OO
p(a;) = Ge*"' = -i. / e" '«'' «K» -t- a v'Au-Orfw,.
^j.-vv---- '
GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE 21
^n désignant par nie nombre des facteurs nous obtiendrons en généralisant les deux membres de ridentité proposée
e"^ o(x 4- 2 V^a -4- ^ -h ... -f- kz)dz.
Si Ton suppose les nombres a, 6, ... k tels que a -h 6 -+- ... -+- A* e= o, «lous aurons en remarquant que
— «t/ao*/— 00
^kto))dtdv ... rfw; = it 2 p(a:).
Soit proposé de généraliser l'expression G ; ^^ •
I^ous aurons par la formule du binôme
k(k -+- i){k •+ 2 6» ./lu .
<iu.e nous pouvons écrire en effectuant la généralisaiion
n = ao
Si maintenant nous effectuons la généralisation par facteurs nous aurons :
n = oo
G Wu = -V (- ')" ^4 >(^ + nh)
Wl = oo
^(^>=^^.i^=àS^-'^'"^i^<^-^"''>
Wl =
nous en déduirons
"ûTi?=?=/S 2 2-<-""^"^'^
là/ ^(j:^ H-(m -f- n H-p ^- ...)A].
Nous aurons ainsi en égalant ces deux expressions de G ^-
w=oc m = ooj)=Qe
n=o «J =o jp=o
en supposant le nombre des intégrales S égal à A.
§ 11- — li arrive quelquefois, ainsi que nous venons de le reconnaître^ qu'une fonction, généralisée par des procédés divers, donne des expression»^ qui, sous des formes différentes, sont équivalentes ; en égalant ces expressions on peut établir des relations souvent remarquables
Pour en donner un exemple considérons les intégrales connues
/ e'-^-^-^-^û^hvdv = C(^sin(marc/sin=-— ^^\\
/ e- ««' t,»» - • cos èrrf„ = ■— î^^^^-- C08 ( »» arc fcos = - " \ V Pour obtenir une aulre expression de ces intégrales, soit l'égalité
vW
(a -h hvl) changeant 6 en — ô, nous aurons :
~^j .-".--', (.-*.)rf.
GÉNÉSALISATIOX DES FONCTIONS D'iTNB SEULE VARIABLE
a-=Fw^ ' '"" ■?(- + !»)«
faisant la somme de «ja deux ideDlités. il en résnllera : en posant 6 = ft y/ — i et en remarquant que
nous obliendrons
llD
(a- + ST formule que nous pouvons écrire en supposant v = ao
(5) P.-"."— eo.toA=îM(î±VEiZL+(itii^r En faisant la différence des égalités (3) el (4), nous trouverons de même
S) I «-""o^-'sini.
(6) / e~'"'v"^-'sial>vdv=~^^
La comparaison de ces valeurs avec celles données par les formules (i) et (i) donne les relations
; (aH-t.t/=T)"+(a-i/:ri )..
qu'on peut écrire
(6) Sm(»narc(sin— K)— ^ — — ' /— ^ ' ■ "
(7) cos(marc(cos=KJ:^ ^^ ^ ' — -^ — -^ '—
§ IS. — Nous avons déjà reconnu que, pour généraliser une fonction F(a) par rapport à la quantité a, il suffit de poser dans cette fonction a=^ u
qu OD envisage comme variable de généralisation et de déterminer la valeur de GF(m) en prenant pour déCnîr la fonction introdnite par la généralisation Ge"" = <a(x -f- a).
Hais ai, dans l'expression de celte généralisation, on veut conserver la quantité a par rapport à laquelle on généralise, on posera a r= au et l'on déterminera la valeur de GF(au). La nouvelle fonction ainsi obtenue contiendra la quanlité a et l'on pourra de nouveau la généraliser par rapport a cette même quantité, nous obtiendrons une généralisation de second ordre G'F(au). H serait facile, en procédant de nouveau et de la même manière, de déterminer la valeur de G"F(a«). Soit, par exemple, la fonction
F{a) = p -H ja -t- TVi'
nous en déduirons par une première généralisation par rapport k a en posant a = ait
GF(ow) = p<f(x) = qa'i'(x) -+ r(i*if'{3T) une seconde généralisation donnera
G«F(flM) = pfixy -H qai{xY -H ra}f\a!)-' et généralement nous aurons
G"F(aw) = pf (i^)" -t- paçX^)" + ra^f'ipc)"' Comme nous aurons rarement l'ocGasion d'effectuer des généralisations d'ordres supérieurs par rapport à une même variable, nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet.
