FRANCS

r.nin, les chances de Perte sont représentées par les qu'on opère sur des quotités moyennes de :

86. — Les trois colonnes de gauche présentent : la première, le temps mo3^en de liquidation ; la seconde, la différence brute sur J 500 fr, de rente; la troisième, le rapport de la perte ou gain sur cette difîerence : ces trois colonnes sont la reproduction des première, quatrième et dernière colonnes du tableau des différences (parag. 22).

Pour trouver les nombres de la colonne qui suit, exprimant le nombre des chances de perte pour une de gain, en n'opérant jamais que sur 1 500, on divise la somme qu'il s agit de perdre ou gagner, 14 000, d'abord par 1,4, ce qui donne constamment 10 000, puis on divise 10 000 par les nombres de la seconde colonne, et le quotient indique le nombre probable d'opérations ou de coups qu'il faudra jouer; on élève ensuite la chance de perte à chaque coup à la puissance re}!résentée par le nombre total des coups, et comme la chance de gain reste toujours l'unité, qui élevée à quelque puissance que ce soit, est toujours l'unité, le dernier nombre obtenu indique, pour une chance de gain, quel est le nombre définitif des chances de perte.

Pour trouver le nombre des chances de perte, si on opère sur des quotités moyennes de 3000 fr., 6 000 fr., 12 000 fr., 30000 fr. de rente, etc., on multiplie les nombres de la seconde colonne par 2, par 4, par 8, par 20, puisque 1 500 est compris autant de fois dans ces diverses quotités, et on opère sur les produits comme précédemment.

La colonne qui donne le nombre des chances de perte quand on opère sur 1 500, pour une somm.e de 14 000 fr. donnera ép-alement les chances de perte, si on opère

Sur 3 000, pour une somme de 28 000 fr. » 6 000, » 56 000

ou sur des quantités directement proportionnelles aux sommes qu'il s'agit de gagner.

Les chances de perte pour une somme de 1 4 000 f r. quand on opère sur 3 000, seront les mêmes

Sur 1500, pour une somme de 7000 fr. » 6 000, » 28000

Les chances de perte pour une somme de 14 000 fr. quand on opère sur 6 000, seront les mêmes

Sur 1500, pour une somme de 8500 fr. » 3000 » 7000

Les chances de perte pour une somme de 14 000 fr. quand on opère sur 12 000, seront les mêmes,

Sur 1 500, pour une somme de 1 750 fr. » 3 000 » 3500

Les chances de perte pour une somme de 14000 fr. quand on opère sur 30 000, seront les mêmes,

Sur 1 500, pour une somme de 700 fr. » 3 000 » 1400

37. — Le joueur qui n'opérerait jamais que sur 1 500 fr. de rente, et liquiderait chacune de ses opérations dans la même bourse, pour une chance de gain qu'il aurait de gagner une somme probable de 14 000 fr., aurait un nombre de chances de perte exprimé par dix-Jmit chiffres.

Celui qui, n'opérant jamais que sur 1 500, liquiderait toujours le lendemain chacune de ses opérations, aurait un nombre de chances de perte exprimé par le même nombre de chiffres, mais encore plus considérable, 689 000 000 000 000 000, approximativement.

Ce dernier nombre est compris entre la 59'' et la 60^ puissance de 2.

La probabilité qu'il y aurait de gagner seulement 14 000 francs dans ces conditions, est plus faible que la probabilité qu'il y aurait de retirer une à une, d'une urne composée d'une iniînité de boules blanches et noires en quantités égales, 59 boules blanches de suite.

Ce sont là de véritables impossibilités.

Quand même on pourrait faire dix mille expériences ou dix mille tirages par jour, un événement de ce genre ne se présenterait pas une fois en un milliard de siècles.

Les chances de gain et de perte sur une même somme restant constamment les mêmes, la somme qu'il s'agit de gagner ou perdre, égale à 14 000 fr. environ dans des circonstances ordinaires, peut varier dans des limites très-étendues qui dépendent principalement des conditions exceptionnelles de la spéculation.

Ainsi, dans les moments de marasme et de stagnation, alors que les variations dans les cours sont insignifiantes, cette somme sera nécessairement moindre, et si les varia-

tions diminuent, par exemple, de moitié, les mêmes probabilités se présenteront sur une somme quatre fois moindre.

