TV**'» U/ — H R R R P P P P

C'est ainsi que l'équation

TC-^?, 2/ -h i) — a?^ç(a7 -h 1, y) =r o admettra comme intégrale complète

fi.^> y) = —

§ 88. — Si l'on désigne par-s' la variable principale d'une équation dont s ei i sont les variables indépendantes, il sera toujours possible, à l'aide du calcul de généralisation, d'exprimer une intégrale générale de l'équation linéaire dans laquelle les coefficients sont des fonctions de la seule variable s, lorsque la différentiation, par rapport à cette même variable, ne sera que de premier ordre.

Soient a, p, ... a', P', ... a", ^\ ... des fonctions de la seule variable s et posons pour abréger

cT»

.dP-' z

dtf

-h ... -t- îjr

dt

dtP-''

L'équation proposée sera de la forme (•> T„-HPf'4-Q^ + ... = «

P» Q, ... étant des fonctions de la variable s.

Si nous posons comme intégrale de cette équation

(a) z = Ge^"* S

S représentant une fonction indéterminée de s et u. Nous en déduirons

T« = Ge~^ (W*^ ^ aM»« - I 4- ... ^ Ç)S

par suite l'équation pourra se mettre sous la forme

-1- j (m" 4- «'w" - ' -h ...)P H- K + .'«P- ' H- ...)Q + ... fê équation à laquelle on satisfait en déterminant S à l'aide de l'équation

(4) ff =iogs=- A--H'»— ^•-^(t'-"-'-^->-^(g"^'-^-)Q

En substituant cette valeur de S dans l'expression (2), nous aurons comme intégrale de l'équation proposée

de

ds

(5) .=Ge- r-^'^^'^^M^ ""-'^•>-^(g "^-'^-QQ-^-

dont il ne reste plus qu'à effectuer la généralisation qui introduira dans la

valeur de z une fonction arbitraire.

§ 89. — Soit proposé d'intégrer Véquation aux différentielles par^

tielles

d^z ^ dz f.

F e/ Q étant des fonctions données de s.

Cette équation est comprise dans le cas général que nous venons de traiter : nous poserons en conséquence

z = Ggttts

nous aurons l'équation caractéristique

rfS __ Qg ^ tt'S = o

ds

qui a pour intégrale

cette valeur donne pour z

^oJ^--"fi

effectuant la généralisation

changeant le signe du radical , nous aurons une seconde intégrale ; par suite, l'intégrale complète de l'équation proposée sera exprimée par :

, = J^ Te- »»)^(« + «<.^/J|/-~.) + x{t - a^yf /=:T)jrf.

lorsque nous aurons reconnu que les deux expressions qui renferment les fonctions arbitraires <p et ^ ne sont pas équivalentes. § 90. — Soit proposé dintégrer Véquation

Cette équation n'est qu'un cas particulier de l'équation (i) du § 88. Posons donc

nous aurons l'équation caractéristique

dont l'intégrale est :

M«S -i- Pu ^ -h QS = o,

et par suite nous aurons pour z

-ûj p-,

iSO CHAPITRE XVIII

effectuant la généralisation (formule (7) du § 25).

V désignant une fonction arbitraire.

Si Ton remarque que Téquation ne change pas lorsqu'on y change les signes de P et t, ou, ce qui revient au même, si l'on change le signe de u dans la valeur de z nous aurons une seconde intégrale

La somme de ces deux intégrales représentera une intégrale de l'équation proposée avec deux fonctions arbitraires lorsqu'on aura reconnu que ces expressions sont différentes sans cependant qu'on puisse afGrmer qu'elle en soit l'intégrale complète.

Dans l'équation (1) du § 88 est encore comprise l'équation

d^z . dz n nous aurons, dans ce cas, pour l'équation (3) du même §

Comme cette valeur satisfaite l'équation, quelle que soitu, en changeant ■ u et — u on obtient une seconde valeur

valeur qu'on aurait pu obtenir en remarquant que l'équation proposée ne change pas lorsqu'on change les signes de ^, Q et R.