Si une fonction contenait plusieurs quantités a, b, c, .... on pourrait effectuer la généralisation par rapport à chacune de ces quantités en posant a = au, b ^ bv, c ^ cw, ....
On comprend qu'à chaque généralisation répond une équation particulière de déBDilîon, c'est ainsi qu'on posera :
G„e*» = 'r{x + a), Gy = 0(y + a). G^e»" = yXz ■+■ a),...
comme équations de définition répondant aux variables u, v, u>,...
Si l'on remarque que, par ta nature même de l'opération de la généralisation, on peut changer l'ordre de deux opérations successives et poser G„G„V(u, V) = G„G„T(«, v)
il en résultera, d'une manière générale, qu'on pourra, sans modifier le résultat, généraliser une fonction d'un nombre quelconque de variables dans tel ordre qu'on voudra.
GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS d'ONE SEULE VARIABLE 25
Si, par exemple, nous considérons la fonction de deux variables dont la valeur peut être exprimée par l'intégrale
nous en déduirons :
«-««V<G„e-"' = / «-'«*6(y - t)dt.
mais comme
nous aurons :
d'autre part nous trouverons
et par conséquent
^ I c-'^*' [ <p(a? -H V— i) -t- ?(^ — W— i) j cT-,
mais comme G^G^ = G^G^ ces formules (i) et (a) nous donneront.
en différentiant cette égalité par rapport hz, puis en posant z =^ a, nous pourrons l'écrire
—, nous obtiendrons U9 en déduirons :
Soit en second lieu, la fouclion e"""' nous en déduirons
Mais comme G^fi— ^"* — e(p «») il en résultera G„C,e-'"' = GJ!p - «>) d'autre part la formule (9) du § 9 donne
en posant l
(4) G.-"«=^^ d^énéralisaot, noua en déduirons :
identités on trouve
') cas yotîv
à l'aide de ces deux identités on trouve
formule qui, dégénéralisée, donoe l'intégrale connue
GÉNKHALISATIO.N DES FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE "il
§ 13. — Bien que nous ne devions nous occuper dans ce travail que de l'opération G définie par Tégalité
il est facile de comprendre que l'opération symbolique pourrait être déterminée par une toute autre relation ; c'est ainsi qu'en désignant par G' une nouvelle généralisation nous pourrions la définir en posant
G'e«**^~' = (p(a;-+-fl).
On déduirait immédiatement de celte relation
G' sin au = — , — ) ©(a? H- a) — ©(a? — a) u G' cos au = ' j ©(J7 -f- a) H- <p(jr — a) >.
sans vouloir nous étendre à ce sujet^ montrons par un exemple, les avantages qui pourraient résulter de cette considération. L'intégrale connue
nous donne en effectuant la généralisation G'
I t(v -f- at) -+- o(.v -\ at) y^ / . ^ ./ ; \
en regardant a comme une quantité essentiellement positive, et en posant
t / = - nous aurons a
(2) / -• ^ L^ '^^ L dt = -o[x-^a /--^).
En différentiant l'équation (i) par rapport à a, puis en posant t=- nous
en déduirons
(3) r ?(fL±.0^^(^L=Ll) tdt ^ .<i{a> + a /^TT) / - T.
28 CliAPITKE II
Ces formules (a) et (3) ont été données par Cauchy (exercices i8a6, page 107) ; elles sont exprimées par cet auteur sous les formes
î<il±^' <" = î ^. V^).
qui répondent à a? = 0. La première suppose que la fonction 0(0; + 1/ y/ — 1) conserve une valeur finie
i'* pour X = ± <so quel que soit y ; 2" pour y = oo quel que soit x,
et la seconde suppose en outre que ©(x -+- y V^ — 1) s*évanouit pour y = oo .
