ht

U en résultera la relation G 7» = Gef"^ dont on déduit :

G^' = G^ H- Gii"r^,

généralisant) nous obtiendrons <p(a?) = F(pcf) -H F'(a?) et en remplaçant F(j:) par sa valeur il en résultera :

^(x) = COS (C,

§ 72. — Soit F(x) une fonction quelconque de œ et nous proposons de déterminer la valeur de la fonction ^(œ) qui satisfait à Téquation

(1) V(a?) + aV(a? — 1) -h 6V(a? — 2) -h... -h AV(a? — n) = F(aî).

Posons, à cet effet, dans cette équation

W(x) = G^' F(œ) = Ge^,

nous pourrons l'écrire sous la forme

et en posant pour abréger

il en résultera

QQC/' 00

On peut effectuer la généralisation sous une autre forme. Soient m^, m^y m^ les n racines de l'équation

nr -4- am^ "" " -+- ftm'*" ^ +... -4- A = 0,

nous pourrons écrire

yp(x) = G j;, f . = Ge^*^ —- . -— ,

^ ^ F,(w) gu ^^ gu ^^ «** — ^n

la valeur de l'expression

nous permettra d'exprimer la valeur de ^(â?) à l'aide de la généralisation par facteurs.

§ 73. — Le même procédé d'intégration peut s'appliquer & l'équation ^ aux différences unies.

Soit l'équation

Lorsque le second membre est nul, en posant z = G^^ nous obtiendrons la relation

en remplaçant e^^ — i par H nous satisferons à cette équation en posant

soient ii^M^...a^...ill^ les n racines de celte équation nous aurons

et par conséquent e^ = ( i -+- M,,) ^ . Cette valeur mise dans l'expression de z donnera

L'intégrale de l'équation proposée, lorsque le second membre est nul, sera exprimée par

Lorsque le second membre est une foa^tion de a?, il suffira d^ajouter à cette somme l'intégrale particulière que nous déterminerons ainsi qu'il a été indiqué au § 59.

§ 74. — Soit proposé de déterminer la fonction ^'(x) qui satisfait à Véquation

Pour déterminer Tîntégrale particulière qui satisfait à cette équation avec son second membre posons :

nous aurons en substituant ces valeurs dans Téquation proposée

par suite, nous en déduirons

Ge^**' z= G -^au' ^

effectuant la généralisation, nous aurons comme intégrale particulière

•^^ — QO n = o

Pour obtenir la valeur complète qui satisfait à Téquation proposée, il faut ajouter à cette valeur l'intégrale de Téquation sans second membre, valeur qui est exprimée, comme il est facile de le reconnaître, par

m=aa — i

m = o § 73. — Soit proposé d'intégrer t équation axix différences

Cette équation, réduite à la forme (a) ©(a?, y) — cp(a7 — i, y) — (p(:c— i, y — i) = o,

lorsqu'on y suppose le second membre nul, a été considérée par Lacroix (calcul diiï. et int. §. 1096) qui a été conduit, par un calcul assez simple, à reconnaître que son intégrale était donnée par la formule

On vériGe facilement que cette expression satisfait en effet à l'équation (a) ; mais, outre qu'elle est d'une forme peu commode en représente-elle réellement l'intégrale complète?

Nous allons reconnaître que notre méthode, basée sur le calcul de généralisation, conduite une solution plus complète de cette question.

Si nous posons nous transformerons l'équation (2) dans Téquation

à laquelle on satisfait en établissant, entre les variables de généralisation, la relation

i — e-^ — e-^-'^rrzo.

En résolvant cette équation par rapport à ^ et ^ nous obtiendrons

(3) eu^j^^-r^

la valeur de é^ mise dans l'expression de z donne

effectuant la généralisation, nous aurons une première intégrale

L'expression dé e^^ donnée par la formule (4), mise dans l'expression de z donnera

et en effectuant la généralisation nous obtiendrons

dans ces intégrales ^ et 6 désignent des fonctions arbitraires.

