DIFF. NETTES

Le gain= 1 La pcrle=

l'rob.

Moyen.

en gain

en perle

2'S. — La méthode de formation de ce tableau n'e^^t pas difficile à saisir. Pour obtenir l'écart moyen de liquidation d'un nombre quelconque de jours, nous commençons par diviser le nombre des jours d'un mois, 30, par ce nombre de jours ; nous avons ainsi le rapport des temps ; nous prenons la racine carrée de ce rapport, et nous divisons l'écart moyen du mois, 1,55, par cette racine carrée. Pour l'écart moyen de liquidation d'un jour au suivant, nous trouvons 0, 28 cent. ; pour l'écart de deux jours, 0,40 cent.; pour l'écart de trois jours, 0,49 cent, etc.... En considérant que les écarts d'une bourse représentent les écarts d'un jour, et que se liquider dans une même bourse revient à une liquidation moyenne d'un demi-jour, nous trouvons que l'écart moyen de liquidation dans une même bourse est de 0, 20 cent. Afin de donner plus d'exactitude aux calculs qui vont suivre, nous avons pris quatre décimales. L'écart probable se forme de l'écart moyen en divisant celui-ci par 1,4 : nous nous sommes borné aux centimes, n'ayant pas besoin d'une plus grande approximation.

Les écarts n'établissent pas ici de distinction entre le comptant et le terme : les opérations peuvent en effet être tout aussi nombreuses et revêtir le même caractère au comptant qu'à terme ; mais les courtages ne pouvaient que se rapporter exclusivement aux opérations à terme, et ce sont du reste les moins élevés et les plus favorables au joueur.

La différence brute présentée par chacun des écarts mofens sur 1 500 fr. de rente est de — ou 500 fois cet écart : cette différeaice se réduit des courtag-es d'achat et

de vente en cari de gain, elle s'aug-inente du montant de ces courtig-es en cas de perte.

Pour trouver le rapport de la perte au g-ain, en représentant toujours le g*ain par l'unité, nous divisons la différence en cas de perte par la différence en cas de gain.

La loi qui détermine les différences brutes est trèssimple à comprendre. Selon qu'on se liquide habituellement à des époques plus ou moins longues, la différence présentée par l'opération est plus ou moins grande, et elle est en raison directe de la racine carrée du temps; si le temps est double, la différence s'augmente dans le rapport de 1 à 1/2, et il faut un temps quadruple pour que cette différence s'augmente du double.

Si maintenant, detoutes.ces différences ainsi obtenues, on retranche ou si on ajoute une même somme, telle que le courtage qui est invariable, on obtient deux différences nettes, une en gain, l'autre en perte, dont le rapport exprimé par la dernière colonne du tableau, est soumis à une certaine loi de décroissance qui est un rapport de puissances ou géométrique inverse du rapport aritlimétique des écarts.

Par exemple, l'écart moyen de liquidation de 4 jours donnant une différence brute double de la différence présentée par l'écart d'un jour, le rapport des différences nettes après prélèvement du courtage, pour une moyenne de 4 jours est de 1,3292, et devrait être la racine carrée du rapport pour un jour, qui est 1,7882.

Mais il se trouve que c'est entre 1,3372 et 1,3373 qu'est la racine carrée de 1,7882, et cette loi n'est donc pas rigoureusement exacte. Elle ne le devient que théorique-

ment sur des différences très-grandes, à mesure que diminue le rapport du courtage à la différence.

24. — Les mêmes lois de formation se continueraient d'ailleurs pour un temps au-delà de 30 jours, ou pour des fractions de jours, identiquement de la même manière. Seulement, dans le cas où l'écart de liquidation dépasse un mois, pour les opérations à terme et à découvert, il faut nécessairement tenir compte du courtage des reports.

Assez souvent même, une afiFaire liquidée à moins d'un mois de date, subit un report; et le report, considéré comme une opération simultanée d'achat et vente à deux liquidations différentes, est soumis à un courtage de 20 fr. ; il faudrait donc dans ce cas, ajouter ou retrancher de la différence brute, une somme de 40 + 20, ou 60 fr. de courtages. Si une opération est reportée sur dix, cela revient à augmenter d'un vingtième le courtag'e de chaque opération.

