CALCUL INVERSE DES INTÉGRALES DÉFINIES
oous aurons
Problème. — Déterminer la relation qui existe entre les fonctions F(x) et <p(a?) de sorte que Von ait :
\dt=. I <
[x -H Tfï^dt =1 <p(a? -+- lyi^dz,
T et T, étant des fonctions de t» et^ Z et Z| des fonctions de z données. Posons
F(a?) = Ge^' ^x) = G6*«, nous aurons
dont on déduit
/ e^«Z,rfz
C'est ainsi que la relation
o établit la relation
F{x — t) sin atdt = / ^{x — z) cos bzdz,
F(») = i»'(»)+-^^-=lL / e-*''U'(»—V=T)— ?'(«?+ V—i)Ut>.
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES DIFFÉRENTIELLES OU AUX DIFFÉRENCES A COEFFIOENTS CONSTANTS
§ 70. — Les équations différentielles linéaires à coefficients constants sont de la forme
Lorsque nous suppposons le second membre nul, en posante = Gze^^ nous obtenons :
équation qui est satisfaite en déterminant u h Taide de Téquation caractéristique
(a) F(w) == w** -h pu^ "" * H-...-h Aw -h A = o,
si donc nous représentons par m^f m,,... m^les n racines de cette équatioD nous aurons :
Z = Ge^'* = C^é^^,
Je
et par conséquent
jj = n
Nous sommes ainsi conduit à la métbode ordinaire pour l'intégration de l'équation proposée lorsque le second membre est nul.
Lorsque le second membre est une fonction de la variable, nous obtiendrons une intégrale particulière de l'équation (i), si, prenant G«^*^ = ?(^) comme équation de définition, nous posons z = (jé'^f nous aurons
égalité qui donne comme intégrale particulière
Z = Ge^*^ = G --r-r , — = G «T-KJ
Plusieurs procédés se présentent pour opérer celte généralisation. Si Ton désigne par V l'intégrale de Téqualion proposée privée de son second membre nous aurons à l'aide de la formule (8) du § 9
En second lieu, si nous désignons par nij, m^y.,.m^ le n racines de réquation (2) nous pourrons poser
F(w') {u' — Wi) {u' — m,)... (m' — m^) »
et la généralisation par facteurs donnera pour la valeur de z
dvdto...ds.
On pourrait encore poser
— FK) w' — Wi *^ F(^ m' — m, "^ -"^ F^) w' m^' et en déduire
J \J{rn,) F(m,) FXm^)J^^
Il est facile de comprendre de quelle manière il faudra modifier ces valeurs de z dans le cas où les racines sont égales ou imaginaires.
§ 71. — Considérons, comme exemple, l'équafîon différentielle linéaire du second ordre
d^ z dz
0) ^ + «» rfi + ^^ = î('^)'
En supposant le second membre nul, nous aurons comme intégrale de réquation
d^z dz ,
les expressions suivantes
1» ;^ = Ce ^ 2 i-C,e ^ ^ (sia»>4ft),
ax ao z = (G'{'C^x)e ^ (si a» = 4^),
^3» ^ = 6 ^ |Ccos^V^4* — a«-hC, sîn^v/4&a« (si a» < 46).
En supposant le second membre une fonction de x posons :
X = Ge*~' o(.^) = Ge^, il en résultera l'équation symbolique :
Ge*«'(w'' -h at^-i- b) = Ge^, dont on déduit : ^
1® Si nous supposons a* >> 4^ cette intégrale particulière se réduira à :
par suite Tintégrale complète de Téquation (i) sera exprimée dans ce cas par :
a® Si nous supposons a^ = \h cette intégrale particulière se réduira à :
te ^ o(x — t)dt,
par suite Tintégrale complète de Téquation sera exprimée par :
te ^ o(x — t)dt.
3^ Enfin, si nous supposons que a' <C 4^ nous aurons comme intégrale particulière :
e ^ sin - Vib — a» <f(x — t)dt.
et comme Fintégrale complète :
eue
\ Ccos
z = e ^ j Ccos "? v^46 — a* -+- C^ sin - ^4^» — a« -f-
sin ~ v^4^ — û* ?(^ — 0^^'
Si Ton prend comme équation difiérentielle :
^ -+. ;r = cos a?, nous obtiendrons» pour son intégrale, à Faide de la formule (4),
jar = C sin a? -h Cl cos 0? -f- / sîn t ^{x — i)dt
formule dans laquelle il faut poser ^[x) = cos œ.
Dans son cours d'analyse Sturm donne comme intégrale de cette équation :
r* ' r< ^ sin ^
^ = C sm a? -h Cl cos a? H ,
on peut, par la comparaison de ces deux valeurs de Zf établir la relation ;
sin t <p(a? — t)at =
il serait peut-être difficile, en posant m(œ) = côs x, d'obtenir la vérification de cette intégrale, mais on peut facilement y parvenir par le procédé du calcul inverse des intégrales dont il a été question plus baut.
Proposons-nous donc de déterminer quelle doit être la fonction «p pour que rintégrale précédente soit vérifiée ?
En posant :
nous aurons l'égalité symbolique :
Gc^' / e- **'* sin td« = Ge^,
mais comme
ao
e ^^6intdt= ri»