Il est facile de reconnaître que ces deux valeurs satisfont & l'équation proposée ; il reste à effectuer leur généralisation.

§ 91. — Soit proposé cC intégrer VéqtLation

dans laquelle R est une fonction de S* et b une quantité constante.

Si l'on remarque que cette équation résulte de l'élimination de k entre les deux équations / \ dz , dz ,

/^\ dk „ dk

ds dt

dk p dk

ds'^^Tt

nous aurons, en intégrant cette dernière équation

k = B(t—fRds),

6 désignant une fonction arbitraire ; en posant fRds = /^(s) Téquation (a) pourra s'écrire

Pour intégrer celle dernière équation, nous poserons

g = Ge'**' + '"', «t

e(< - x(») = F(«. t) = Gc»" + *",

il en résultera que Téqualion (4) pourra se mettre sous la forme

dont on déduit :

u — bv

mais comme

JSU + tV (

îl en résultera

(5) z = I e(t -+■ boi — -^{s — c«)))rf(D,

<x)mme intégrale de l'équation proposée.

Si Ton remarque que l'équation (i) reste la même lorsqu'on y change les signes de s et t nous aurons une seconde intégrale de la même forme de sorte que

(6) ^ = / \ B[t -h è(o — x(« — ^)) "+" ?(^ — ôw 4- yis -h ci)))dw j ,

représentera l'intégrale complète de l'équation proposée.

Lorsqu'on suppose R = 6 dans l'équation (i) on obtient à l'aide de la relation (b) que

^ = e(e — bs) -+- <p(< -h bs)y

est l'intégrale connue de l'équation -^-^ = 6^ -r^.

§ 92. — Intégration de l'équation

(Pz f.dz P dx

W^^Tt^lTs^""' En désignant par S une fonction indéterminée de t posons

En substituant cette valeur dans l'équation proposée nous aurons :

dS

G«S«(s«4-QS + Pg) = o,

et par suite la valeur de S sera déterminée en intégrant l'équation

3j-l-pSH-jr-o,

nous aurons donc en posant pour abréger i = e*/ " «

rods

Si nous supposons la constante c = — u nous aurons pour intégrale de l'équation proposée

et, en effectuant la généralisation

^ = / / ^ ^^^Th ^^^ ^^?( — ^) dvdh,

comme l'équation reste la même lorsqu'on change les signes de P, Q et t^ ou, ce qui revient au même, lorsqu'on pose c = u, dans l'expression de x^ nous aurons une seconde intégrale

J ^ *^ sin -j^ sin AriF(-« t?) dvdh.

Nous pourrons donc écrire, en reconnaissant que ces intégrales ne sont pas équivalentes^ que leur somme satisfait à l'équation proposée.

§ 93. — Intégration de Véquation

F et Q désignant des fonctions de s.

En représentant par K et S deux fonctions de s, posons comme intégrale

cette valeur substituée dans l'équation donne

équation à laquelle on satisfait en posant

ds

n dK />

intégrant ces équations nous aurons ;

da'

ces valeurs substituées dans l'expression de z donnent pour intégrale

Ge

on pourra effectuer la généralisalîon à l'aide de la formule (7) du § 25. § 94. — Intégration de l'équation

P é^ Q étant des fonctions de s.

En posant

z = Ge^-^^K nous pourrons écrire Téquation sous la forme

équation à laquelle on satisfait en posant

pi-o=.,

ds ds

intégrant ces équations nous aurons K

Qds^ P •

rOrf* fr rQdsy ds / / rQds\d8 . rds

^~J'^ Juv\ 'p~'y (y-FJp-^v^'

en mettant ces valeurs dans l'expression de z et en généralisant nous obtiendrons comme intégrale