Celui qui se liquide le jour même, n'a qu'un seul courtage à payer pour les deux opérations d'achat et de vente. Il se trouve dans la position de celui qui se liquiderait tous les deux jours : l'avantage de ne payer qu'un courtage revient ici à celui d'avoir un écart double, pour le rapport de la perte au gain ; si celui qui se liquide le jour même, n'opérait jamais qu'au commencement et à la fin de chaque bourse, il se trouverait dans une situation presque aussi favorable que celui qui se liquiderait tous les quatre jours. Le joueur qui liquiderait toutes ses opéra-

tioiis du jour au lendemain, serait dans la position la plus désavantageuse de toutes.

La moyenne des temps de liquidation ne se calcule pas comme la moyenne des écarts. Les temps sont des surfaces, les écarts sont des lignes. Celui qui se liquiderait, par exemple, régulièrement, tantôt tous les deux jours, tantôt tous les huit jours, ayant d'abord 0,40 cent, d'écart moyen, et en second lieu 0,80 cent.; celui qui se liquiderait tous les cinq jours, c'est-à-dire dans un temps également distant de deux et de huit jours, aurait plus de 0,63 c. (voir au tableau). Pour trouver le tem/ps moyen qui correspond à l'écart moyen de 0,60 cent., il faut prendre la mo3^enne des racines carrées des temps, et l'élever au carré. Ici, on aurait J/ô + 1/8, o^^ 1,414 et 2,828, dont la moyenne, 2,121, élevée au carrée, donne 4,498. Celui qui se liquiderait tous les quatre jours et demi environ, serait dans la même position que celui qui se liquiderait tantôt tous les deux jours, et tantôt tous les huit jours.

Dans une suite d'opérations continuelle, le moyen d'obtenir d'égales différences dans un temps moindre, ou de plus grandes différences dans un temps égal, d'opérer par conséquent avec le moins de désavantage possible, ce serait de toujours laisser un temps égal employé à la liquidation de chacune de ses affaires. En effet, d'après ce que l'on vient de voir, les écarts doivent toujours augmenter à mesure que diminue l'irrégularité des temps. Dans toutes ses leçons, la nature nous enseigne que la situation la plus avantageuse est toujours la plus égale, et celle dont l'action se maintient entre de plus étroites limites.

25. — • On conclut souvent des paris sur le cours probable des valeurs à un moment donné, et comme ils ne sont soumis h d'autres règles que le caprice des joueurs, ceuxci ne se doutent pas que le pari n'est presque jamais équitable, puisque, dès le principe, ils ont chacun des chances très-inégales de le gagner.

C'est ce qu'il nous deviendra facile de vérifier à l'avenir.

Exemple : Supposons que la Rente soit aujourd'hui à 75 francs, et qu'il s'agisse de savoir ce qu'elle fera dans un mois, cours d'une même liquidation.

Elle a autant de chances d'être au-dessus qn'au-dessoîcs de ce cours, avec un écsivt plus petit ou phcs grand que 1 fr. 10 c. en hausse ou en baisse.

Ou pourrait donc parier îm contre im pour la hausse ou pour la baisse à volonté, ou pour un cours compris entre, ou ne dépassant pas les prix de 73 fr. 90 et 76 fr. 10, limites extrêmes de l'écart probable.

A trois mois de distance, comme l'écart probable est de 1,10 VT, — 1,90, il faudrait prendre les limites de 73 fr. 10 et 76 fr. 90.

A six mois de distance, comme l'écart probable est de 1,10 1/6, := 2,70, il faudrait prendre les limites de 72 fr. 30 et 77 fr. 70.

A un an de distance, comme l'écart probable est de 1,10 |/l2, = 3,80, on prendrait pour limites les cours de 71 fr. 20 et 78 fr. 80.

Mais si l'on voulait parier, par exemple pour un cours en hausse, comme il y aurait une probabilité- pour la hausse, et .;pour un écart plus petit ou plus grand que 1 fr. 10,

il ne taudmit tloimei' que , uu un contre trois pour le cours de 76 fr. 10, et il y aurait désavantage si le cours devait dépasser cette limite.

A mesure que l'écart devrait aug-menter dans un même temps, la probabilité diminuerait en raison du carré de l'écart.