Au contraire, dans les moments où la spéculation sera beaucoup plus active, et les variations plus grandes, cette somme devra être plus élevée, et si les variations augmentent du double, les mêmes probabilités ne se présenteront que sur des sommes quatre fois plus grandes, en divisant ou multipliant toujours les sommes par les carrés du nouveau rapport des variations.

Quelque g-randes et quelque irrégulières que soient les variations, non-seulement ou pourra toujours trouver des sommes assez fortes pour rétablir le rapport des chances, mais on j)OîLrTa toicjours trouver des sommes assez fortes 'pour que, dans tous lescas^ les chances de perte deviennent infiniment grandes.

Il n'est pas inutile de faire observer que l'intérêt permanent du joueur est de voir augmenter l'écart des variations, et en même temps de voir augmenter le rapport qui lie l'écart probable à l'écart moyen : ces deux conditions dans lesquelles il diminue le plus ses chances de perte, sont précisément celles qui apportent le plus de trouble aux affaires et qui nuisent le plus aux véritables transactions.

38. — La fortune d'un joueur étant donnée, ainsi que ses quotités moyennes d'opérations et son écart moyen de liquidation, il devient possible maintenant de déterminer ses chances de perte et de gain, et ce que l'on

pourrait parier qu'il perdra une certaine somme avant de la gagner, qu'il se ruinera avant d'avoir doublé sa fortune. Il faut pour cela :

1° Calculer la différence produite par l'écart de liquidation sur la quotité moyenne d'opérations.

2° Diviser par 1,4 le montant de la fortune totale, ou la somme qu'il s'agit de perdre ou gagner, et diviser le quotient par cette différence.

3" Elever le rapport de la perte à l'unité pour gain, à chaque opération, à la puissance donnée par le dernier quotient, ce qui devient très-facile avec une table do logarithmes.

Exemple : Un joueur possède 70 000 fr; il opère toujours sur 15 000, ou sur des quotités qui donnent 15 000 fr. de rente pour la moyenne de chaque opération, et il se liquide dans des temps qui donnent 0,40 c. pour l'écart moyen de chacune.

L'écart de liquidation donne une différence de 2 000 fr. pour 15 000 de rente.

S'il ne s'agit que de gagner 10 000 fr., je divise 10000 par 1 ,4, ce qui donne 7 143, et je divise cette dernière somme par 2000, ce qui donne 3,5715.

En cas de gain, la différence 2 000 se réduit de 400 fr. de courtages, et devient 1 600 ; en cas de perte, elle s'augmente d'autant, et devient 2400.

Le rapport de la perte au gain pour unité étant ^^ ou 1,5, j'élève ce rapporta la puissance 3,5715, ce qui donne 4,25.

On pourrait parier plus de 4 contre un que le joueur perdra 10 000 fr. avant de les gagner.

On trouverait de la même manière que l'on peut parier :

18, 10, ou plus de 18 contre 1 qu'il perdra 20 000 fr. avant de les gag-ner.

159 contre 1 qu'il perdra 35 000 fr. avant de les gagner.

1395 contre un qu'il perdra 50 000 fr. avant de les gagner.

25 251 contre 1 qu'il sera complètement ruiné avant d'avoir doublé sa fortune.

Tous ces nombres pourraient encore se déduire les uns des autres, en élevant chacun à la puissance représentée par le rapport de l'augmentation des sommes.

39. — On trouve certainement peu de joueurs qui observent une si grande régularité dans leur jeu, qu'ils n'opèrent que sur des quotités égales, encore moins avec des écarts égaux ; mais quelque variées que soient leurs opérations et leurs écarts, elles sont toujours ramenées d'une manière très-simple aux moyennes que représen tent toutes les quantités, et il serait complètement indifférent aux joueurs, surtout sur un grand nombre d'opérations, d'opérer exclusivement sur ces moyennes ; le contraire supposerait que les plus grands écarts s'appliqueront toujours aux plus fortes quantités, ou toujours aux plus faibles, ce qui formerait un système préconçu que rien ne peut motiver, et nullement admissible.

Toutes les combinaisons imaginées par un joueur consistant à aug*menter ou diminuer la quotité de ses opérations, à augmenter ou diminuer le temps de liquidation de ses affaires et ses écarts, à opérer sur telle ou telle

valeur, ont pour effet de faire varier incessamment ses chances de gain et de jperte, de les augmenter ou diminuer dans des rapports variables, mais seulement en raison de la somme dont il dispose pour alimenter son jeu, et ces rapports ne font qu'osciller autour des rapports fixes déterminés de la manière qui précède.

