DE FORMES DIVERSES

§ 85. — Pour déterminer la valeur de GT(au) considérons la formule qui détermine la valeur de r(n)

r(»)= / e'^'v^-^dv,

en y faisant n = au nous obtiendrons

effectuant la généralisation nous trouverons

«p(a: -h a log t?)ô"" ^^ :^ = / e^^%(x -h az)dz. Le développement en séries de sin hé^^ et cos 6e*" donne immédiatement

kn — i;>an — i

(a) G8in6e«"= ^ ~ vitl ?{a? + (>» - 0«).

(3) Gco8 6e'»»= 2 r (a» :,- 1) ?(^ -^ "^)-

Nous trouverons de même par le développement de sin 6e**"* et cos ic*" et en généralisant

(4) Gsin6e«"'=^2 ^""r(Cn^^T) ~ / «"'*'Va?-i-2v/(ïïr=T)at?)rft;,

GÉNéRALISATION«DE FONCTIONS TRANSCENDANTES DE FORMES DIVERSES 75

(5) Gcosôe«^*=~ V (— if^^'^ / ô-t,2 (^H 2v/îïï5i;yt;.

Si nous développons en série la fonction 6^^"* nous obtiendrons :

1 i.a i.2..n ^^ l^n-hi)

el en généralisant

(6) G«*'-= 2 ix^T^) ^(^ -^ "«)•

Nous trouverons de même

jan ^n

(8) Gcos6t^-= 2 (- 0%-^^i^j ^^^^

(9) G sin 6«6«« = 2 '(- •) rL + ») ^SiTT-. "^^^ + *~ "^ ')•

"(an -t- 2) da?

n = 00 Jbue

(lo) Ge^**^"" =-^

n = w - >-,oo

en faisant dans la formule (6) a = OaJ — i nous en déduirons :

Gc* C08 au ■\-h sin au •— i = Qô* *'**• **** \ cos (6 sin au) -h

(n -h ij n = o

-+- sin (ô sin ûw) \/^=rî } = ^ i/^ ^, i) ?(^ -+" ^« /^^^»

et par conséquent

n=ao

(n) Gc*«»««"co8(ft8inaM)=l ^ r(;^)iT(*+W-i)+?(a^- W-i)j.

CBAPimE VUI

dégénëralùani, et, posant au ^ xel b^ a nous aurons (i3) 2 j;7^?^-j-. co» nar = e" ""^ C09 (a sin X,)

(i4) ^ jTT T sin na; ^: c* *^ " sin (a sin a?).

ar

Si, désignant par m un nombre entier, nous mulliptions la première de ces égalilés par cos mx, en remarquant que, lorsque m est différeat de n

l'intégrale I cos n^ cos mxdx est nulle, et lorsque m :=n l'intégrale

cos* nxdx =

il en résultera

(i5) 1 «» "01 aj ^1^^^ ^ gj^ ^j g(^ rticrfa: = -' -. -y ,

{i6) I e" '^°' ^ Bin(a sin x) sin n^rdj; ^ - =j — — — r-,

g 36. — Pour déterminer la valeur de G log (cos au) posoas

G log (cos au) = A,

nous en déduirons

d\ „ sin au „ ,

-j- = — G u = — G« Ig au,

aa cos au °

mais comme

G tg «» = r^±±s ^-^^-") rf,.

dégénéralisant on trouve

2 2 , ^^^-^ .cos(m-n)x = 6^^^«*

^ r(nH-i;r(m-i-i) ^ ^

§ 38. — Soit encore ridentilé

Log (a + 6 v/^^/"^ - arc (lang ?) + -; log (a^-+- ft*) v/"=^;

qu'on peut écrire

, v^— arc( ung fj + l log (a^ 4-0*)^/:^

en élevant les deux membres à la puissance /^^ nous en déduirons :

^ ,,.,... ■ = - i.-! ^ rcos(arc(lang ^)) -^ sin (arc (tangau)) v^^^

^ -^ auv — I V ft* -h a*w* L ^ ' /

égalité qui donne

sin j arc (lang ?«)|=^-j==i.

En généralisant nous obtiendrons

Il est facile par des procédés analogues d'obtenir les formules suivantes

(,) ^ *'COs^arc^^tang = -j-yj=- J^ J^

Glog{n-6c««)= S ^— î|— -' 6" <?(x + «a),

. G log (i — fte"") = — 2 IT 'i'^^ "*" ""^'

G log 1-+^" = a y ^--11 J:r + (.«+.)«).