Ainsi, on ne pourrait parier tout au plus que - ou un contre quatre, que le cours atteindra 1,10 i/ 1, 25 = 1,23? ou 76 fr. 23.

ou 1 sur 10 pour 1,10 1/2^ =1,74 ou 76 fr. 74 1,10 l/3;75-2,13 » 77 13 1,10 yir=^2AQ .) 77 46 1,10 1/6^^2,75 1,10 k' 72:5 =3,89 1,10 l/2r"=5,50 Dans des circonstances ordinaires, il y aurait donc désavantage à parier, par exemple, 1 contre 24 que la Rente au bout d'un mois sera à un prix quelconque, mais supérieur à 77 fr. 75, ou de parier 24 contre 1 qu'elle sera au-dessous de ce même prix, et il y aurait avantage de tenir les paris contraires.

Même chose pour les écarts en moins et pour les écarts en baisse.

Tous ces cours sont à une même liquidation, c'est-àdire qu'ils ne subissent pas l'influence du report ou de l'intérêt.

26. — Comme les écarts ne doivent être produits que par l'effet des seules causes accidentelles, il faudrait, si

les cours étaient à des termes différents ou au comptant, tenir compte du report, de l'intérêt semestriel, ou du détachement du coupon.

Exemple : La Rente étant aujourd'hui à 75 fr., au comptant, dans quelles limites son cours sera-t-il probablement contenu dans deux mois d'ici, jour pour jour, et au comptant ?

Il faut voir si le détachement du coupon se fait dans l'intervalle.

S'il ne se fait pas, il ne faut tenir compte que de l'intérêt semestriel ; or, cet intérêt représentant exactement 0,50 c. pour deux mois, j'ajoute cet intérêt au prix de 75 fr., et j'ai 75 fr. 50. Je calcule l'écart probable pour deux mois, il est de 1,10 ^^2" = 1,55 à 1,56; j'ai par conséquent les limites de 73 fr. 94 et 77 fr. 06, entre lesquelles il y a une probabilité égale à - que le cours sera contenu.

Si le détachement du coupon a lieu dans l'intervalle de ces deux mois, j'observe que, indépendamment de l'intérêt, le détachement du coupon, qui est de 0,75 cent. ('), doit diminuer d'autant le prix, et que ces deux causes réunies donnent une baisse de 0.25 cent. Je retranche 0,25 cent, du cours de 75 fr., et j'opère comme ci-dessus, ce qui me donne les limites de 73 fr. 19 et 76 fr. 31.

Tous les trois mois, la Rente se retrouvant dans des conditions identiques, l'écart doit toujours se calculer directement pour des échéances de trois mois, six mois, un an, ou multiples de trois mois.

(^) Depuis la conversion du 4 1/2 en 3 0/0, l'inttirêt delà rente est devenu trimestriel, et le coujjon se dctnche à la Bourse le 16 des mois de mars, juin, septembre et dt'comhre.

27. — Jusqu'ici, nous nous sommes occupé exclusivement de la Rente, parce que c'est la valeur de prédilection de la spéculation, et cette préférence, elle la doit à l'étendue de son marché et aux facilités de négociation qu'elle présente ; cependant le jeu ne s'exerce pas uniquement sur la Rente.

Ici se présente naturellement la question de savoir si les chances ne sont pas plus avantageuses sur quelqu'une de ces autres valeurs de spéculation.

Pour en faire la comparaison, il faut remarquer :

1° Que le courtage est plus élevé sur ces valeurs, et au lieu d'être fixe, est proportionnel aux prix d'achat et de vente.

2° Que les écarts moyens sont, selon la valeur, plus ou moins grands pour un même espace de temps.

Commençons par constater, à propos de la différence des courtages, qu'il y a toujours une certaine relation entre le temps moyen de liquidation d'une affaire et le taux du courtage qu'elle supporte. Combien de joueurs liquident une opération dans la bourse du même jour, au lieu d'attendre au lendemain, uniquement pour n'avoir qu'un seul courtage à payer ! Qui sait si tel qui reste huit jours sur une affaire ne la liquiderait pas au bout de deux jours, si on réduisait les courtages de moitié?

