EN UNE INTÉGRALE DÉFINIE

§ 39. — Si l'on remarque que l'expression G ~ peut être donnée soui les deux formes

Zn = J'?(^)dx^ G^n = rjn) I f^-'tix-

t)dl.

il en résultera qu'en désignant par G, C,. G,. ... C„, des constantes arbitraires nous aurons :

I <?(x} dbr =

r(„) / f^-'<i{x-t),dt

lorsque la fonction <?(a?— t) est telle que, quel que soit a?, l'expression < "* ' ^\X — t) s*annule pour f = » .

Pour vérifier celte formule, différen lions-la par rapport à ;r, nous obtien-

drons :

r^)J t--^oX^-t)dt,

80 CUAPITRE IX

mais comme l'intégralion par parties donne

Si l'expression i^ "" ^(p(x — t) s'annule pour t = o ei t == co nous aurons la formule (i) dans laquelle n est égal an — i .

Il résulte delà que si la formule (i) est exacte pour n = i, ce qu*il est facile de reconnaître, elle sera généralement vraie.

Il serait également facile d'exprimer la valeur de / cp(.r) dx^ à l'aide d'une intégrale double en remarquant que

I ^(.v) dx^ à rai(

i ; / / cpÇrH- lyv^— 1

^^^=^-k \ I ""^-^jr—^e-y'^-^dydv.

nous aurons dans ce cas n

i I I -^ ru v/'::^-! 9(-*' -^ y V — . ,

«y — É«ty on

différentiant cette égalité par rapport à x nous aurons :

1 0(07) rfa?»*-' = C,

dj/dv,

rintégration par parties donne