§ 14. — En posant comme équation de déQnition de la fonction o
on pourrait déduire de la formule de Fourier, étendue au cas d'une fonction de plusieurs variables, la valeur de G^(m, v, w, ...) en inlégales définies multiples.
C'est ainsi qu'en considérant une fonction de deux variables» nous aurons au lieu de la formule (8) du § 9 la suivante
^ J J J J -h/c^—ï)e-^^''+''^^^-'du^dbdidk;
— 00*^ — ao
pour une fonction de trois variables nous aurons de môme
/30 yooo /oao >oac /->Q0 ^-«^oo ar*/— 00*^ 00 «-^ OD*-^ — OO»-^— 00
et ainsi de suite.
Les formules auxquelles on parvient ainsi sont si compliquées qu'il est avantageux, dans la plupart des cas, d'opérer la généralisation plus directement ; nous allons, à cet effet, entrer dans quelques détails.
La généralisation des fondions de plusieurs variablrs peut s'effectuer à Taide du principe delà généralisation par facteurs, qui subsiste également dans ce cas comme il est facile de s'en assurer par une démonstration analogue à celle que nous avons présentée pour une fonction d'une seule variable, en ayant soin toutefois de rapporter à x la généralisation relative hUyky celle qui est relative à v, à z, celle qui est relative à to et ainsi de suite.
Nous allons, par quelques exemples que nous aurons Toccasîon de rappeler plus tard, montrer l'emploi de ce procédé.
Si la fonction à généraliser se composait du produit de fonctions ne renfermant chacune qu'une seule variable de telle sorte
il suffirait de généraliser chaque facteur, comme une fonction d'une seule variable, et d'en déduire la généralisation complète à Taide de la généralisation par facteurs.
Soit proposé de déterminer la valeur de Gc"" ''** "" **** en prenant comme équation de définition
Nous aurons :
et par conséquent
y 4- 2 V^ w' v^ — i) d(3idui\ Soit proposé de déterminer la valeur de G en prenant
co?nme équation de définition de la fonction 9. De l'intégrale
tu
nous déduirons
:)doi
GtNÉRALISATION «ES FONCTIONS DE PLUSIEUHS VARIAHI.KS 31
f(x. y, .-) = G ^ ^ / ,(i, ï. » - -V"' élimioant X et [ji nous aurons :
;c — 'û, y — w', a: — ui'jdiudiu'dui'.
§ 15. — Il est quelquefois facile d'opérer la séparatioa des variables d'une fonction donnée à l'aide d'une intégrale définie, e(, de ramener ainsi ia généralisation d'une fonction à la généralisation par facteurs.
Soit proposé de déterminer la valeur de G ; — : t^ en prenan l comme
(pu^-f-qv)""
éqvatUm de définition de la /onction <f
Gc»« + *" = ç(a; -t- a, y -i~ 6) si l'on remarque
{pu* -+- qvy" nous en déduirons
^ (pu* + î»r '■('"y
ition des variables étant ain ura :
i -^ rr
(«-'rf(Ge-,-P"'*-î"'
la séparation des variables étant ainsi effectuée nous aurons en généralisant par facteurs :
j"* ^'Hx-i-vat^fA}/—i,y—q()dtitdl
que l'intégrale connue
("* ~ '<f(3: ~ t,y — pl)at
énéralisant par fadeurs >
/ {iiof*~'<f(x—t—i.>,y — pt~~qi-i)Uldio '■ v'a* — 4* il en résultera i
((<o)" - 'o(a; — / — ,0, y — (V^^V' - -+■ 'VÏ'V' — llrfwrf/
(ioi)" ~ 'o{ic — ( — (o, y + at — ai-i)d'Mdt.