Toute diminution de courtage doit amener, chez le joueur, une liquidation plus active de ses opérations ; la moyenne dehquidation devait être autrefois, dans la coulisse, inférieure à celle du parquet; ce qui le prouve, c'est que les cours cotés s'y fractionnaient; le parquet luimême, pour avoir réduit le courtage de la Rente de 25 à

20 fr., a dCi descendre la cote des cours de cinq à deux centimes et demi.

Ce qui serait gagné d'un côté, serait donc perdu de l'autre.

Lorsque sur des valeurs différentes, le courtage n'est pas le même, il s'établit dans la manière dont se liquident les opérations sur chacune, une certaine compensation qui tend à rétablir l'équilibre.

On pourrait en dire autant de la grandeur des écarts. Les opérations faites sur le Crédit Mobilier se liquident beaucoup plus rapidement, à des intervalles de temps beaucoup plus rapprochés que les opérations sur le Midi, le Nord, l'Ouest, et toutes ces autres valeurs pour lesquelles les variations sont relativement faibles.

Il n'y aurait d'avantage relatif à spéculer sur le Mobilier plutôt que sur la Rente ou toute autre valeur, que si le joueur qui garde ses positions un certain temps sur la Rente-, les conservait un temps égal sur le Mobilier.

Mais au lieu de faire une opération tous les jours sur le Mobilier, qui empêche le joueur de n'en faire une que tous les deux jours sur la Rente?

On répondra qu'il faut des émotions vives et variées au joueur, des différences de perte et de gain se produisant rapidement, la fortune ou la ruine dans le moins de temps possible, et que rien n'est long comme l'attente. C'est aussi ce raisonnement qui porte instinctivement le joueur sur les valeurs qui, par la nature de leur constitution, l'incertitude de leurs produits, offrent le plus de part à l'incertain et présentent de plus grandes différences dans un même temps.

Mais sur la Rente, comme sur le Mobilier, comme sur toutes les autres valeurs, le spéculateur est toujours libre de /aire son jeic, de choisir à sa g*uise le rapport des chances favorables et contraires. La seule chose que le joueur ne puisse jamais faire, c'est de rendre ces chances égales. On pourrait, pour toutes les valeurs de spéculation autres que la Rente, établir des tableaux d'écarts comme celui que nous avons donné plus haut (parag\ 21), et, parleur comparaison, enverrait clairement que si, en opérant sur des quantités ég-ales ou équivalentes, eu ég-ard au montant des capitaux, le rapport des chances est différent pour un même temps, tout se réduit, pour rendre les chances identiques, à choisir convenablement un l'apport de temps dans la moyenne de liquidation.

28. — Une autre considération qui se présente au sujet de la grandeur et de la fixité des écarts, c'est que les marcMs affiriie, offrent le moj'en de faire des opérations avec des écarts beaucoup plus grands que pour les affaires fermes. 11 est nécessaire d'ex})liquer succinctement ce qui a donné naissance à ces opérations, et en quoi elles consistent.

A la Bourse, dans les opérations ordinaires, la perte ou le gain possibles sont complètement indéterminés. C'est là un trait distinctif des autres jeux, qui est loin d'être ici à l'avantage du joueur. On sait bien qu'en opérant sur 1 500, on risque moitié moins que sur 3 000, mais on ignore encore ses risques. Qui dit, lorsque le joueur se promet de liquider au-dessous de telle perte, qu'il en aura le

temps avant que cette perte soit décuplée? C'est pour parer à cet inconvénient que l'on a imaginé le système des opérations à prime, où cependant il n'y a que l'un des deux contractants qui puisse limiter sa perte.

La Eente est à tel prix. Je veux acheter, mais en même temps me prémunir contre une baisse qui dépasserait toutes mes prévisions; je stipule alors que, à une époque fixée d'avance, j'annulerai mon marché moyennant l'abandon d'une certaine somme, si cela me convient; la somme que je peux perdre s'appelle prime^ et c'est à l'époque fixée que se fera la réponse des primes.

Cet avantage, on le comprend, doit être payé par quelque chose, et la rente que j'achèterai dans ces conditions, sera toujours plus chère que la rente ordinaire ; l'aug-mentation du prix dépendra de deux circonstances : le montant de la prime et l'époque de la réponse.

