ID
L'événement n'a rien d'invraiseniblable.
S'il arrive cependant qu'en mesurant les trois angles d'un triangle, on trouve une somme d'erreurs égale à i", la théorie adoptée donnera, pour déterminer la valeur vraisemblable du carré de l'erieur sur chaque mesure, la relation acceptée
par conséquent.
ce qui correspond à une erreur prol)al)le de chaque mesure
Lors(|ue, dans une seule épreuve, l'erreur coriimise sur la somme des angles d'un triangle est égale à i", est-il possible de proposer avec confiance o", - comme la valeur vraisemhiable de l'erreur probable sur chaque observation?
La valeur probable, pour l'observateur qui a mesuré les angles, est un nombre parfaitement déterminé; en la sup|)osant égale à 2", c'est-à-dire triple de la solution |)roposée, la probabilité d'une erreur moindre que celle qui s'esl produite serait 0,1 5.
La valeur o", - adoptée pour l'erreur probable donnerait à l'événement observé, c esL-à-dire à une somme d'erreurs moindre que 1", une probabilité plus petite que r, égale à
La probabilité pour qu'en ado|)tanl o". 7 pour valeur j)rol);d)le de l'erreur on s'écarte |)eu de la vérité est, on le voit, fort éloignée de la certitude.
222. Pour explicpier plus clairement les principes théoriques de la méthode des moindres carrés, nous n'avons tenu aucun compte de la longueur des calculs. On peut, dans presque tous les cas, les abiéger considérablement.
Les corrections prescrites par la méthode exposée (210) pour les grandeurs directement mesurées /,, /j. ..., InjrP satisfont à une condition remarquable qui peut servir de base à une détermination plus rapide des inconnues.
La somme des carrés des corrections faites aux mesures est un minimum.
Reprenons pour le démontrer la question déjà résolue (210), en supposant toujours, pour éviter la longueur des formules, trois inconnues seulement, entre lesquelles on a six équations.
En nommant /, , /,, ...,/o 'es grandeurs mesurées et e,, e2,...,^o les erreurs très petites commises dans leur évaluation, les condi-
lions du problème donneront trois éqnations du premier degré entre les six erreurs
I Pi ei -t- P2 éi -+- P3 63 + P; ev -H P5 63 -
(•28) { Qie^-^ q,e^^ q,es+ Q,e^-i- q,e,-
( R, ei-h R^go-^- R3<?.-5-l- R^e-v-H Rjej
Nous allons chercher à déterminer entre les solutions de ces équations le système pour lequel la somme
est minima. Nous constaterons l'identité des corrections ainsi déterminées avec celles qui résultent des conditions adoptées (210).
Pour rendre la somme (29) minima, il faut égaler sa différentielle à zéro en même temps que celle des expressions (28).
Nous aurons ainsi les équations
(30) eide^-h e^de^-h e^dez-h ei^dei^-h- e^de^^ e^ de^,— o; ( P) dei -+- P, de-2 -+- Pi de:^ -t- P4 de^^ -+- V„ de-, + P,; de^, — o,
( 3 1 ) Qi des, -i- Q2 de^ + Q;, de^ -f- Q4. de^^ -t- Q5 de-^ + Qg de^, — o,
' R| dei -t- R2 det-^ R3 de^-^ Ri de,^-^ R.5 de^-t- Rg de^, = o.
On ajoutera, conformément à la méthode de i-iagran^e, ces (juatre équations, après avoir multiplié trois d'entre elles par des facteurs [jL|, (j.^- H"-:)? et l'on égalera à zéro les coefficients des six difiérenlielles. Les équations
^6 H- \M Pr, -+- \i-i Qg -h ^^3 Re = o,
jointes aux trois é(piations (28), détermineront les corrections e^^ 6-2, 63, e.r,, e^, Ce et 'es multiplicateurs uij, '^21 [-"-s-
Eri ajoutant les équations (32) après les avoir multipliées par les coefficients de chacune des inconnues [i.,, txo, tj.3, et en ayant égard aux relations (28), on formera les équations
, JJLlfP?) +f^2^P,Qi)+,j,3(P,R,) = A,,
(33) I .ai(PiQi)+[Ji2(Q!) +[a3(R,Q, ) = /;,,
ei-+-