L'équation (2) étant linéaire, on y satisfera en faisant la somme de ces deux intégrales, comme d'ailleurs il ne peut être établi entre les variables de généralisation d'autre relation que celles qui sont données par les formules (3) et (4) nous devons admettre que la somme des expressions (5) et (6), si réellement elles représentent des fonctions arbitraires différentes, donne l'Intégrale complète de Téquation (2).

Pour obtenir Tlntégrale de Téquation proposée avec son second membre nous poserons

^(x, y) = G^ + y^ F(a?, y) = G^«' + y^', ce qui permettra d'écrire Féquation sous la forme.

nous en déduirons :

développant rcxponentielle et généralisant nous obtiendrons :

G^(^, y) == ^ F(â7 — n, y) -t- nF(a? — w, y — i) (7) < n = o

Par conséquent, Pintégrale complète de l'équation (1) sera exprimée par la somme des intégrales (5), (6) et (7) et renfermera deux fonctions arbitraires.

§ 76. — Soit projwsê de déterminer la fonction ?(ar,t/) qui satisfait à Véquation aitx différences

(1) a>(a? -^p^y^q) — a^(x, y) = F(.r, y), en supposant le second membre nul, nous aurons :

(2) <p(a? -t- i?, y -+- ^) — a?(^, y) = 0, et en posant :

(3) T(^, y) = Gc*« + y.

nous obtiendrons l'équation symbolique :

Q^cu + ye (eP« + ?» a) = o, dont on déduit :

en remplaçant dans l'expression (3) e^ par cette valeur il en résultera :

o{x, y) = Ge^ + y = Gi'^af «^ ~^*^= (C'a)* ^(y " p ^)' W désignant une fonction arbitraire.

Si l'on considère les p racines de ^a et si nous faisons la somme de ces p intégrales nous aurons :

intégrale de Téquation (a) qui renferme p fonctions arbitraires :

«r W UT UT,

^0» ^1» ^s»»»»^rj)— i)»

Il est facile de reconnaître que toutes ces intégrales sont différentes «entre elles. En effet, si deux intégrales répondant à deux valeurs différentes àe n, n et vi étaient équivalentes nous aurions :

X vrvKX , X in'Ttx

a^e P dont on déduirait :

relation qu'on ne peut admettre, car il en résulterait qu^une fonction arbitraire de {y — ^ x\ serait équivalente à une fonction de x»

De même, en remplaçant dans l'expression (3) e^ par sa valeur nous obtiendrons :

(5) ?(x,y)= 2à a«^«* 0„(ar-|y),

formule qui renferme q fonctions arbitraires 6^, 6^, 0^, 0«, différentes «ntre elles.

Pour reconnaître les intégrales qui, renfermées dans cette dernière formule, sont égales ou différentes de celles qui sont exprimées par la formule (4) posons :

X nniLv

•-I / „ X y ïî^vz-i

relation que Ton mettra sous la forme :

I / û^ \ airn.' / </ n \ / —

Si Ton remarque que le premier membre de cette formule est une fonction de y — - oa Téqui valence des deux nombres ne peut substituer que si

le second membre est également une fonction de cette même valeur y — - ar

ce qui ne peut avoir lieu que si n =- ti' et a toujours lieu si cette condition est remplie.

Il résulte de là que si p = q les deux sommes d'intégrales, données par les formules (4) et (5), sont identiques, et, par suite, l'équation (2) admet p fonctions arbitraires différentes, dans son intégrale complète, données par Tune ou l'autre des formules (4) ou (5). Mais si p > 5' l'équation (2) admettra p fonctions arbitraires, données par la formule (4) ; si au contraire p <Cq, l'intégrale complète de Féquation (a) admettra q fonctions arbitraires données par la formule (5).

