VARIABLES

§ 87. — Bien que nous n'ayons trouvé que peu de cas dans lesquels le calcul de généralisation conduise à la détermination des intégrales d'une équation aux différentielles partielles avec coefGcients variables, nou^ allons cependant examiner quelques équations dont on peut obtenir des intégrales générales, c'est-à-dire, des expressions qui, contenant une fonction arbitraire, satisfont à l'équation proposée.

Souvent, il sera possible de déduire d'une première intégrale d'autres intégrales, soit par des cbangements de lettres, soit par des changements de signes, soit par des modifications sur la constante arbitraire par rapport à laquelle on effectue la généralisation.

Si Ton remarque que ce qui fait le succès de la méthode d'intégration des équations linéaires à coefOcients constants par la généralisation, c'est qu'on parvient à une équation caractéristique qui ne renferme que les variables de généralisation ; ce résultat ne saurait être atteint si les coefficients sont variables. Il est donc nécessaire, dans ce cas, de procéder d'une manière différente, soit en cherchant à ramener l'équation proposée à celle d'une nouvelle équation dont les coefficients sont constants, soit en donnant à l'expression généralisatricc qui représente l'intégrale une forme différente de celle que nous avons constamment adoptée.

Soit proposé d'intégrer l'équation linéaire aux différences

Nous pourrons facilement transformer cette équation en une équation à coefficients constants, il suffit pour cela de poser

?G^. y) = K^My)'^{^y y)

0(0?) et HL(y) étant des fonctions indéterminées de x et de y.

En effet, la substitution de cette valeur dans l'équation proposée donne Rye(a?)|jL(y 4- i)V(a?. y + i) P,e(a? -h- i)KyW^ H- i, y) = o qui se transforme en une équation linéaire à coefficients constants (i) W(x, y -H- i) — rv(x 4- 1, y) = o

en posant

e(a?) = P,e(a; -H i) intégrant ces équations, on trouve

Ay) =

KoHjHg ... Hy-i "jjPiPj ... Px|

L'intégrale de Téquation étant donnée par l'expression

^désignant une ' fotkction arbitraire. On conclut de là que l'intégrale complète de l'équation proposée sera exprimée par