s/ Jy *«>v^ — » )^*^-

§ 95. — Proposons-nous d'intégrer Véquation aux différentielles partielles

i, Posons à cet effet

(2) ^ = Ge«vS4-T)^

S étant une fonction de ^ et i/ et T une fonction de t et ti. Nous en déduirons

équation qui sera satisfaite, si nous posons

ds dt

on déduit de cette relation les équations suivantes

dS e(«)

ds m'

dt ti» •

dS e(*)

ds u

dt u '

le système

nous donne

par suite la valeur de z sera exprimée par

u fxit)dt 4- ^ f^isjds

et, en effectuant la généralisation nous aurons l'intégrale particulière

(7) '^t{Mt)dt)-l / Bm'^^«nhv<f{Mt)dt + v)dvdh, le système (5) nous donne

__ ujHs)ds^^fxmt

et en effectuant la généralisation nous trouverons

(8) z = v(/ô(«)d«)— ^ / / sin-LI^sin hvw{f^s)ds■^v)d^^

à Taide de ces deux intégrales (7) et (8) nous aurons pour l'intégrale complète de Téquation (1)

/too •ko

(^) (-'il J sin A'' I «n Z?^ T(/x(Orf* -H r)

sin '-^x~ "^U ®W^* "^ ^) S ^^^^'

(p et ^ représentant deux fonctions arbitraires

Si nous n'avons pas tenu compte du système (6) c'est que, dans ce cas, la valeur de z est exprimée par

qui, ne contenant aucune fonction arbitraire, n'est plus qu'une solution particulière § 96. — Intégration de Véquation

' dt^ ^ ^

Il suffit de poser

(a) z = Ge^\

en substituant cette valeur dans Téquation proposée on en déduit

nous aurons ainsi pour déterminer S l'équation

l'intégration de celte équation donnera la valeur de S avec une constante arbitraire ; cette valeur, mise dans féq nation (2) donnera, en généralisant par rapport à cette constante, une intégrale de Téquatîon proposée avec une fonction arbitraire

Cas particuliers

Soit n = 1 ; Téq nation (1) se réduit à :

,-v dz 0(8) dz

l'équation (3) intégrée donne

nous aurons donc à Taide de l'équation (2]

comme intégrale de l'équation (4).

Soit en second lieu n = a ; l'équation (1) pourra s'écrire :

//.\ d^z ©(s) dz ,

l'équation (3) intégrée donne

ue

*"* 1 — ue J nous aurons à l'aide de l'égalité (2)

fds

V "JwJ

z = ije

et en effectuant la généralisation

/^ao /too f ds

(7) { •- '^-Vo^o

Si l'on remarque que Téquatîon (6) ne change pas en faisant a = — a, nous aurons une seconde intégrale

z = e—' [ir(o) - -^ rC r"-^ ^'Klr^ hv x

La somme de ces deux intégrales (7) et (8) donnera l'intégrale complète de l'équation proposée.

§ 97. — Le même procédé peut quelquefois conduire à l'intégration de certaines équations linéaires aux différences mêlées avec coefficients variables.

Soit Vèquation

En désignant par k une fonction inconnue de s, posons comme intégrale

z = Ge*S

En substituant cette valeur dans l'équation proposée, nous obtiendrons, en admettant que h est l'accroissement fini de ^

équation à laquelle on satisfait en posant :

Si nous posons e = v, nous obtiendrons :

dv h(i — R) h .

intégrant cette équation, nous aurons, en désignant par u la constante arbitraire que nous considérerons comme variable de généralisation

— as

il en résultera

i58 CHAPITRE XVIII

effectuant la généralisation, noiu obtiendrons comme intégrale générale de TéquatioB proposée

(o h ^(ci>)c?ci>

§ 98. — Intégration de Téqtiatlon

d^z 1^ dz ij dz

dans laquelle K et H sont respectivement des fonctions des variables s et p. Posons comme intégrale

z. = Ge^^ -f Stt -f P»

V étant une fonction de u, S une fonction de s et v, et P une fonction de p, u et V.