Pour obtenir l'intégrale de l'équation (i) avec le second membre nous déterminerons une intégrale particulière de cette équation en posant :

p(œ, y) = Ge^" + ^^ F(x, y) = Gô^^' + y*'', nous aurons ainsi l'équation symbolique

dont on déduit :

Pour effectuer la généralisation, nous développerons le second membre en série en écrivant :

= 1^1 ePw' + fi'^' ^ -^ e^P"' + ^«^^^...H- -i- e^^'*' + ^^''^ -+-...

il en résultera en généralisant

que nous pouvons écrire

(6) ?(^. y) = — ^ ;;ïïVî ^(^ -+■ ^^î'» y -^ ^)»

ce

nous aurons ainsi pour l'intégrale complète de l'équation proposée si ^ < ou

= p\si somme des intégrales (4) et (6) mais si ^ >p la somme des intégrale (5) et (6).

Remarque a). — Si Ton avait à déterminer Tintégrale particulière lorsque le second membre de l'équation (i) est seulement fonction de Tune des deux variables, de sorte que l'on ait par exemple

?(•» 4- p, y -h 7) — a 9(.r, y) = F(a?), il suffirait d'écrire comme intégrale particulière

En effet, en supposant le second membre égal à F(j:)Fj(]y) nous aurons comme intégrale à l'aide de la formule (6)

Puis en supposant F^(y) = i il en résultera la valeur indiquée plus haut. b) Si le second membre était une quantité constante de sorte qu'on ait :

il faudrait distinguer deux cas selon que a a une valeur différente de l'unité ou qu'il est égal à l'unité.

Dans le premier cas, l'intégrale particulière est indépendante de x et de y, c'est-à-dire une constante.

Posons donc «p(x, y) =C ; en mettant cette valeur dans l'équation proposée il en résultera

C — aC = i ou C = .

Dans le second cas l'équation prend la forme

Pour obtenir l'intégrale particulière, désignons par A le plus grand commun diviseur entre p et q, lorsque ces nombres ne sont pas premiers entre eux, de sorte que l'on ait^ = Xp' eiq='kq'; cela posé, nous pourrons toujours déterminer des valeurs pour m et n de sorte que

p'm — q'n = ly

et, par conséquent, nous aurons une intégrale particulière de Téquation en posant

comme il est facile de le reconnaître en substituant cette valeur dans l'équation.

— Soit proposé de déterminer la valeur delà fonction <»{x, y) ifait à l'équation auw différentielles partiellex

?(*. y) = pçf-r. y — + q-^i^' — i. y).

condition que, pour x ^^ o, on ait ?(o, y) = i pour toutes les

de y comprises entre o et y.

queslioD revient à résoudre le problème suivant dont la solution a

lée par Laplace (calcul des probabilités).

joueurs dont les forces respectives sont de p et q ont, l'un x

't Fautrey points à faire pour gagner la partie ; on demande la

lité <f(x, y) que le premier gagnera ?

nant

«(ar, y) = Ge^" + y,

irons la relation

G«^" + y(i — pe~ ' — qe- ") = o,

ilit entre u et t) la relation

1 — pe~~ " — je""" =^ Oi

éduit la valeur e"

i—pe

uite à l'aide de l'identité (a)

elTecluer la généralisation, nous développerons (i — ps ") * ^rniule du binôme et nous aurons ainsi :

Lnlunefonctionarbîtrairequi doit être déterminée par les conditions Iles la fonction f(ù;, y) doit satisfaire.

aurons à l'aide de cette intégrale = 1 T(î/— l) = l t'(y-2) = I et W(y *)=,,

inférieur à y,

pourrons donc écrire comme solution du problème

:tat, obtenu par la méthode de généralisation, ne diffère pas de celui Lé donné par Laplace qui a traité cette question à l'aide des fonctions isatrices.