Les primes en usage sur la rente 3 %, sont de 1 fr. 0,50 cent., 0,25 cent, et 0,10 cent, du prix de la rente, à multiplier par conséquent par le tiers des quotités sur lesquelles on opère : sur les actions, la prime est de 10 fr. par action.

La réponse a lieu à la fin de chaque mois pour toutes les valeurs ; mais il y a encore une réponse au 15 pour les actions, et les primes de 0,10 cent, sur la rente se répondent du jour au lendemain ou au surlendemain, etc. Les primes donnent lieu à une foule de combinaisons, où se vantent d'exceller les habiles, d'opérations à primes contre primes , de primes contre ferme, pour des primes de différentes espèces et de différentes quotités.

29. — Au point de vue du calcul des chances , le marché à prime, tel qu'il est en usage à la Bourse ('), est une affaire dans laquelle l'un des deux contractants, l'acheteur , limite sa perte , et l'autre , le vendeur , limite son bénéfice , en aug-mentant les probabilités de perte ou de bénéfice. De là vient que plus la prime est petite, c'està-dire, plus la perte ou le bénéfice sont limités, plus elle est chère, c'est-à-dire, plus les probabilités de perte ou de bénéfice sont augmentées ; plus la réponse est éloignée et permet d'espérer ou de craindre un plus g-rand écart qui augmente le bénéfice ou la perte, plus encore la prime sera chère.

Dans l'affaire à prime le joueur fait donc varier un des facteurs qui exprime la perte ou le gain, en faisant varier proportionnellement l'autre facteur qui exprime la probabilité de cette perte ou de ce gain ; mais les produits decesdeuxfacteursdoiventtoujoursêtreégaux(parag. 14). Le cours des primes est surtout influencé par l'état présent du marché qui laisse entrevoir de plus ou moins grandes variations dans un temps rapproché ; mais comme ce cours n'est déterminé en définitive, comme celui du ferme, que par l'offre et la demande régulières , l'ég-alité relative n'est pas altérée, et il ne peut jamais y avoir d'avantage absolu à opérer sur primes.

Si l'acheteur à prime limite sa perte , il en augmente

(1) Au Stock-Exchange de Londres il se négocie encore des primes {options) qui engagent raclicteur à recevoir livraison du vendeur (put): le montant de l'écart est alors à diminuer du prix ferme; ou qui permettent d'exiger la livraison ou le paiement à volonté d'une cert-iine quantité de rentes à un prix déterminé [inU and call).

les cliduces, et s'il réalise parfois un bénéfice de quelque importance, ce bénéfice est toujours payé par l'abandon de plusieurs primes ; le vendeur, par contre, en aug-mentant ses chances de bénéfice, les limite dans une égale proportion.

Les primes n'ont d'autre utilité que de varier un peu les combinaisons trop arides du jeu simple à la hausse ou à la baisse.

Mais le prix des primes n'est pas seulement déterminé par la probabilité mathématique , il est encore influencé par un élément entièrement étranger au calcul, qu'on pourrait a\^])e\eY moral, surtout s'il se produisait dans un meilleur but, qui est la certitude pour l'acheteur que sa perte ne dépasserajamaisun certain taux, certitude qui n'existe nullement dans les opérations ordinaires.

Si la Rente étant à 75 fr., j'achète dans des circonstances ordinaires à 76 prime dont un, à un mois de date, je puis voir assez exactement que, en cas de baisse, c'est-à-dire dans le cas où le prix serait au-dessous de celui de 75 fr, au moment de la réponse, je perds ma prime, 1 fr.; en cas de hausse, l'écart moyen de la rente étant 1,55, je gagme 1,55 — 1, ou 0,55 : je gagne de plus tout ce que je pourrai sauver de ma prime, ce qui est représenté par la probabilité que la rente se trouvera entre 75 et 76 fr., au moment de la réponse, à un certain écart moyen de 75 fr., et qui me donnera approximativement 0,30 cent. ; j'achète donc un peu plus cher que je ne devrais, je paie 1 fr. ce qui ne vaut mathématiquement que 0,85 cent, environ ; mais qui peut préciser en francs et centimes ce que vaut la tranquillité

d'esprit morale, dont je jouirai dans le courant du mois, en présence des plus brusques variations de la valeur, conservant presque toutes les émotions du gain, et ayant détruit d'avance celles de la perte, parle sacrifice anticipé de la prime ?

