H h— h= lu
En désignant les erreurs réellement commises par ^,, e. g., e. o on a donc
Quels que soient les facteurs À,, Ao, A3, le trinôme
(2û) X, /«jf -r- X2//I ^ Xs/tlAj
est connu.
Ce trinôme est une fonction homogène du second degré des erreurs e,, eo, ^3, e^, e,,, et, si l'on nomme m^ la valeur probable du carré de Tune de ces erreurs, celle du produit de deux d'entre
2'-4 CALCUL DES PROBABILITES.
elles étant nulle, on trouvera pour valeur probable de l'expression (23), calculée avant les mesures prises,
En égalant cette valeur probable à la valeur vraie, on aura
(-^^ """= 3Xf-^3À, + X:. -
}., , Â2, X3 sont arbitraires.
Si l'on voulait choisir entre les valeurs en nombre infini représentées par la formule (24), '1 faudrait chercher la valeur probable du carré de la difTérence des deux membres et disposer de X, , Ao, A3 de manière à la rendre minima.
Mais la formule (24)5 ^1^'' peut évidemment donner des valeurs (le m'^ très inégales, reste, quels que soient les facteurs A,, X^, ).3, la conséquence de l'égalité admise entre la valeur vraie d'une grandeur et la valeur probable.
220. Il est aisé de prouver par un exemple combien sont grandes les erreurs à craindre en égalant les valeurs vraies aux valeurs probables.
Un observateur mesure les trois angles d'un triangle; la probabilité d'une erreur comprise entre z et z-\-clz est, pour lui, — e~''^^'dz. Quelle est la probabilité d'une erreur j^ sur la somme
des trois angles?
On peut dire :
La valeur probable du carré de Terreur commise sur chaque ani^le est —7-:
La valenr probable du carré de l'erreur commise sur la somme des trois angles est y-^-
Si donc on représente la probabilité d'une erreur j^ sui- la somme des trois angles par ^e~*"^', il faudra supposer
y/TC
■ik'-
CHAP. XI. — COMBINAISON UKS OBSKRVVTIONS. 2*5
La prohabilité d'une erreur plus petite que a sur la somme des trois angles est donc
La démonstration peut laisser un doute. En acceptant la loi représentée par e"^°=^' pour les prohabilités d'erreurs partielles sur chaque angle, est-il permis d'en conclure une expression de même forme pour l'erreur totale? L'assertion n'est pas évidente; on peu! la démontrer.
Soient X, y, z les erreurs commises sur les trois angles d'un triangle; posons
a- -t-jK -^ s = a.
La probabilité du concours des trois erreurs (''tait, a priori,
/,■■' e-*^P' dx dy dz ;
«Ile est le produit de — —e'^''"^'' par l'élément de volume dx dydz,
en considérant X, j^, c comme des coordonnées rectanguhiires. La probabilité pour que, x -\~ y y- z étant compris entre a et
a + â?a, p le soit entre p et p y- d-j sera le [jroduit de ^-^e"^"'"^'
par le volume compris entre les deux sphères qui correspondent aux rayons p et p -h <ip et les plans dont les équations sont
a" -H 7 -i- 2 = a, x-^y-\-z^=^y. — dt.
■Ce volume est
, . iTTO d'j d-x
La probabilité a priori pour que, la somme des erreurs étant comprise entre a et 0.-^(1%^ celle de leurs carrés le soit entre p^
et (p -h d^)- est égale à
, ,. 'i.k^ e-^'P'o do d%
276 CALCCL DES PROBABILITÉS.
La probabilité pour que la somme des trois erreurs soit comprise entre a et a + ofa est la somme des valeurs de (26) pour toutes les valeurs possibles de p qui sont comprises entre — et 00.
La probabilité pour que la somme des trois erreurs soit conqjrise entre a et a -+- <ia est donc
•i/r^ d% C^ ,.^, , (27) —=— \ e-'^-9'pclp;
on a
?dp =
La
for mu
le (2
se réduit à k
précisément celle que nous avions admise.
221. Supposons, pour entrer au détail, qu'en mesurant les trois angles d'un trianj^le l'erreur probable sur chaque mesure soit égale à 2", la valeur correspondante de k est — — •
■>. sJt.
La probabilité d'une erreur plus petite que i" sur la somme des trois angles est, dans ce cas.