INTÉGRATION DES EQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES OU AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES

A COEFFiaENTS CONSTANTS

§ 78. — Soit proposé l'équation linéaire & coefficients constants dans laquelle la variable principale z est une fonction de deux variables indépendantes t et s, équation que nous pourrons écrire sous la forme :

, d^~'z dz , dz ,

-H *, ^;ir^ + ... -H «« X ^ + »« , ^ + «m* = o.

z étant une fonction de deux variables posons

celle valeur mise dans l'équation donnera

Ge«* + ^^av^-^ (a, -f- ôw) t?*^~» -+- (a, h- ô^u-h eu») t;*^"^ -h ... -h a^^ | = o,

équation qui est satisfaite si nous établissons entre i^ et v l'équation caractéristique

(3) av^'h(ai-\-bu)v^ "" ' -h (a, H- b^u -t- cu^) t?*^ ""'-+-... H-fl^ = o.

Si maintenant on détermine toutes les valeurs de u en fonction de v ainsi que toutes les valeurs de v en fonction de u qui satisfont à cette équation, il en résultera qu'en substituant ces valeurs dans l'expression (2) nous aurons autant d'expressions pour z qui, généralisées, donneront autant d'intégrales de l'équation proposée chacune renfermant une fonction arbitraire.

Comme l'équalion est linéaire, la somme de ces intégrales différentes entre elles représentera Tintégrale complète de l'équation (1).

Faisons remarquer que, de même qu'à chaque équation différentielle proposée répond une équation entre les variables de généralisation, réci-

proquement, à chaque équation entre les variables de généralisation, satisfaisant à l'équation caractéristique, correspondra une équation difîérentieile qu'il est toujours facile d'en déduire.

Nous pouvons conclure de là que, si l'équation caractéristique est décomposable dans le produit de plusieurs facteurs, à chaque facteur répondra une équation différentielle d'un ordre moins élevé que dans Téquation proposée dont ces équations différentielles sont des intégrales.

Appliquons ces considérations à l'équation

ds

dz

, dz

ds* ' ' d<* ' •* dsdt

ds

~^ dt

qui, par la substitution de ;; = G^^ ~^ ^^, donne Téquation caractéristique

w* -h ar* -f- Zwo — u — 3r — a =o, qu'on peut écrire sous la forme du produit de deux facteurs

Les valeurs de u et v qui satisfont à cette équation sont

w = — (2t; -h i)(a) t? = {h) u = 2 — t?(c) t? = a — w(rf),

auxquelles correspondent les intégrales

— (at> + i) * + f » — * tw -i— - 1 —

:g = Ge =c (p(^— 2s)(a) z = Ge ^ =e ^x(<— a«)W

z = Ge(^ - ^'^ + '^ = e^W{t — s) (c) z = Ge^'+ (^-^)' = e^ 0(« — *) (rf).

Si Ton remarque que les intégrales (a) et (b) sont équivalentes ainsi que les intégrales (c) et (d) la somme des intégrales (a) et (c) représentera l'intégrale complète de l'équation proposée qui sera exprimée par

<p et W représentant des fonctions arbitraires. Si maintenant on envisage les équations

dans lesquelles se décompose l'équation caractéristique de l'équation proposée, à chacune d'elles correspondent les équations différentielles

dz , dz dz dz

que l'on peut considérer comme des intégrales premières de l'équation proposée.

INTÉCRATION DES ÉOUATIOSS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES 133

§ 79. — Examinons plus particulièrement l'équatioi renlielles partielles du second ordre

, , cCz . d'z <Pz ,ds r'^' .

lU " -d^ ^ " dtdi'^ '^ 1^^^ '^ 'di ^ ' Is'^

«n posant comme intégrale

z = Gfl'** + '", cette valeur nous donnera, comme équation carsclêristit {a) au* -I- bvu + cw* -t- An -h /l* + ( = (

équation qui, résolue par rapport & v, conduit aux deux t) = — ^H±* ± J v/(6" — 4ic)«' + a(6A — ^af) DOus aurons ainsi, pour déterminer la valeur de x