Voilà donc une cause constante qui tend à élever le prix des primes au-dessus de sa valeur mathématique, de telle sorte que le joueur qui n'achèterait jamais que des primes, tout en réalisant parfois des gains assez considérables, et en tout cas infiniment i)lns calme et moins tourmenté que le vendeur qui, pour un petit gain, s'expose à une perte considérable, doit cependant, en dehors des courtages qui suffiraient toujours à le constituer en perte, se trouver inévitablement en déficit au bout d'un grand nombre d'opérations.

Cette même cause fait encore qu'une petite prime est relativement plus chère qu'une grande, et qu'une prime à quinze jours, par exemple, est relativement moins chère qu'une prime à un mois.

30. — En dehors de ces restrictions, quelquefois assez légères, la loi qui gouverne les écarts des primes, ou la différence entre leurs prix et ceux du ferme, est bien évidemment une loi analogue à celle qui régit les écarts du ferme.

Par rapport à une autre, et à une même réponse, Vè~ cart d'une prime est en raison inverse des racines carrées des deux primes.

Une prime de 1 fr. valant 1 fr. d'écart, une prime de

0,50 c. vaudra uwpeicphis de ^2" ou 1,40 'd'écart, une

prime de 0,25 c. un peu plus de j/ï" ou 2 fr. d'écart;

une prime de 0,10 c. un peu plus de [/ÏÔ, ou 3,16 d'é-

cart; une prime de 2 fr. aurait un peu moins de j~r= ou

de 0,70 c. d'écart.

Par rapport à elle-même, V écart cVune prime est en raison directe de la racine carrée des temps qui la sépo.rent de la réponse.

Une prime de 1 fr. valant 1 fr. d'écart à un mois de date, vaudra, dans les mêmes circonstances, îin peu moins de

ou 0,91 c. d'écart à 25 jours de date.

Vf

Dans ce dernier cas, la diminution est vraisemblablement proportionnelle au temps, c'est-à-dire que si on peut établir que la différence entre l'écart mathématique et l'écart réel est primitivement de 0,30 c, cette différence ne sera que de 0,25 c. à 25 jours, 20 c. à 20 jours, 15 c. à 15 jours, etc.

En définitive, un joueur qui n'opérerait jamais que sur les primes, à la condition cependant de vendre et acheter ég'alement, et un autre qui n'opérerait jamais que sur le ferme, obtiendraient au bout de l'année des résultats iden-

tiques, puisque les deux g-enres d'opérations sont g-revées des mêmes droits de courtages. Toute la différence serait que la compensation se ferait pour ce dernier entre de plus grandes sommes, et pour le joueur à prime entre de plus petites sommes de gains et de pertes.

Comme il serait indifférent à celui qui achète ou vend à prime, d'acheter ou vendre ferme pour le résultat dernier de ses opérations, dans un grand nombre de coups, il doit être indifférent, dans l'estimation des chances, de confondre également les deux opérations en une seule.

31. — Lorsqu'il existe une inégalité quelconque dans les conditions initiales d'un jeu, cette inégalité s'accroît rapidement et dans d'énormes proportions par la fréquence ou la répétition des coups ; c'est cet accroissement qui amène infailliblement, dans un temps donné, la ndne du joueur.

Pour rendre cette démonstration sensible, nous choisirons un joueur n'opérant que sur 1 500 fr. de rente, et se liquidant avec un écart constant de 0,40 c, c'est-à-dire réalisant sa perte ou son bénéfice chaque fois avec une différence de 0,40 centre ses prix d'achats et de ventes. Nous supposons que toute opération d'achat ou de vente paie courtage.

Chaque fois qu'il sera en bénéfice, il recevra 1(50 fr.; chaque fois qu'il sera en perte, il aura à débourser 240 fr.

Ces deux nombres sont dans le rapport de 2 à 3.

Ce joueur peut se considérer comme ayant affaire à un adversaire invisible dont les chances de gain et de perte

sont l'inverse des siennes ; chaque fois qu'il gagne 2 ou qu'il perd 3, son adversaire perd 2 ou gagne 3 ; rien n'empêche ces deux joueurs de rétablir l'égalité des mises et de stipuler que chacun d'eux gagnera à l'avenir une somme ég-ale, en faisant varier les chances de la gagner dans la proportion de 2 à 3, les conditions du jeu laissant chacun dans une situation aussi favorable ou défavorable qu'auparavant.