Nous aurons, en substituant cette valeur dans Téquation proposée

G«Vt + Su + Pr/y. Kgu-Hgr)=o,

relation à laquelle on satisfait en donnant à V, S et P des valeurs telles que Ton ait :

1 ds dp

Si nous posons

„ „(fS „dP w*

ds * dp V

Téquation précédente se. réduit à :

à laquelle on satisfait en posant v = fi, nous aurons ainsi

à l'aide de ces valeurs, nous aurons pour z

. = G." -^ (-/k -sty

et par conséquent, en généralisant et en remarquant qu'on peut changer le signe de t sans que Téquation change

(p et ^ étant deux fonctions arbitraires

INTÉGRATION DE QUELOUES Ë<)UATtO^S

§ 99- — Considérons encore l'équation

A"î + Pli,,- -1- Q g + R,i = „,

dam laquelle P,Q et R sont des fonctions de la seule variable s. Posons comme intégrale de celte équation

(i) 2 = Gc*'H.

K et H étant deux fonctions indéterminées de s et u : nous en d<

en désignant par h l'accroisse raenl fini que reçoit t :

i,'« = GÊ*'H(e^* — i)',

nous pourrons ainsi écrire l'équation proposée sous la forme

G^'jof + H(."-,)'+H,(Qf + P(^»-,) + R)j

équation à laquelle on salisfaîlen délerminant H et K à l'aide d relations

(3) Q^ + p{eA*,) + R^o.

Pour intégrer cette dernière équation, il suffit de poser

(4) «** - r, nous en déduirons

,,, dv A(R — P) kP ,

W (^g + g -i- -JJV ^o,

qui a pour intégrale, en désignant par u la eonslanle arbitraire q prendrons comme variable de généralisaliun

nous aurons ainsi k l'aide de la relation (4)

""'va" *

jlog-

160 CHAPITRE xvni

cette valeur, mise dans l'équation (3), donnera

ûf-^H' '

intégrant cette équation, nous obtiendrons

à l'aide de ces formules qui déterminent les valeurs de K et H Tégalité (i) pourra s'écrire

la généralisation de cette expression donnera une intégrale de Téquation proposée avec une fonction arbitraire.

§ 100. — Quelquefois il est possible de déterminer l'intégrale de certaines équations aux différentielles partielles avec coefficients variables, en cbercbant à quelles équations peut satisfaire une expression donnée.

Supposons qu'en désignant par T une fonction de la seule variable t et par S une fonction de la seule variable s^ nous posions :

(i) ;? = G«(' + ^)" (T -h Sw),

nous en déduirons en supposant

G = aa ^ H- Ta» -+- QS -h PT 4- RSa,

(2) { rf"S o C?S D ^ r^rr F a om

l'équation

cl z ^ -a-^ dt z f\ cttS m

Si nous déterminons les valeurs de P, Q, R, L, T et S de sorte que les équations (2) soient satisfaites, la valeur de z donnée par la formule (1) satisfera à l'équation (3) et déterminera une intégrale de cette équation.

Or, ces équations sont satisfaites :

1° en posant

P = — a* Q = o R.v^o L = ~ T = -^etS = — 1, nous aurons donc que l'expression

«st une intégrale de Téquation

Comme d'ailleurs cette équation ne change pas avec le signe de a, nous aurons une seconde intégrale

;? = i W(t — as) — ^(i — à$),

par conséquent Tintégrale complète de l'équation (4) sera exprimée par

2^ en posant P = — a«, Q = o, R= — ?, L = o, T=i, S = — ew,

nous aurons de même que l'expression

z = Ge^^^ + '^^''(i — asu) = ?(< H- as) — ao'{i -h as),

satisfait à Téquation

d^z d^z ^ dz

(6) rf? "" "" rfF "■ i" ~ds — ""'

€n changeant a en — a nous aurons comme intégrale complète de cette équation

(7) z = o(t-+. as) -h V(i — as) — as\ o'{t + as) — W'(^ — as) j,

ces intégrales (5) et (7) ont été données par Lacroix (calcul diff. et intég. 783 et 790).

