GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS D*UNE SEULE VARIABLE

qui pourra à l'aide de T intégrale connue

cos av^ cos yvdv = k/-~ \ cos t- -+- sîn J^ î

«'écrire sous la forme

(loj G cos au

-vif

cos fly* -f- sin ay* } { <p(a7 -f- aayv^ — i) -h cc(a? — 2ay/ — i) }.

Si nous posons ^'(^)^= sin au' nous obtiendrons par un calcul identique à l'aide de l'intégrale connue

sin av^ cos yvdv

cos f-

— sin J^ ( 4«)

la relation

(il) Gsinaw* =

2» soit V(w) = e— ***•

I cos ay* — sin ay^ } { ip(a? -H aayv' — i) ~h ^{x — 2aj/v^^^) } dy.

nous aurons

Ge-*~'=-

H-yV^— i) -h «{'(x — y/~ 1 <^y / «"^^* cos*/i(/i4

oo

en remarquant que

kOO

cos yodv = -y/~ c ^"^

nous obtiendrons en remplaçant y par 2^ay

(la)

— au'

(/v H- ly^'a^— i)dy.

en cbangeant dans cette expression a en — a et y en — y nous trouverons

Oé

aw

i\/ay)dy.

W(u) = C— ±-1- , nous aurons en remplaçant l'inlégral» du r'e»''-i-e-'"'

— rv cos yurfii aleur

p COS yud» = T

e * + « ^ -V a cos -

jç{i + !.,V-') +

by^— i) ! ofi/.

t vltù = ^1 i - nous aurons de même

J -•(«-V-Oli'ï-

il v(u) = — . — F- il en risullers

/ OT+,-'y+,cos"l?(« + »!*'^^ — -.(i-sy^)!.*».

»•«-»" ly/:^ /

JIU o- ""

it encore >!'(») = -. tta ' nous trouverons de même

[" sin îî

'?ir^*»= .' .'»+e-'y+=c<»y

GÉNÉRALISATION DBS FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE 15

Sî, dans la formule (i4)t nous posons a =o ei b =:=a nous en déduirons comme cas particulier

GO

rfy,

et en supposant a = W — i nous aurons

^ ' cos au I !Ef «.

ire ^^-

oo

Si dans la formule (16) nous posons a = o et & = a nous aurons comme cas particulier

= ^ , , I 9(x -+■ ayv — 0»Vf

Nous devons faire remarquer qu'on arriverait à un résultat erroné si Ton posait dans cette formule iz=^ a^' — 1 . On reconnaît ainsi qu'il existe des fonctions pour lesquelles la formule de Fourier n'est pas applicable.

7^ Si nous posons successi vemen t V (u) = -5 rj— 5 et ^V (u) z= , ^

nous aurons

§ 10. — Bien que les formules (8) et (9) du paragraphe précédent nous fassent reconnaître que, d'une manière générale, nous pouvons faire dépendre la détermination de GW(u) d'une intégrale double ; il sera, dans la plupart des cas, plus simple de chercher à obtenir directement la généralisation d'une fonction. Nous pouvons, pour y parvenir, établir un principe d'une grande utilité que nous désignerons, vu son importance, sous le nom de généralisation par /acteurs.

Ce procédé très simple permet de déduire la valeur de GW{u)yJ[u)...^{u) de la valeur de ses facteurs généralisés G*"(^)» Gx(w),... GO(w).

Considérons, en premier lieu, le cas de deux facteurs G^{u)y(ti).

Si Ton remarque que l'on peut poser

GV(m)x(«) = V(D,>x(D,)ç(a;) (a) GV{u) = V(D^)«)(ar)

Gx(« = x(Dx)?(x).

