II. Modifications sur les arétes
Sur les arêtes, comme sur les angles, le nombre des tronca-
tures peut varier ; nous allons voir quels sont les solides que pro-
duisent une ou deux de ces troncatures.
$ 90. Une troncature : Dodécaëdre rhomboïdal, — Chaque arôte du cube, tronquée symétriquement , est remplacée par une
facette qui n’altère pas d'abord la forme générale du cube (fig. 5). Agrandies davantage, ces facettes donnent un solide où les faces ‘primitives du cube ont encore laissé des traces (fig. 6). Prolongées jusqu'a leur rencontre , les douze facettes modificatrices pro- ‘duisent un solide à douze faces rhombes, ou Dodécaèdre rhomboiïdal (fig. Eh
Il est facile de voir qu'on arriverait au dodécaèdre par des
troncatures sur les douze arêtes de l'octaèdre. Ces troncatures
donneront d'abord le solide représenté dans la figure 9 ; étendues
davantage, elles produiront le solide de la figure 8 , qui mène na- turellement au dodécaèdre rhomboïdal (fig. 7). Remarquons, par contre, que des troncatures symétriques sur certains angles du dodécaèdre conduiraient à l’octaèdre par les figures de passage 8 et 9.
$ 91. Deux troncatures : hexatétraèdre, — Deux troncatures
sur chaque arête du cube (fig. 17) donnent, par leur prolongement suffisant, un solide compris sous vingt-quatre faces trian- gulaires isocèles , différent de l'octaèdre pyramidal ; c'est l'hexaté- | traëèdre Ou cube pyramidal. On comprend que des troncatures Sur
les angles de l’octaèdre pourraient aussi engendrer ce solide.
IIT, Solides dissymétriques.
8 92. Nous avons vu précédemment ($ 68) que la forme de
certains cristaux se présente comme résultant de modifications qui auraient eu. lieu en dehors de la loi de symétrie. Nous allons
. étudier quelques uns de ces cas remarquables.
Tétraèdre, — Si nous supposons que les faces de l’octaèdre (fig. #) manquent de deux en deux, et que les faces restantes se
prolongent de manière à faire disparaître progressivement quatre
faces de l’octaèdre, nous arrivons, par la figure 19, à la figure 20, qui est celle d’un Tétraèdre régulier, solide à quatre faces qui sort des triangles équilatéraux.
En opérant une troncature sur chaque arête du tétraèdre
(fig. 21), on obtiendra six facettes qui, en s'agrandissant, produisent la forme dissymétrique que nous avons signalée plus haut comme appartenant à la Boracite ($ 68). Suffisamment prolongées, de manière à faire disparaître les premières faces du tétraèdre , les six facettes conduisent enfin au cube (fig. 22 ).
$ 93. Dodécaèdre pentagonal, — Icosaèdre, — Nous avons également vu précédemment qu'il existe des substances qui, comme la Pyrite ($ 68), cristallisent en cubes dont la moitié seulement des arêtes sont modifiées, de manière à ce que les facettes parallèles manquent, comme l'indique théoriquement la figure 23. Le solide dissymétrique qui résulte de ces modifications se présente comme dans la figure 24, qui conduit facilement à un solide composé de douze pentagones symétriques, et nommé Dodécaèdre pentagonal (fig. 25 ). Ce dodécaèdre n'est point le dodécaèdre régulier de la géométrie, parce que ses faces ellesmêmes ne sont pas des pentagones réguliers.
Les vingt angles solides du dodécaèdre pentagonal sont de deux espèces : douze (a) sont irréguliers; huit (e) sont réguliers: ces derniers occupent la position des angles du cube. Si nous opérons une troncature sur chacun des huit angles réguliers, la pyramide triangulaire que nous enlèverons ainsi laissera à sa place un triangle équilatéral ; aux douze faces primitives du dodécaèdre
- nous ajouterons donc ainsi huit faces nouvelles , et le solide résul-
tant de ces modifications aura vingt faces : on le désigne sous le nom d'Icosaèdre (fig. 20). Cet icosaèdre n'est point le solide régulier de la géométrie : huit de ses faces sont, comme nous venons de le dire, des triangles équilatéraux : les douze autres, appartenant au dodécaèdre pentagonal, sont des triangles isocèles. Nous avons réuni dans une même figure (fig. 27) le dodécaèdre pentagonal et l'icosaèdre, pour indiquer les rapports que nous venons d'expliquer.