«ITecluant la généralisation, nous aurons que ces deux v que la seule intégrale

/ ., / fit /î Ti Iw bk — 3af^t^

\ '^ '\ a ^ aau> Sa'fD" ^

Si nous résolvons l'équation (a) par rapport à u en foi aurons, par un calcul analogue, une seconde intégrale

La somme de ces deux intégrales représentera l'inté^ l'équation (i) qui ne renferme que deux fonctions arbiln

Dans le CBS où l'un des coefficients a ou c est nul t'i forme

d}z , dz^ , dz ,dz

a -77, H- i ttj- -i-A — h-/ k-lz=^

ai* dtds at 'as

équation caractéristique

au' -t~ buv -+- im- /« H- ; = 0,

CBAPITRE XVII

; cette équation par rapport & u on obtient OB* -H A» -+- i

\ ainsi que l'intégrale complète sera exprimée par la somme de I) dans laquelle on posera c ^ o et de la suivante

isée, doit se substituer à l'intégrale (4) qui devient illusoire. Si lescoeficients de js«* ^ sont simultanément nuls, l'équaie est de ta forme

m équation caractéristique

ru -H ao + 6« -H c = o,

par rapport à v, donne

fr u + c

la valeur de z sera exprimée par

. généralisation nous aurons

,(,)î?~*' / / e-'«-sin'^:=)^sinA^?(s-«.)dArfo..

intégrale de l'équation proposée avec une seule foDCtion arbir obtenir une seconde intégrale de cette même équation, il larquer que l'on peut sans altérer l'équation proposée changer I i, pourvu que l'on change a en £< et & en a nous obtiendrons

intégrales on déduira l'intégrale complète

Si ToD admet que dans Téquation (i) a et & sont nuls et c = — a nous avons l'équation

dsdt

= az^

qui a pour intégrale

Z = «p(«) H- V(<) -i- ^ / / sin Ato J sin — «p(« — a>) -H

sin -T- V(< — tû) î <iA(f(o<

Nous pouvons faire remarquer que l'intégrale de l'équation

dtds

qui est un cas particulier de celle que nous venons de considérer, a été donnée par Poisson sous la forme

z = <p(«) H- - 1 ^{s)d8 H Il <p(5)rf«* H-

ïk ff'^'^'*

H- »'(0 ■+• - / "vii^dt -t- — Il v(t)dt «H-,

tu H — tu

intégrale qui n'est autre chose que la valeur de z = Ge ^ -\- Ge ^

1 1 lorsqu'on développe e^ et e^ en séries et qu'on effectue l'opération G sur

chaque membre.

§ 81. — Soit proposée V équation

dt"^ ^ ds""' Si nous posons

z = Ge^« + '^

nous aurons comme équation caractéristique

u^ au** = G.

représentons pour abréger par [m] l'une quelconque des racines m^^^^ de l'unité et résolvons cette équation par rapport à u et v nous obtiendrons :

u = [m] yâv *^,

'y/a Nous aurons donc à l'aide de l'expression de z

Sous cette forme, la généralisation présente quelque difficulté à cause

des radicaux u^ et t^^ qui entrent dans l'expression ; mais si Ton remarque que nous avons obtenu des valeurs qui satisfont à l'équation proposée^ quelle que soit la valeur de la constante i/, ces mêmes valeurs

satisferont encore à l'équation, lorsqu'on y substituera v^ et u^ à la place de u^ de sorte que nous pourrons écrire les valeurs de z sous les formes

z = Gc***" + M?^^",

valeurs qui, généralisées, exprimeront autant d'intégrales de l'équation proposée.