Pour connaître ces moyennes, dont la détermination est la seule chose importante, le plus simple est de remonter à l'observation des opérations antérieures, et rien n'est plus facile que de calculer sur les comptes d'un joueur les moyennes des écarts et des quotités de ses opérations; seulement il faut observer que, pour que l'on puisse compter deux courtages sur les moyennes obtenues, il faut, pour toutes les opérations où il n'y a qu'un courtage à payer, doubler les écarts, et diminuer de moitié la quotité des opérations, ce qui revient à peu près à multiplier les écarts par I/2".

Souvent un joueur systématique se trace un plan dont il ne s'écartera pas pour la conduite de ses opérations ; dans ce cas, il lui est possible de calculer exactement ses chances avant d'avoir engagé une seule affaire.

40. — Beaucoup d'autres questions, du genre de la précédente (parag. 38), pourraient être résolues, mais elles sont plutôt du ressort de la théorie que d'une application suivie.

On pourrait, par exemple, demander ce qu'il y a à parier qu'un joueur sera ruiné avant d'avoir gagné telle somme déterminée d'avance.

On pourrait encore demander quelle somme on peut parier, à ég-alité de chances, qu'un joueur g-agnera ou ne g'agnera pas avant d'avoir perdu telle autre somme déterminée d'avance.

Comme la démonstration des règles au moyen desquelles on peut résoudre ces calculs est longue et laborieuse, qu'elle nous écarterait du plan que nous nous sommes tracé, nous laissons à la pénétration du lecteur le soin de les découvrir, et nous nous bornerons à énoncer les résultats dans un cas précisé , celui que nous venons de prendre, d'un joueur qui, possesseur de 70 000 fr., opère sur 15 000 avec un écart moyen de 0,40 cent.

Au sujet de la première question, on pourrait parier :

3,25, ou plus de 3 contre 1 que ce joueur sera ruiné avant d'avoir gagné 10 000 fr.

17,11 , ou plus de 17 contre 1 qu'il sera ruiné avant d'avoir gagné 20 000 fr.

158 contre un qu'il sera ruiné avant d'avoir gagné 35000fr.

1 394 contre un qu'il sera ruiné avant d'avoir gagné 50 000 fr.

41. — Au sujet de la seconde question, on pourrait parier un contre un ou à égalité de chances :

Qu'avant d'avoir perdu 10 000 fr. , ce joueur n'aura pas gagné une somme dépassant 3 925 fr.

Qu'avant d'avoir perdu 20 000 fr., il n'aura pas gagné une somme dépassant 4 591 fr.

Qu'avant d'avoir perdu 35 000 fr. , il n'aura pas g'ag-né une somme dépassant 4 769 fr.

Qu'avant d'avoir perdu 50 000 fr., il n'aura pas ^agné une somme dépassant 4 784 fr.

Enfin, qu'avant d'être ruiné, il n'aura pas gagné une .somme de plus de 4 787 fr.

Toute la fortune du joueur qui opère dans ces conditions, est l'équivalent d'une somme de 4 787 fr.

Dans cette question, les sommes que peut posséder le joueur n'augmentent plus sensiblement au-delà d'un certain chiffre, les probabilités qu'il peut avoir de gagner une somme déterminée ; car dans l'exemple présent, quand même il posséderait 100 millions, on pourrait encore parier un contre un qu'il ne sera jamais en gain de plus de 4 788 fr.

Les quotités d'opérations ag-issent dans une mesure plus étendue et plus uniforme sur ses gains probables, et si avec une fortune de 70 000 fr. et des écarts moyens de 0,40 cent. , il quadruplait les quotités sur lesquelles il opère en les élevant à 60 000, on ne pourrait pas parier plus de 1 contre 1, que ses gains ne dépasseront pas 18 832 fr.

Mais c'est surtout l'augmentation des écarts qui favoriserait le joueur : et s'il quadruplait les siens, en opérant sur 15000, avec 1 fr. 60 d'écart, ou ne pourrait pas parier plus de 1 contre 1 que ses gains ne dépasseront pas 42 784 fr.