DÉTERMINATION D*UNE INTÉGRALE PARTICULIÈRE

Si nous supposons le second membre nul, nous aurons d'abord à intégrer l'équation

•en posant z = ^{x) nous aurons pour déterminer cette fonction l'équation

la fonction W est donc une fonction périodique quelconque assujettie à <»hanger de signe, en conservant au signe près, la même valeur, quand on fait croître la variable x de la quantité h.

Pour déterminer une/ intégrale particulière de l'équation proposée avec second membre posons :

nous pourrons écrire l'équation sous la forme symbolique dont on déduit

¥{x-hhy^—i) ,

nous aurons ainsi pour l'intégrale

W(x) étant une fonction arbitraire satisfaisant.aux conditions énoncées plus haut.

§ 63. — Le même procéda peut, dans certains cas, s'appliquer à déterminer l'intégrale d'une équation dont l'ordre de différentiation est inGnî.

Soit proposé d'intégrer l'équation

Si nous posons

z = Gg"* F{x) = G«*"',

nous en déduirons l'équation symbolique

Gc^-fi - ^ H- — î^ + ...) = Gc*» cos tt = Ge*«', \ 1.2 i.a.j.4 /

dont nous déduirons

cos u

iJ4 CHAPITRE XIV

et par suite, en effectuant la généralisation (formule (4) du § 32), nou& aurons Tintégralè particulière

Si Ton remarque que l'intégrale générale, lorsque le second membre est nul, est donnée par l'expression

un -\- I

ILT

nous aurons comme intégrale complète de l'équation proposée

an 4"

^= >. ^n« "" -*- I -"^ it ict

Fte — t) -^F(a7-+-0 ^

§ 64. — Soit proposé, comme second exemple, de déterminer tintégrale complète de Véquation aicx diffh^eniielles partielles

dz dz ^ d^z d^z

Si nous posons (a) ^ = G«*«+y",

nous aurons l'équalion symbolique

Ge«« + ^(c + 1 « -4- M» - M» -h...) = Ge*" + ^"(^ + flH) = "'

à laquelle on satisfait en posant

cette équation résolue donne

v = ou ^*= — 1— -,

cette valeur de v mise dans l'identité (2) donne

y z = Oe ' + ^,

DÉTERMINATION D'uNE INTÉGRALE PARTICULIÈRE IIS

effectuant la géaéralisaiion (formule (7) du § 25) dous aurons une première intégrale

(3) x = ^(x)'^^ I I é^''sm^smhvW(x — v)dHdv.

V désignant une fonction arbitraire.

La valeur de u mise dans l'égalité (2) donne

— X yv

généralisant (formule (7) du § 25) nous obtiendrons une seconde intégrale

(4) z = e'' ^^0(1/) — ~ / / sin A^ sin ^ (p(a? — t) d?idt\

7 désignant une nouvelle fonction arbitraire

La somme de ces deux intégrales (3) et (4) exprimera l'intégrale complète de l'équation proposée qui renferme ainsi deux fonctions arbitraires Vet (p.