§ 82. — Soit proposé (Tintégrer Véquation

d^z dz

d? ~^ds'

dans ce cas, m = a et n = i , et les valeurs de z seront exprimées par z = Ge»^"* + *"' = / e- <*'<p(tv/5 + ao)v/i)rf.o.

tu 4-

Si ron remarque que ces intégrales sont identiques nous pourrons regarder, comme l'a fait Poisson, Tune quelconque de ces intégrales comme l'intégrale complète de l'équation proposée.

§ 83. — Soit proposé cTintégrer Véquation

dt* "" ^ ds^' nous aurons alors 97i = 2 n = a et les valeurs de z seront exprimées par les quatre valeurs

;r = G^+^^*** z = Ge'~-^^'* z = Ge ^ z=Ge ^*,

comme la troisième est équivalente à la première et la quatrième à la seconde, rintégrale complète de Téquation sera exprimée par la somme des valeurs des deux premières

z =z9{s -{- t \/a) -hV{s — t v/â).

Soit proposé d* intégre*'' l'équation

d}z ^ d^ dx^ dy^'

Nous avons en posant

z = Ge^"* + y^, l'équation caractéristique

équation qui donne les cinq relations suivantes

1, p, et p' représentant les trois racines de l'unité. Il en résultera pour z les cinq expressions suivantes

z = Ge =Ge =

(!)<==/ / / / e--'-''--'-^\\Vi>/xi^'^

— 00*^ — 00 •^ — oo*^ — 00

v/yw? -+- 1? V /y («? -ht /--" 1) — y ( diadvdtdw.

/T» yVO ^^ao ^-»30

''V P Vi \^an

h v'ywj -H i> l/v^(uj + ( 4/— i) — J/ j diodvdidw.

Œil:—

■ ■■ - "o" a j ys t'ï"

<il' — (' — O* — <c' n

v'ywi v^ — 1 + t> v'v/y («> v/ — i — t) -\- y v* — i j dutdvdldw.

e de ces valeurs satisfaisant à l'équalion proposée, si a est dif-

unilé l'équalion proposée admeltra cinq fonctions arbitraires

tégrale ; dans te cas oà a ^ 1 les relations (i)et (4) deviennent

d*z d*x le sorte que l'équation -^-j ^ ^-^ n'admettra plus que quatre

bitraires.

ipposait a = l'équation , prenant la forme -r^ ^= aura pour

= ?(y) "•" ^iy'fi'' "*" x(y)^* ^' «'admellra plus que trois fonc-

= <f{3;) + ^{a:)i) et n'admettra plus que deux fonctions arbidifTiculté que présente ce procédé, pour reconnaître le nombre

des fonctions arbitraires qu'admet l'intégral consiste à constater si les fonctions arbitraires tëgrale sont ou ne soDt pas identiques.

Pour cela, on développe ces intégrales en puissances des variables indépendantes par la déterminés pour reconnaître leur identité, le facilité en faisant ce développement sur l'expr tuer la généralisation.

§ 84. — Soit encore propoté d'intégrer Vt d'z . d*z

Si nous posons z ^ Ga*" + '" nous obtiendr et par conséquent m* — a*»* = o équation qu V, donne

u =: </m}, « = — /au, « ^ \f<^\/ —

nous aurons ainsi pour z les six valeurs <I) Z=G."^" + " = G.'«^' + "'= r e-

(3) ,=G."^''=' + "'=Ge""''=5 + '""= /

(4) ,=Ge— ^''='+"=Ge-^"'^+"'= /

(5) , = Oe-*>=fj-'i.^.^/l

(6) î = g/"~«"'=/ e-"'p(j-i\/ï Il est facile do voir que ces deux dernières

des quatre premières ; par suite» Tin tégrale complète de l'équation proposée sera exprimée par

cpy X' ^ ^^ ^ étant quatre fonctions arbitraires.

On peut, par un changement de variables, écrire cette intégrale sous la forme

Si nous supposons dans l'équation proposée a = ^V^ — i nous obtiendonsque l'intégrale de l'équation

dz'^^'* di^ est donnée par la formule

cos ^ — jr-^ aw(yi) -+■ sm ^^ — , < a6(ci))s rfo).

