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(;H\P. \l. — COMIUNAISON DKS OBSKRV V TIONS. 279
OÙ (P^^\ (1^1 Qi •- ••• l'eprésentenl les sonimes P| +P^ -PI,
PiQi— P:Qo-^ P3Q3,
Les f''qiialions 1^33) tVroiil connaître u.,, Uo, a.,. On déduira ensuite de (Sa) e(, f;., t?:;
Les corrections ainsi obtenues sont identiques à celles qui ont été déduites (209) du Calcul des probabilités. Reprenons, en etFet, les équations (-) qui font connaître X,, Ao, At ; elles ne diffèrent de (33) que par le changement des termes indépendants des inconr)ues.
Ciherchons par les d«Mix méthodes la correction désignée |)ar C) .
Les valeurs de À,, Ao? A:! étant données [)ar les ('(juations
i A, ( P? ) + À, ( Pi Q, ; -n l, ( P, R, ) = - P, .
(34) >MiPiQi)->^-2tQf) --X3(Q,H,)=~Q,,
( À,(R,P,)--X,(R,Q,)^X3(Rf ) =- R,,
la coirection prescrite est
La condition dn minimum donne
c'i = — a, P; — u,, Q, — IJ.J R|.
En ajoutant les équations (33) multipliées par A,, Ao, Au et les é(|uations (9) multipliées par 'jL|, Uo, 'JL:,, on constate l'identité des deux sommes.
223. Le principe des moindres carrés étant admis, on peut s'en servir pour obtenir les meilleures valeurs des inconnues, sans s'astreindi'e an calcul préalable des erreurs commises sur les grandeurs directement déterminées.
Les équations imposées aux inconnues étant
cpi(.r, r, ;;, .. .) = /,, cçoC/r, /. z, ... 1 -— /2,
'^n-h,>(.r, y, -, . ..) = In-^p,
28o CALCUL DES PROBABILITÉS.
et leur nombre n -\- p surpassant le nombre n des inconnues, on devra d'abord déterminer des valeurs approchées X, Y, Z, ... de
x^ y^ z pour lesquelles ils subsistera entre les deux membres
des équations (35) des difFérences très petiles a,, aj, ..., 'J-u+p- Si l'on nomme x^^ fi, z^^ ... les corrections (|u'il faut faire à X, Y,
Z, . . . , et e, , 62, • • • , Cn^p celles de /, , /a 4+/>, <>» aura, en
négligeant les carrés de ces correclions, des équations nécessaires de la forme
P, .ri-uP.r,— P3Si-f-...H-a, = Cj, Q,.ri-4- Q-?ji+ Qs^i-i-. . .-H a.2= 62 Ht r, -1- R, r, ^ R3 G, -h . . . -I- a.-, = ('a,
^2^, , Qi.^i-+- Q-?.ri + Q3^i-^..--^a, = 62,
Pour rendre minima la somme
ef -H e| ^- e| -h. . ., ■
il faut, a|)rès l'avoir formée, égaler à zéro les dérivées par l'apport à .r, , jKi, G,, . . . , et l'on aura ainsi, entre les inconnues véritables de la question,
Pi(P,^,)^Qi(Qi^i)-t-Ri(Ria7i)+...+ P,a,-+-Q,a2 + ...= o, P2(Pia"i)-+- QaCQia^i) -h HaCRi^i) -H. . .-H Pîai-f- Qaao^-. ..= o, P3(P,a7,) + Q3(Qi^i)+ R3(Ri^i)+...+ P3a,-^g3a2^...= o,
(P,a;(), (Q,;ri), ... désignant l'ensemble des termes qui, dans les équations (36), précèdent a,, a^, .... On est conduit à la règle suivante :
On ajoutera les premiers membres des équations du premier degré, dont les seconds membres sont les corrections à faire subir aux grandeurs directement mesurées, après les avoir multipliées successivement par le coefficient de chaque inconnue.
Les équations ainsi formées, en nombre égal à celui des inconnues, donneront la solution du problème.
224. Supposons que cinq points A,, Ao, A3, A-,, Ag aient été visés d'une même station O. Sur les dix angles que forment deux à deux les lignes de visée, on en a mesuré huit. En nommant ^Ti , X2, ^3) Xi, les angles de la direction OA avec les quatre autres, ces angles déterminant tous les autr(!s, les mesures choisies sont
CHAP. M. — COMHINVISON DKS OBSERVATIONS. 28 1
telles qu'en nommant /,. /^. /:,, /j. A;. /«. /: , U leurs valeurs exactes, on a
Les relations entre les angles mesurés doivent èlie
Ces expressions ne seront pas nulles, mais auront des valeurs très petites. Nommons ces quatre valeurs a,, a^, a.j, a.,; elles donneront, indépendammeni de tout calcul, une première idée des erreurs commises.
Pour appliquer la méthode îles moindi^es carrés, il est intildede former les équations (5); nous ajouterons les équations (H;) après avoir multiplié chacune par le coei'licient de l'une des inconnues successivement choi>>ies. JNOus aurons ainsi
3,r, ~ .r-i - r-i — /- — If, — /s.
3 .r.> — x^ — .Ti — /^ -t- /j — /;. 3 a?, — T-^ — X\ — I \ — I \ — /(;, 3.5"i - .r;j — T-2, — I \-^ /.i -^ l\-
On en déduira les valeurs des inconnues
^. Z/,^ i/., J-/, -L/,+ 4/.+ 4/.- 4/: --/h, " ri ^^ -'Il -j •*-! -* .. Il '^ Il
^.^ ' /, ^Ll,^ 1/3^4/,- '/5+ -^7/.+ 4/:- ;^/h. j'' ,5'- l3 ' 13 ^ 3 " i5 1 ) 13
225. Lorsque les corrections >eront calculées, on devra chercher, en tenant compte des réserves faites, la valeur prohable du carré de l'erreur à ciaindre pour chaque inconnue.
28l CALCUL DES PROBABILITÉS.
Gauss a donné pour ce calcul, comme pour tous les détails de cette théorie, une méthode devenue classique de laquelle résulte une démonstration du principe des moindres carrés très différente de celle que nous avons adoptée. Nous la reproduisons textuellement.
Problème. — Désignons par v^ v\ v" , . . . L's fonctions linéaires suivantes des indéterminées x, y, z. ... :
V = a .r -t- by -i- c 3 -i- . . . -i- /,
Parmi tous les systèmes des coefficients x, x', x", ... qui donnent identiquement
k étant indépendant de x, yy z^ . . ., trouver celui pour lequel