Les probabilités - de gagner 2 ou de perdre 3 sont mathématiquement égales aux probabilités - contre ^ de gagner ou perdre une même somme représentée par ?— t^ 2 '/2. En effet, les produits du gain et de la perte sont égaux dans les deux cas.

Nous pourrons, par ce moyen, nous rendre compte des chances qu'aurait un individu de perdre ou de gagner une même somme déterminée d'avance, de se ndner ou de douhler seulement sa fortune à la Bourse, cliances qui doivent toujours être égales dans un jeu égal.

Le joueur qui opère sur 1 500 fr. de rente avec un écart constant de 0,40 c. est dans la même position que s'il jouait une mise de 200 fr. à perdre ou à gagner à chaque coup, avec une chance de la gagner et une chance et demie de la perdre.

Si chacun ne risque que 200 fr., les chances de g-ain et de perte seront indiquées par ce rapport, et si longtemps que le jeu se prolonge, les chances, à chaque partie isolément., resteront dans le rapport primitif.

Mais ce serait une grande erreur de penser que

si le jeu se continue, les chances de chacun pour gagner un certain nombre de mises, de ruiner son adversaire, si le jeu se continue indéfiniment, resteront dans le rapport des chances à chaque partie.

Si l'enjeu dont chacun dispose est de 400 fr., ou s'il s'agit seulement d'avoir deux parties de plus pour terminer le jeu, il peut se faire que plusieurs parties soient jouées avant que le jeu soit terminé; mais rejetant toutes celles qui font une balance de perte et de gain, et qui ne servent qu'à prolonger la partie, il suffit, pour se rendre compte des probabilités de chacun, de comparer les chances qu'a chacun de gagner deux parties de suite. Or, les chances étant l'unité pour le premier, et 1,5 pour le second, en multipliant ces chances par elles-mêmes, on a toujours l'unité pour le premier, et 1,5 au carré ou 2,25 pour le second.

Le gain étant toujours exprimé par une chance, parce que 1, élevé à n'importe quelle puissance, donne toujours 1, les chances de perte du joueur défavorisé seront donc successivement, si chacun dispose de :

1 000 fr. 1,5 % ou 7 à 8

Tandis que le joueur favorisé n'ayant jamais qu'une chance de perte, ses chances de gain seront évidemment données par les chances de perte de son adversaire.

Il est facile de voir que chacun de ces nombres se forme du précédent en le multipliant par un facteur constant qui est ég-al au premier nombre, c'est-à-dire que les chances de perdre 1 000 fr. étant données, les chances de perdre un certain nombre de fois 1 000 fr. sont le produit du nombre des chances de perdre 1 000 fr. multiplié successivement autant de fois par lui-même.

En général, les chances de deux joueurs, pour gagner un même nombre de mises, sont dans le rapport des chances primitives de chacun élevées à la puissance représentée par le nombre des mises (').

33. — Il devient évident dès lors que la probabilité de se ruiner, comparée à celle de doubler seulement sa fortune, dans un jeu inégal, dépend essentiellement du rapport de la mise, à chaque coup, à la fortune totale.

Celui qui, possédant seulement 1000 fr., n'opérerait jamais que sur 1500 fr. de rente, avec un écart constant de 0,40 c. à perdre ou à gagner, aurait une chance pour gagner contre 1,5^ chances pour perdre, c'est-à-dire qu'on pourrait parier de 7 à 8 contre 1 qu'il se ruinera avant d'avoir doublé son capital.

Le résultat ne changerait pas pour celui qui, avec un

{^) Voir la solution du 5« problème d'Huygliens, parBcrnouUi, Montmort, Moivre, etc.

capital de 2000fi'., opérerait sur 3 000 fr. de rente, avec un capital de 4000 fr., opérerait sur C 000, ou avec un capital de 10 000 fr. opérerait sur 15 000.