1. — L'intégration des équations aux différences mêlées a jusqu'ici eu étudiée, soit è cause de ses applications peu nombreuses, soit h des difficultés qu'elle présente. Le calcul des généralisation nous a devoir faciliter celte recherche, particulièrement pour les équations res et à coefficients constants ; nous allons te reconnaître en examil'intégration de plusieurs équations, \t l'équation

-àlf + ?(»+■.!/+■) = jj ?(»>. V + ■) -t- 55?(« + ., K), sant comme intégrale

aurons comme équation caractéristique uo-i-e'* "^ " — ce" — «e" t= «, peut écrire

{«•' - 1.) (e- - ») = o, équation n'admet, entre les variables de généralisation, que les quatre Qns suivantes

aurons donc, à l'aide de l'expression (a), les intégrales générales

en reconnaissant que ces expressions sont différentes entre elles, l'intégrale renfermera quatre fonctions arbitraires ^\ 6, ;^ et ? et sera exprimée par

n = oo

.(.. ,) = ^ "(y) *£k')^2 -■^»-,:;)xy-^'-) .

on véri6e facilement rexactîtude de cette intégrale. § 102. — Proposons-nous d'intégrer Véquation

Si nous posons (a) <?(a;) = Ge*«,

nous aurons^ pour déterminer u^ l'équation caractéristique

(3) ô^" = vT'.

S'il était possible de déterminer toutes les racines de cette équation, chacune de ces racines, substituée dans l'expression (a), donnait une intégrale de l'équation proposée ; si donc on désigne par u^ une des racines

de cette équation, nous aurons comme intégrale de l'équation proposée et par suite l'intégrale complète sera exprimée par

le signe S s'étendant à toutes les racines de l'équation (3) dont le nombre est infini.

Afin d'éviter la résolution de cette équation nous allons chercher à déterminer l'intégrale sous une autre forme ; écrivons l'équation (3) de la

manière suivante e^ = u ^ , cette valeur substituée dans l'identité (s) donne pour <p(â?) en généralisant

nx — Sa

(4) ?(^) = Gi. - = -^ ^\x\

W(x) représentant une fonction quelconque arbitraire, par conséquent, plus générale que celle qui convient à Tintégrale de Téquation proposée. Pour reconnaître la restriction qu'on doit apporter a cette fonction,

substituons cette valeur de o(x) dans l'équation (i) nous obtiendrons

ainsi

r y^Xœ) = ^ "^ipo + a),

équation qui montre que la fonction arbitraire W(^) doit être une fonction périodique dont la valeur est la môme pour a: et a: -h a. L'équation (4) représente donc Tintégrale de Téqualion proposée avec la restriction que nous venons de reconnaître pour la fonction arbitraire ^'(•^)-

§ 103. — Soit proposé de déterminer Vintégrale de V équation aux différences mêlées,

dans laquelle F(a7, y) est une fonction donnée.

Si nous admettons, en premier lieu, que le second membre soit nul de sorte que

en posant

nous aurons entre les variables de généralisation la relation

nous déduirons de cette équation v^ = ve^ ^. La substitution de cette valeur dans l'expression (3) nous donnera

et en effectuant la généralisation

(5) cpC^, 2/) = ^ 7.(3/ - ^)»

X désignant une fonction arbitraire ; c'est une intégrale de Féqualion (a) comme il est d'ailleurs facile de le vérifier.

S'il était possible de déduire de l'équation (4) la valeur de e^ en fonction de u, on obtiendrait une seconde intégrale; mais comme l'équation ne se prête pas à cette détermination, nous allons, par un procédé indirect, parvenir à une intégrale ayant une nouvelle fornae.