Cauchy^dans la théorie des ondes, a présenté l'intégrale de cette équation sous une autre forme.

§ 85. — Soit proposé dHntégrer Véqication

(^) ds^-^W^-^dp^"^^'

Si nous posons (2) V = Ge'** + *^ + P*^

nous aurons par la substitution de cette valeur dans Téquation

Ge"* + ««^ + P"' (w^ ^ t;« -M(;5^ — m) = à laquelle on satisfait en posant

w* -f- 1?2 H- m;' — m = o; on déduit de cette relation t^ = — y/m — v^ — w^ v = — \/m — u^ — w^ w:= — /m' — w' — t?*

INEÉGRATIOH DES É0UATIO^S LISÉAIRES AU:

par suile, la relation (a) nous donnera

(3) V = Ge'" + P^ - W^^r^

(4) V = Ge"* +P"- tv'»> - "S

(5) v = Ge»" + «-WiS^^l^ En considérant la valeur de V donnée par l'éqi

effectuer la séparation des variables à l'aide de i'i (5) du § 12).

en posant v = m— v* — w^, il en résultera

- w^, il en ré;

et par conséquent, nous aurons :

" ^ rfw G e" "^ effectuant la généralisation, nous obtiendrons :

intégrale particulière de réqualion propc L'équation (4) nous donnera de même en chai

^ciSy

et l'équation (5) donnera en changeant dans cell ■■-'■""•-S'.!

La somme de ces trois intégrales donnera pt l'équalioD (i)

(py V et représentant trois fonctions arbitraires, s'il est reconnu que ces fonctions ne sont pas équivalentes.

§ 86. — Soit proposé d'intégrer Téquation , . dz d^z . dH d^z

qui se présente dans les problèmes relatifs à la distribution de la chaleur dans rinlérieur des corps.

Comme la valeur de z renferme les variables indépendantes t, s, p, ^,... représentons Tintëgrale de cette équation par

z = Ge*** + *f + iH^ + S'»- 4- ...

cette valeur substituée dans l'équation proposée conduit à l'équation caractéristique

u — av* — hw^ — cr* — ... == o

qui, résolue par rapport à chacune des variables, donne

(2) u = av^ H- bw^ -4- et'* H- ...

(3) t? = dz -4 v/m — hw^ — cr^ — ...

(4) ^^^^ Uh^^ — ^^' — ^'* "*"

En substituant dans l'expression de z la valeur de u, donnée par la rela* tion (a), l'intégrale correspondante sera exprimée par :

effectuant la généralisation par facteurs, nous aurons :

q -h 20) Vc^ ...)rfj«) diù' dtà" ...

C'est précisément l'intégrale donnée par Poisson comme intégrale complète de l'équation proposée (Poisson, théorie de la chaleur, § 76).

Si l'on substitue dans l'expression de z pour v la valeur donnée par la relation (3), on obtient par l'intégrale correspondante

z = Ge'» + î"" + î»- + - i- ^^r=Tw* - cr* - ...

Pour effectuer la généralisation, nous remplacerons, dans Tintégrale — ay/û !

T / — (a)8 ^-m . fi ,

= 77^ I ^ 4*^' ^^1 w par V^ —

•connue « "" "*^^ = -j^ 1 e 4^* c^to, w par vu — du;* — cr^

ce qui permettra d'écrire z sous la forme

effectuant la généralisation par facteurs, nous aurons

g' + ^i/^ ""> •••)rf««> ^««>' ^*«*' ••

On peut se demander si cette valeur est une nouvelle intégrale ou simplement une forme équivalente de l'intégrale (5) déjà obtenue. C'est une «question qu'il serait important de résoudre.

IxNTEGRATTOxV DE QUELQUES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES AVEC COEFFICIENTS