Od eiTectuera immédialement la séparation en deux facteurs, chacun d'une variable, h l'aide de l'intégrale connue
s aurons ainsi
«*+ a' mais comme
e "* coB avtdt
= I rfïGe '" cos atv
Ge - '" = ç{a! — (, y) G COB <i(t> = - \f{x, y -+- at)/ — ij -+- «{a:, y — af»/ — i)j la généralisation par facteurs donnera
G „i^a.p* = ^ / \f{x-t.y'^at^f^^l)-i-f{x-t,y-^W^^l)]dt
Nous trouverons de même à l'aide l'iotégrale
t ''", , = / e - '« Bîn avtdt «' -H a'v* t
l'expression
jr:f^= V^ / l*-'.ï-<-«'l'=7)-ï(i-I,j— oftCTT)!,!!. Pour obtenir la généralisation de l'expression Ge ^' on considérera l'intégrale
'*** cos iutdt
eurs nous donne
qui, généralisée par facteurs nous donne
;-)4 CHAPITRE m
§ 16. —Proposons-nous de déterminer la valeur de Ge^' en prenant toi{iours pour définir la /onction 7 Ge"" + ''^ = f{x -^ a, y -i- ô). Remarquons d'abord que l'on a identiquement :
g/^auv , ^u + e,' — ii(u — o;* d'autre part, l'intégrale connue,
Dous donnera :
6^" + ")* = -^ / e^M-^-^J-tV*, fornaule qui, généralisée, conduit à la relation
nous trouverons de même :
Ge- "("-'''' = -
^ / c~*V^ + *V'«A\/— 1, y— aV'flAv'— i)dAf
la généralisation par facleur conduira h. :
e-^*-''\{x^vJ^t-^h\/^\).y-^-i\fâ{t — h\/^i)dhdt, en posant o = t nous auroni :
Il serait facile d'exprimer par une série la valeur de cette expression, il suffirait pour cela de développer e""" en série et d'en généraliser les deux membres, nous trouverons ainsi :
•Tjfymfr
GENERALISATION DES FONCTIONS RATIONNELLES ET DÉTERMINATION D'INTÉGRALES DÉFINIES
§ 17. — Si nous considérons la fonction rationnelle — -— r- il est faciled'en obtenir la généralisation & l'aide de l'intégrale
a -i- bu j
qui donne
on déduira de même de la formule
a — hu f
en généralisant
de ces deux identités on déduit
9 formules conduiseol très simplemeDt aux suivantes :
^ ' a* — i'w' Aa'ô / ,
,/„ — fCaî — (v'— OjVf.
1 v/i va va )
Pour obtenir la valeur de G ; s nous pouvons remarquer que
n -i- ùu + m' "^
a-i- bu+cu' I
Eo géDéraltsant par factours il eo résultera
''-|-'» + ™'~iS^ J„ " ï(»-»i-ï"i/«»'=rr)j<f«c(/.
On peut effectuer cette généralisation à l'aide d'une seule intégral» simple en remarquant que l'on a identiquement
o -t- ôw + eu'
s aurons en généralisant à l'aide de la formule (i)
\0 ir=-
l e '« ' !?«"-')<" (»'>4no).
Généralement, si V^^u) est une fonction rationnelle du u, cette fonction pourra toujours se décomposer en une suite de termes des formes Au'" et — , mais comme GAu*" = o'*"^;», la question de détero
(OH- dur'
GV'(u], dans ce cas, est aiogi réduite à connaître la valeur de G
Si l'on diftérentîem — i fois, rapport à u, l'intégrale nous en déduirons :
•'^■■•'*rx ^,-•■
"atr^^"^*^
«"•-'«-"•di,
et en posant dans celte égalité u = a — bu nous aurons en généralisant :
(a ■+■ buf r(
e-«'t"'-'d<Ge-*'« =
b^Y(rn)J
«^""'<p(a: — i)dt.
nous trouverons de môme, en posant dans l'égalité précédente w = a — hu
(a — ôm)^ à'^T{m)J
en faisant la somme et la différence de ces deux formules nous en déduirons :
Si dans cette même intégrale
.m — i^ — tu
^m — I^— lU^^^ QQ^g
posons u = a* -h 6*tt* nous trouverons en faisant f = -j ,
en remplaçant Ge ^"^ par sa valeur donnée par la formule (12) du § 9» nous aurons :
<p(a: — a - j/cV — ( dvdt.
qu'on peut écrire en posant t = — ^ sous la forme
2bvv
(ai) ^ (a*H-ôV)*^ 26a^^
Nous trouverons de même en posant u= a* — bu^
§ 18. — Écrivons la formule (ai) du § précédent sous la forme
(a»-hô«i*»)^ av^iréa^^-»r(n) / j<p(a, + yv/Z:i)
— yv — 0{c?y / t? â<5""^-îp;rftj.