En résolvant l'équation (4) par rapport à e^ en fonction de i« et t? nous aurons

e^ = ve" ^,

en mettant cette valeur dans Tidentîté (3) il en résultera

Cela posé, il est facile de comprendre que, si nous généralisons le second membre de cette identité comme une fonction de deux variables, nous obtiendrons une valeur dans laquelle la fonction arbitraire introduite par le calcul sera plus générale que celle que Ton aurait obtenue si le second membre n'avait contenu que la seule variable u :

En effectuant la généralisation par facteurs de la .valeur précédente nous aurons

désignant une nouvelle fonction arbitraire.

Pour connaître la restriction que nous devons apporter à cette fonction 6(a? — y), remplaçons dans l'équation (a) ïp(x, y) par cette valeur : nous obtiendrons une identité, ce qui montre que cette expression est une intégrale sans apporter aucune modification à la fonction 0.

Pour déterminer si cette seconde intégrale est différente de la première donnée par Pégalité (5) posons

vfy — œ) = — - mx — v)f

en faisant y = â; -4- o> il en résultera

dy"^^^"^' dy^+^ ^ *^^ df\dy'^ ^ 7' et par conséquent

y(u)) = e(— u>) ou -Ay — a?) = — - e(x — y),

égalité qui montre que les deux intégrales (5) et (6) sont les mêmes,

Pour obtenir l'intégrale de l'équation (i) avec son second membre, nous déterminerons une intégrale particulière de cette équation par le procédé déjà employé et nous aurons

"p(a'.y)=£x(y — ^)-t- 2 / r(7+ n) F(^ + «. y + < + n)dt,

comme intégrale complète de l'équation proposée. § 104. — Proposons-nous dHntégrer Véqtcation,

Si nous posons

nous aurons comme équation caractéristique

(2) ue^ = Vf

équation qu'on* peut résoudre par rapport à u ; nous trouvons u = vé^ ^ et par suite l'intégrale

^1* désignant une fonction arbitraire

Pour compléter l'intégrale il faut encore résoudre l'équation (2) par rapport à V en fonction de u ; mais vu l'impossibilité de le faire, écrivons cette équation sous la forme

u nous aurons ainsi pour l'expression de ^{x^ y)

en substituant cette valeur dans l'équation proposée afin de reconnaître la restriction que nous devons apporter à la fonction arbitraire 0(â?) on trouve que l'équation est vérifiée ; nous aurons donc comme intégrale complète

§ 105. — Paoli s'est occupé de l'équation aux différences mêlées

F{œ, y) désignant une fonction connue.

Il a donné comme intégrale de cette équation

(î) 0(07, y) = -—-)^^^ -^ 2dTTi ^('^ — n^i.y),

pourvu que l'on renferme l'intégrale S entre les limites n == o et n = a? + 1. Nous allons chercberà déterminer l'intégrale de celte même équation par la généralisation.

Si nous considérons le second membre comme nul, en écrivant

nous aurons en posant

(4) ç(a?. y) = Ge^ + v,

l'équation caractéristique

h laquelle on satisfait en posant é^ = v eiv = é**.

Ces valeurs, mises dans Texpression (4)> donnent successivement

f{x, y) = Ge^D' = ^ W(y).

n = oo

n = o nous aurons ainsi pour l'intégrale de l'équation (3)

^ et 6 représentant deux fonctions arbitraires.

Pour déterminer une intégrale particulière de Péquation (i) avec un second membre, nous poserons

o[x, y) = Ge^" + y^ F(a?, y) = Ge^' + y^', il en résultera l'équation symbolique

•dont on déduit

effectuant la généralisation nous aurons

Par conséquent, l'intégrale complète de l'équation proposée sera exprimée

par la somme des valeurs données par les formules (5) et (6). On obtient ainsi :

On peut reconnaître, à l'aide de cette formule, que l'intégrale obtenue par Paoli ne peut être considérée comme l'intégrale complète de Téquation proposée.

— j^-ZTi F(j: h- n. y) s'étendent de i à l'infini,

on peut la limiter à n = a? parce que la portion que l'on néglige dans ce cas étant

peut être considérée comme comprise dans — - ^{y]> ^ étant une fonction

dxr

arbitraire.