Mais si celui qui ne possède que 1 000 fr, faisait une seule opération sur 7 500, ses chances deviendraient dans le rapport des différences nettes, 800 et 1 200, ou comme 1 àl,5, tandis que si celui qui possède seulement 10 000 fr. n'opérait que sur 1500 fr. de rente dans les mêmes conditions, il aurait, pour une chance de doubler son capital, 1,5^°, ou plus de 637 millions de chances de se ruiner.

Ainsi, pour un même écart de liquidation, en augmentant et faisant varier le rapport de la somme risquée à la fortune totale, soit qu'on diminue les quotités d'opérations, soit qu'on considère des fortunes de plus en plus grandes, soit enfin qu'on combine ces deux causes, la probabilité de se ruiner, comparée à celle de doubler sa fortune, peut prendre des proportions de plus en plus faibles ou de plus en plus considérables.

Si l'on considère des quotités égales d'opérations, on peut rendre les probabilités aussi grandes ou aussi petites que l'on veut, en faisant varier les écarts de liquidation et les fortunes, ou les sommes qu'il s'agit de perdre ou gagner.

Exemple : Supposons un joueur n'opérant jamais que sur 3 000.

Pour rendre ses chances de perte les plus petites possible, on diminuera indéfiniment les sommes qu'il s'agit de perdre ou g-agner, et on augmentera les écarts.

S'il ne faut seulement que gagner 2000 fr. en opérant avec un écart de 2 fr., les chances sont dans le rapport

— Iodes différences présentées par une opération unique, comme 1 920 à 2 080, ou 1 à 1,083.

Pour rendre les chances de perte les plus grandes possible, on augmentera les sommes qu'il s'agit de perdre ou gagner, et on diminuera les écarts.

S'il faut gagner ou perdre 40000 fr., en opérant avec des écarts de 0,40 c, on a déjà un nombre de chances de perte égal à 1,5'°", ou composé de 18 chiffres.

Si l'on considère des sommes ou des fortunes égales, on peut rendre de même les probabilités aussi grandes ou aussi petites que l'on veut, en faisant varier les écarts de liquidation et les quotités moyennes d'opérations.

34 — Les calculs précédents se rapportent à un écart de liquidation constant, restant toujours le même. Mais, en réalité, on ne trouve peut-être pas de joueur qui se liquide constamment avec un écart invariable de perte ou de bénéfice; quand même il le voudrait, il ne serait empêché par l'irrégularité des cours.

L'écart de liquidation est donc essentiellement variable.

Si cependant cet écart ne variait que d'une manière parfaitement régulière et continue, ce qui ne pourrait avoir lieu que si l'écart probable et l'écart moyen se confondaient entièrement (parag. 21), toute différence dans un écart serait rigoureusement compensée par une différence opposée ; les probabilités, variables pour chaque affaire isolément, seraient ramenées à l'équilibre sur un ensemble d'opérations.

On doit comprendre que c'est le raffort de l'éccUt probable à l'écart moyen qui modifie ces probabilités.

En effet, si le mouvement des cours est irrégulier, la compensation des écarts fortuits ne se fera plus aussi bien, et ils auront une tendance à se manifester toujours du même côté, circonstance qui est à l'avantage du joueur, puisque les différences que ses opérations peuvent présenter seront d'autant plus grandes que la compensation des écarts se fera moins bien.

Pour deux différences égales et indépendantes, il n'y a jamais qu'une probabilité \ de les voir se rencontrer dans le même sens ; mais si, pour une différence nulle, le montant de deux différences se rencontre à coup sûr du même côté, si l'écart probable est moitié de l'écart moyen, les chances du joueur, beaucoup moins défavorables pour une même somme, redeviennent cependant les mêmes que si l'écart était régulier, dès qu'on suppose doublée la somme qu'il s'agit de perdre ou gagner.

On pourra toujours tomber sur les mêmes probabilités, quelle que soit l'inégalité des cours, en multiplùuit les premières sommes par le rapport des écarts.

35. — A la Bourse, nous le savons, le rapport des écarts est de 1 à 1 ,4.

Le tableau suivant présentera donc les chances de perdre ou gagner un capital de 10 000 fr. à la Bourse, en supposant des écarts constamment égaux aux écarts moyens, de perdre ou gagner en réalité ime même somme qui, jwohahïement^ ne dépassera pas 14 000 fr.