Nous obtiendrons, en déterminant la valeur de G — ; ■ ,,^ à l'aide
de la formnie (9) du § 9, la nouvelle expression la comparaison de ces deux formules donnera
Maintenant, si, considérant la formule (aa) du § précédent, nous faisons m =: I , nous obtiendrons :
dont nous pouvons déduire, en égalant les parties imaginaires que renferment les intégrales de chaque membre
Nous aurons donc à Taide de la formule (3)
§ 19. — La formule (7) du paragraphe 17 comparée avec la formule (19) du paragraphe 9 donne
(1) ij \<i{x-i-y\f^^)+^(,x-y\r^]dy j §^^^ =
^5^ / c""^^f?(^-^yv^'^^)-+-?(^ — 2^v/--^)Hy'
identité dont on déduit Tîntégrale connue
C08 yvdv it ""5"^*
a* -h b^v* 2ab
Si, dans cette formule (1) nous posons a = a ^ — 1, nous obtiendrons :
cette formule comparée avec la formule (20) du § 9 donne
cos yvdv
on déduit de cette égalité l'intégrale
— 1 "-r — yv^— I TU . a Tz a /
aaô b^ lah
[ CO S yvdv TCy/ — 1
o différenliant par rapport à j^ on obtient
/o\ / V sîn vvdv Tc — ï y V— i tc « tu . a /
Bien que les valeurs que nous venons de trouver pour les intégrales (a) et (3) aient été données par Poisson (P. i3, 296 et 33) on a élevé des doutes sur leur exactitude ; plusieurs auteurs ont réduit leurs valeurs seulement à la partie réelle et ont regardé comme exactes les formules
/,v / COS yvdv 'îz . a
.-V / V sin yvda iz a
on peut, cet égard, consulter les tables d'intégrales de Bicrens de Haan qui regarde ces dernières intégrales comme exactes et considère comme erronées les valeurs obtenues par Poisson.
Il est d'abord . facile de voir que ces deux intégrales comprennent des intégrales singulièies dont les valeurs sont précisément les parties imaginaires qui figurent dans les valeurs que nous avons obtenues.
£n second lieu, nous pouvons faire observer que les formules (a) et (3) conduisent à des intégrales reconnues exactes, tandis qu'il n'en est pas de même lorsqu'on y supprime la partie imaginaire.
Cela est facile à reconnaître : supposons que dans la formule (3) nous fassions a ==u ei que nous généralisions les deux membres nous aurons :
V sin yvdv G pp^n? = ïï ? (^ - f ^^^')'
en remplaçant G y-^-j 2 P*^ ^^ valeur formule (5) du § 17, il en résul-
tera :
formule donnée par Cauchy dont l'exactitude ne saurait être contestée.
It-
^^ Ayant remarqué que, dans plusieurs cas, quelques analystes s'étalent crus
1^ en droit de supprimer ainsi la partie imaginaire d'une intégrale, nous ne
^> pensons pas inutile d'insister en prenant un nouvel exemple qui corro-
borera l'observation que nous venons de faire. v
i En multipliant par dp les deux membres de Tinlégrale
cos vtdt Tz
[v et, en intégrant entre les limites o et o, nous obtenons :
f s'°P< d< jt / ,,v
en généralisant par rapport à p nous avons
/ ^^ ^ Fqr?^^ -T=— — i^(^>-"^(^-PS'^>
en supposant dans la formule {^) q = q y/ — i il en résultera :
/sin pt dt iz , . , ^
formule qu^on ne saurait réduire à
sin pi rf/ Tc . .