§ 106. — Donnons plus de généralité à l'équation de Paoli et soit pro» posée l'équation

(,) ^^^^:^ - "p(* + «. y) = FC*'. y).

supposons le second membre nul, et, cberchons Tinlégrale de l'équation

Posons à cet effet ;

(3) ?(x, y) = Ge*" + V^,

en substituant cette valeur dans l'équation nous aurons l'équation caractéristique

v"" — e«" = G, équation qui, résolue par rapport à v donne

expression dans laquelle on donnerai toutes les valeurs o, i, a,... (n — i)

INTÉGRATION DE Qt'ELOUES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES MÊLÉES 169

Cette valeur mise dans rexpression (3) donne

(5) ^ A;^=n — i2) = Qo pp /^

= 22 "^rcp+i) M^ "+"?)•

cette intégrale renferme n fonctions arbitraires.

Si maintenant nous résolvons Téquation (4) par rapport à e^ nous aurons :

expression dans laquelle h recevra toutes les valeurs o, i, a, ...a — i. Cette valeur mise dans l'identité (3) donne

nhTx I ru?

V — ï — yv

effectuant la généralisation

Cette nouvelle intégrale de l'équation (2) renferme a fonctions arbitraires. Pour obtenir l'intégrale de l'équation (i) il faut encore déterminer l'intégrale particulière avec le second membre.

Pour cela nous poserons ^(a?, y) = Gtf*" + ^^ et (Fj:. y) = Ge^"' + ^^ nous aurons par conséquent

dont on déduit

comme conséquence de ces formules (5) (6) et (7) nous aurons que l'intégrale complète de l'équation proposée sera exprimée par leur somme et renfermera par conséquent n -^ a fonctions arbitraires. § 107. — Intégration de l'équation.

En supposant le second membre nul, nous aurons (^\ c?-f (.r -h I , y) d' ^(x, y)

170 CUAPITRE XIX

et en posant :

(3) ^{x, y) = Gc*« + y", il en résultera la relation

(4) ue^ — v^ = o

résolvant cette équation par rapport à v en fonction de u nous aurons les deux solutions

V = \Jue ^ c? = — sjue ^ ,

par suite l'expression (3) nous donnera les deux intégrales

Pour éviter la présence d*un radical dans ces expressions qu'on doit généraliser, il suffit d y remplacer u par u*, nous aurons ainsi :

<>ix, y) = Ge*"' - y» " =

(6) < n = oo /•»» /^oo

W et X représentant deux fonctions arbitraires.

La somme de ces deux intégrales ne suffit pas pour déterminer l'intégrale complète de Téquatîon {i) ; il faut encore résoudre Téquation (4) par rapport à u en fonction de v.

La difficulté de cette résolution nous oblige à procéder comme nous

l'avons fait dans des cas précédents, en déterminant la valeur de e^ en fonction de v et u^ nous obtiendrons ainsi :

par suite l'identité (3) nous donne la nouvelle intégrale

(7) o(., ,) = G^^= T^^ aa^.

valeur que bous pouvons admettre car elle satisfait à Téquation {2) sans qu'on apporte aucune modification à la fonction arbitraire O(^),

La somme de ces trois intégrales (5) (6) et (7) donnera l'intégrale complète de l'équation proposée sans second membre. Pour compléter l'intégrale de l'équation (1) il faut ajouter à la somme de ces intégrales l'intégrale particulièrd (§ 59).

n = o tJa »' — 00

§ 108. — Soit proposée t équation

En supposant l'accroissement fini de s égal à l'unité et en posant z = Ge*^ "^ '^ nous aurons, en suivant la marche ordinaire

;r = Oe'-O -+- r/ = 2 "^ WTT) "d?i^'^'^'

La somme de ces quatre intégrales donnera l'intégrale complète de l'équation proposée qui renferme quatre fonctions arbitraires.

§ 109. — Proposons-nous de déterminer l'intégrale de V équation

(0 -n; -^- A ,^, + B ,,, h- ... + Na ^^ = o,