cube, puisque c’est aux dépeus du cube que les solides dérivés sout taillés, comme lé représente uotre pl. 2; le secoud donnerait des solides dérivés de dimensions plus grandes, puisque le cube serait enfermé sous les plans tangents. L'élève, doit. se rappeler qu'il ne s’agit ici que de rendre compte de la génération des polÿèdres dérivés, au moyen de relations géométriques et physiques, et que la nature ne procède réellement suivant aucune des deux méthodes, :

représenter le solide à quarante-huit faces comme produit par un pointement sextuple sur chaque face de l'octaèdre, et aussi par un pointement à huit faces sur chaque angle de ce dernier solide.