W àtj = l £l!^' - Log v/?TT
La formule (6) différentiée par rapport à a donne la formule (5) du § 17. Des formules (6) et (7) on déduit :
ct^
GÉNÉRALISATION DBS FOXCTION
Si nous posons dans l'intégrale connue
Ug(l -hq^) = i j (i- S =^ - w nous aurons en généralisant :
G(Log(?'-(-p'«=)aLogî) = ao(a:) ^ nous trouveroDs de loôme
de ces deux formules on déduit
§ 30. — Soit f(x) une fonction telle que l'équation <?(*) = o n'admette que des racines inégales et soit z„ l'une de ces racines l'expression
aura pour valeur ç'(^„) lorsque x = x„.
Considérons l'expression
c \x — Xj^l'
et dé terminons-en la valeur pour x ^^ x„.
Nous aurons en dilTérentiant
et par suite, en faisant le rapport des coefGcients différentiels du numérateur et du dénominateur
équation qui donne
pour déterminer la valeur de l'expression
lorsque x = x^\l suffira de Técrire sous la forme
dx
«t en posant
?'(^) - Ft^ = ^(*).
tious aurons
cnais comme
tl en résultera
A, = if<?''(^„)-A,j.
•et par conséquent
«en continuant le même raisonnement nous trouverons généralement
§ 31. — Soient maintenant iCo» ^i» ^a» ••• ^n» ••• ^d ^®^ racines inégales <[ui satisfont à Téquatron
Nous pourrons, en désignant par Z une nouvelle fonction de x, écrire
-de sorte que la valeur de Z sera égale à ^'{x) pour œ = x^.
Si nous posons
Qous en déduirons
68 CUAPITRE Vil
et en faisant x = x^^ il en résultera N = ;
aurons :
En second lieu, si nous posons ,, 1 N M P
^^' ^(xy (x — x^y-^ x — x^-^~z'
nous en déduirons
i = NZ' 4- M(jc — »„}Z» -+- P(a: — x^fZ,
et en supposants: = x^ il en résultera N ^ — — :,,
En dilTérentiant l 'égalité précédenle par rapport à x, et, en y fsisani X != x„ nous obtiendrons :
= .Ng + MZ,
et par suile
aNrfZ t d I 1.(1) \ ?■(■>■„)
à l'aide de ces valeurs de N et de M, nous pourrons écrire l'identité (a) sous la forme
Bcile, en suivant la même marche, de déterminer les valeurs de qui satlsfoot à l'identité
iî(x)"' {X — x.y^ {x — x„)"* ' ^
iduire des formules analogues aux identités (i) et (3).
— Si dans la formule (i) du paragraphe précédent nous posons
in dx et jc = u nous aurons
!W — n.T dM^ -^ ^ '
et en effectuant la généralisation
qu'on peut écrire
fn = 00 n = i
o Si l'on remarque que
nirt /, o,
/oo
il en résuUera
— if
I ai^ al
<•) .T5^=â / '^ ^ -ig" ^'^^^ / "^Tt^"'
supprimant l'opération G nous aurons :
ui — .nr + «<
*ît< î:^ sin aw
qu'on peut écrire sous la forme connue
«n posant dans l'identité (i) e' = v nous obtiendrons
sm au a I '^
formule qui, dégénéralisée, donne en supposant a = - l'intégrale connue
nsin^
Si dans la formule (i) du paragraphe précédent nous posons cp(x) = cos axeix = u nous en déduirons
-r--w''y (^i)n-i(,nH-i)
cos au ^ ^^ /ia*u* — (an -h i)«w« '
et par conséquent
COS at^ a
que Ton peut écrire
(4) Gsecau = G::::^=i f V- 0+ ç(xj- Q^^ ^
cos au al
en dégénéralisant, nous aurons
o e î*« -h fi aa
qu'on peut écrire
Ttt 2 COS p
La formule (3) du § précédent nous donne, en posant o(x) = sin ax ei
sm* au 2j (au — n^)*
que nous pouvons écrire
Tlîâ "^ ô^t? ■*" 2j \(nir -- auf "^ (nie -f- au)*/
sin'
en généralisant, nous obtiendrons :
^ ^ sin^au a* I !Ë 2? f e^^ — i
^- eaa— .g aa t/— «o
••.■'.':5*fïr7»rT-
(i) Garc(sin=aw)=i 1 1 ? — — — ^o(x-\-2atz) — ^(x-^2atz)^dzdt
dégénéralisant cette identité, on a :
arc (sia = au) = i / / ?-.-!l (c^««^«* ^ - ^^«)rf ;y rf^
qu*on peut écrire en posant a = a / — i sous la forme
(a) / / ? — sin 2at s dz dt = ^ log (a H- v^i -I- a*)
rTîZl
différen liant par rapport à a
(3) 1 1 ^-«'-^'cosaa«;?e^^rf« = ^
§ 84. — Si Ton considère l'intégrale connue
(i) arc(tang = ^)= / «-«^sinôf-
nous en déduirons
- / — — — dt
(a) G arc(tang=flw)= « y^.^ 1 « " * { 9(^H-a^/^)— ^(x— a</^) | y
G arc (lang= ^) = / o{x-at) ?15J
(3) Garc(lang=— )= f o{x — at)-j^dt
en faisant la somme de ces deux égalités et en remarquant que l'on a arc (tang = au) -+• arc ( tang = — ) = "~ °^*** obtiendrons
(4)/ ?(a»— aO^'rf^i;>(^>)— rr-T / , .r—^,dJ
ea/âcrÎTant l'intégrale (i) sous la forme
7 ^— «0-rf^-,T(-;-;j^J -^^a«v/=I)j
arc
K^Ï'aUBWT'ff^iîTI! '
nous obtiendrons
(5) Gare
et par conséquent
) j dvdt
Si dans Tidentité
arc (tang a?) = a? ^ "*~ '^ •••
nous posons x = 6^^ nous en déduirokis
(7) G arc (tang = €«") = 2^ ^ an -f-i
nous trouverons de môme en posant x = e^^^ (8)Garc(tang=(J»»')=-J- T "^^^ / «"5I^^H^[?(^+'')+^