Ainsi que l'ont faitCaucby (p. 19,611) et Schlômicb(stud. 11. i5),caraînsi
l'on supprimerait l'intégrale singulière dont la valeur est -^ sin pq y/ — 1.
On peut d'ailleurs le reconnaître en généralisant l'équation (8) par rapport à^, on obtient en effet
<p(g -h joi y/ — I ) — cp(x — pt\/ — 1 ) dt
TTV/ —
-[?(^)--?(^ — ;3!7v^— rj.
formule que l'on déduit de régalité (6) en changeant q en q \^ — 1
GÉ\ÉRALt3AT)0N DES FOSCTIONS RATIONNELLES 4
§ 20. — Si nous généraliaoas, par rapport à a, ies deux membres c riotégrnle
nous ea déduirons en remarquaDt que
+ ç(a: T- / — 1 ) j rfw ^= .^ ç(x — a).
différoDliaut cette idéalité n fois par rapport & a, nous aurons en remplaçant *("' par ip
faisant a = o
Gela posé, la formule connue
nous donne en posant n =: "^ ■ ' et ( = C"
^'o ma" t'a
et en supposant mn H i = K, nous obtiendrons :
o tna w
mais comme à l'aide de cette identité
l'égalité (i) donnera la relation connue
cos —
ft»^"
§ 21, — En faisant la somme de la formule (7) du § 17 et de la formule (a) du § 19, nous obtenons :
d*autre part la formule (9) du § 9 donne
en faisant la comparaison de ces deux formules on déduit :
en posant dans cette égalité h = h \/^ — 1, nous aurons
cos yt? . Tc ( / — 1 g ^ y/^/ ~~ï -H g ^ y/y/^^i
que nous pouvons écrire, en remarquant que sjyj — 1 = -i. (i -f- / — 1) sous la forme
/„N I COS xin j icg hyl^i ay . aw
(a; / 4 . 'V. . dv = -7-5; — 7- ] cos r-7- -h sin 7-^
-*^ -h ÔV ôa' a /a ( * /a ô /a
GËNÉRALtSATlOH DES FONCTIONS nATIONNELLKS 47
Ea posant dans la rormule(i) V(ô) = 1 (e "!*' + «- î **'- ' /=t) nous pourroQS la mettre sous la forme
nouB en déduirons successivement
et ainsi de suite.
On pourra donc exprimer les valeurs des
§ 22. — La formule (9) du g 9 dous donne G
ne
en remplaçant l'intégrale / -^^^ di»par sa valeur donnée par la iormule (3) du § précédent, nous aurons
cela posé, ei dans l'intégrale connue / c " *' sin al dl = -.-? — nous iàiaons a ^ o', 6 = &*«', nous obtiendrons ;
re - "'"' sin n'idl = t-Ai-.
et par suite en généralisant
en remplaçant Ge - **'"* par sa valeur, il en résultera en faisant t = t*
e îPp sin a'
-+- <p(x — y »/ — i) I dy I g ÎPP sin a't»rfi
la comparaison de ces relations (i) et (2) donne en posant b = -/«
a va a \ & o /
Si, dans Tintégrale ^= 1 e^^ dt nous posons < = t — jp, nous
/iï e^* = 1 e*^* "" '* rf* et en posant jp = « v^â et en gé-
en déduirons
néralisant, nous obtiendrons :
en posant a=^ asj — 1 nous aurons :
G^uV-.iz=^» / [co8Hl+8inH^»/^]{<p(x+»)-»-?(r-r)| rfo
que nous pouvons écrire
G (cos aw* -H sin at^' v--T ) =
«rïwL^'^'
nous aurons ainsi :
'== — / (sint?* ait f "^
GcosaM'= — 1 (sint?'+cosr*) I <p(a?-i-2\/ar)=<p(x — 2/at;)|di;
Gsinaw'=— 1 (sinv*— cost?*) | f(x— a\/at?)-4-?(x— 2 v^ar) | rfw
en dégénéralisant ces deux formules et en posant ensuite a := y et u* = w, nous obtiendrons :
cosyu = 7i=- / e - =»v/W** (sin t?2 -f. cos t;2)rfu
