OD*/ 00 «X

en généralisant ces formules nous trouvons :

(5) Gc-»vu =

ty — oo<-^— 00

(6) Ge

— a/tt =

et ainsi de suite.

§ 27. — Il est important de se rendre compte que, sans rinconvénient* d'avoir pour représenter une même fonction, plusieurs équations de définition, on ne devrait réellement n'adopter comme équation de définition de la formule <p que la seule équation

(I) Ge«« = ?(a)

si donc nous posons

(a) Ge"^ = «p(a? -h a)

la présence de cette constante x, dans le second membre, doit également se trouver dans le premier, on devrait donc écrire en faisant a=x -h a dans l'égalité (i)

on reconnaît ainsi que si l'on prend l'égalité (a) comme équation de définition de la fonction <p, au lieu de généraliser simplement une fonction c'est

cette fonction, toujours multipliée par le facteur ^^, que Ton généralise ainsi que nous Tavons exposé dans le § 1. Quoiqu'on ne fasse pas figurer ce facteur qui se réduit à l'unité, lorsqu'on pose x = o, il ne faut pas perdre de vue que la présence de celte quantité constante iv, qui est indispensable dans plusieurs cas, est due à cette circonstance.

Dans tous les cas, l'introduction de ce facteur ne cbange rien à la marcbe du calcul, mais on pourrait être induit en erreur en ne tenant pas compte de la remarque que nous venons de faire.

Nous allons, sur un exemple particulier, faire comprendre la portée de notre observation.

Soit l'identité

n = o nous en déduirons par la généralisation des deux membres en prenant l'équation (2) comme équation de définition

Zj ?(^ "^" ^^)'

n = Cela posé, on pourrait supposer que, pour obtenir la généralisation de la

fonction ^ ^^ il suffirait de poser dans cette formule a = — a et

d'écrire :

c'est à reconnaître que ce résultat est tout à fait erroné que tend notre remarque. .

Eu effet, si l'on considère l'identité

Dous aurons en généralisant les deux membres

G — = Gi — G

et, par suite, en remplaçant chaque terme par les valeurs précédentes il en résultera l'identité évidemment absurde ^

n = 00 n = oo

2) ©(a; + an) = a)(a?) — ^ t(^ — a^)

mais, si l'on remarque qu'en prenant Ge"^ = ^(œ -{- a) comme équation de déQnition c'est réellement l'identité

1 — éJ*** \—é- «"

sur laquelle s'est effectuée la généralisation.

D'un autre côté comme cette égalité peut s'écrire sous la forme

jeu Jx 4- «)«*

i-gat* 1— «««

on obtiendra, par la généralisation, l'identité exacte n = oo n = oo

2 ©(a? -+- an) = ©(a?) -h ^ ?(«?-+- (n -i- i)a).

L'observation que nous venons de présenter est particulièrement applicable à la détermination des formules que nous allons établir.

§ 28. — Si nous remarquons que, par le développement en séries, nous avons

en généralisant les deux membres nous obtiendrons

G-J-? = i Y (î?r^(xH-*-6-i-(a-6)n)

changeant s en r nous aurons

««*« — Mie"" P ^ \pJ ^^

pe — me

de ces deux formules on déduit :

-h Aç(x H- r — 6 H- (o — b)n) j changeant 97» en — m nous aurons :

n = GO

Nous obtiendrons, comme cas particulier de ces deux formules, en tenant compte des formules de transformation des séries en intégrales déGnies qui feront le sujet d'une des applications importantes du calcul de généralisation.

^ , 'gOt« = 2 îCa; + »»«) = — ^ ?(aî) +

1 / e ^ -4- e^ JTT / c'y — e-

G L^3jj = — V ç(x-i-Ma) =

Li*n;

«î^^ftK^fï;

iSmi^

GENERALISATION DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

y(a? •+- gyV^— i)

G:5irr7^u== 2 (- OM^ + (>n + i)a) =

^ Jtt !. ^au = 2 ?(«? — * + (a — W =

Tty

(lo)

giu ^ gau

2 (- ir?(^ - * + (a - 6)n) =

1 1 /^ cp(3? -f- y y/ — i) ,

2'^ ^ av/-i/ g^e-^

G— — ^= 2, <f{x + b-\-an) =

^(x+h-\-ay ^ — i)c?y.

'rr>" 2 (-.)",(« + i + «»)=

" ^u 1 1 = - tw - ' 2 »(»'+"'')=

/^r-;J g-»,-'w "l'os) G£ii::^=Y w-+--'+f-»»-

(„) QÎ~zzf:ï^"y*['!<« + »-« + (<■-«)") -

w) Jn,^u ^Zi ,(a,^r— S + (a — S)»)],

is^T?= ^-J^ ,(« + , i + („s)„)].

Nous obtiendrons de même, par le développement en séries.

(ao)

n = op

En différentiant l'égalité (3) par rapport à a nous aurons :

^*'^ ^ (1 e«")'' *Xp) -^ (n — i) 4- 2)9(0? -^ (n — i) 4- i)a)

§ 29. — En partant de l'int^rale connue

nous en déduirons par la généralisation

en posant dans l'intégrale (i)u =s au nous aurons

|c-'o(x)-o(x-Oly

o en changeant a en 5 nous aurons de même

en soustrayant ces deux identités il en résultera

{ ?(x — bt) — o{x — (zO 1 -y = tW log J

intégrale que l'on peut vérifier en posant b = — b ^ — 1 et a = 6 ^ — i^ elle se réduit à Tintégrale connue

dt TT

sîn bt 'i — 2

6ËNËBALISATI0N DES FONCTIONS LOGARlTUHrQUES

En poeant d&ns cetle intégrale o (i) = e** il en résultera

ea supposant ^ = o il ea t^ullera en admettant a = a ^ — i etb:=b 1/ —

o il ea t^ullera en admettant a = a ^ — i etb:=b 1/ — »

ea désignant par C une constante par rapport à a nous aurons

= c — log a

en diSérentiant par rapport & a et, en désignant par p une valeur posilire, nous aurons l'intégrale facile h vérifier

c-J«' tdt = ; dîHérentiant par rapport à p

1 pn+1

eo faig&nt t = t^ nous en déduirons eisément l'intégrale donoée toTmnle (i) du 21.

En posant dans l'intégrale (i) u = a + ^ nous obtiendrons :

ilog(o + S«)= /

= / je-',W-«— '■',(» -6'0|*

Glog(o + S»)= / j«-'o(l) — «-"çta: — JO!

nous aurons de même

G log (d + b'u) = de ces deux égalités on déduit

G Log [(a -h bu) (a'-f- b'u)] = 2<p(x) / ^^^ —

- / \e~ '**T(^ - &0 + «" "''(TCa' - ft'O j y .

on déduit de celte dernière égalité, en posant a' = aet5' = — b

GLog( (6)

a} — ft«u') = 2<p(a7) / — -. — —

changeant ô en ô v/ — i nous avons

>oo

dégénéralisant cette formule on a :