Nous pourrons dans l'identité (a), après la généralisation, substituer à la fonction o{œ) la fonction X(a;) exprimée par

X(^) = Gx(m) = x(Dx)?(a?) il en résultera comme valeur du second membre

'P(Dx)x(Ox)?(«')

qui est précisément la valeur de G^(u)jJ[u),

Il résulte de là que, pour' calculer la valeur de 0^(uy/j[u), il suffira de déterminer la valeur de G^(u) en y remplaçant ^ par X, puis de déterminer la valeur de X(a?) à l'aide de l'équation

l'élimination de la fonction X entre les deux équations

GV(w) = F(X(a? -t- K)) X(:r) = Gx(t^) = F.(<p(.rH-KO)

donnera la valeur de G^{u)y{u) = FF,©(jr -t- K -+- K,).

On peut arriver au même résultat à laide du théorème de Mac-Laurin en posant

»'(«)X(«) = HoMo) -t- [v(o)x'(o) -H 7S0M0)] ~ H-

Nous ei\ déduirons par la généralisation *

(b) ■+ [v(o)x'(o) -h aV(o)x'(o) -H no)7.(o)] ^7^^ + •••

Cela posé, si nous remarquons qu'en substituant dans l'expression GW(u) = 'F(o)«(a;) + V'(o) 2^ + n'^io) •'^^) + ... pour <p(a;) la valeur X(j;) ce que nous exprimerons par

GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE 17

on remplace 'kÇx) par la valeur

Gx(«) = X(x) = X(o)^(x) -h jr'Co) 2^^ -t- /(o) '^'^^ -+■ ...

nous obtiendrons le second membre de l'équation (b).

On reconnaît ainsi que, si l'on avait à. déterminer la valeur de

Gv(w)x(w)...e(w)

il suffirait, comme conséquence de ce que nous venons de dire, d'éliminer les fonctions X, \i,,..p entre les identités suivantes

GV(w) = F I X(.r + K) I X{x) = G/Xu) = F, I K^ + K,) I

p(x) = GO(u) = F„ I ^{x -f- K„) I

en supposant tous les facteurs égaux à V(m) nous pourrons faire dépendre la valeur de G{^'(u))^ de celle de G^^^^).

Comme exemple de généralisation par facteurs^ déterminons la valeur de

Ge 5g2 cos au.

Nous aurons immédiatement

G cos au = - I ^(a? H- a \/ — i) -H ^(a: — a^ — i) et à l'aide de la formule (la) du § 9

OD

et par conséquent

-+- o{x -+-(< — a) v/ — "ï) I dt.

Si l'on remarque que l'on a identiquement

00 y^OO

00 ^ — oc

fs CnAPITRE II

en changeant (en — (, nous pourrons écrire l'égalité précédente s fiirme

(.) Gr^'c«.,u=^J «-'""!?(«H

(,+„)i/^rT)-

-f{x — (l + a-)^^r,)^dt — ~J- I e-''''Gmi{l+a)mll,

f- / e-î'''Gi!0!(lentité, nous o

en dégénéralisant celte identité, nous obtiendrons l'intégrale

(■■*) / e-qH^ (^g (( ^ a)udt = ^ e *»' cos au.

Nous trouveroDB de même, en généralisant par facteurs l'expression Ge~^'sin au

:4) / e-î*'Sin {( +fl)urf(^^e~ï?3inaM

:es intégrales (3) et (4) sont déjà connues.

Soit proposé de généraliser par facteurs l'expression

(a -H eu) («1 H- é,W) (On -h i„u)'

Si l'on remarque que l'intégrale

^ralisant les deux membres

nous donne, en généralisant les deux membres

nous devrons écrire la suite

' X(j: — bt)dt

<iÉNÉRALlSATION DES FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE 19

— CTit?

10U8 obtiendrons ainsi :

(a -f- hii){a^ -h 6,î/) ... {a„ -+- hnU) ~'

fr: r

La généralisation par facteurs peut conduire à la détermination de certaines intégrales multiples.

On déduit de l'intégrale

— tu

= I e-'^^dt

en diiïérentiant n — i fois les deux membres par rapport à u

posant 1^ == a + u et en généralisant nous aurons