X- -h x'- -î- x"- +. . . est minimum

Posons

/' av -+- a'p'-H a" v" ■ \ hv -^ b' v' ^ b' v" ■

cv -I- C P -H C P

ç, r,, V seront des fonctions linéaires dex,y, c, et l'on aura

/ ; = x^a- -^ y^ab -^ z^ac -^. . .^^aly \ T, = x^ab — y-^l)'- -h zy:bc -h.. .^I.bl,

':, = x'Lac -^ y'Lbc -h z:Lc^ -h. . .-t- Se/,

S rt- = a-^ a'- H- a"- -h .

et de même pour les autres S.

Le nombre des quantités ;, r,, ^, . . . est égal au nombre nr des \ inconnues x, r, :;, ...; on pourra donc obtenir, par élimination,

une équalioii de la forme suivante (^')

.r = A — ( ax ) ; — ( aS t r, -4- (■ x--' I ^ — . . . ,

qui sera satisfaite idenlii|uenient lorst|n'on remplacera c, r,, 't par leurs valeurs (G3). l*ar eonsecpient, si Ion pose

i a (ai » — h I ai I ■^- c i a-; ' — . . . = a.

( Gt ) • rt' i aa ) — 6' ( ïj ) -^ c' ( av ) — . . . = a',

' rt"( aa I — 6'i a3 ) — c'i ay ) ^ . . . = a ,

on aur;i identiquement

(Gs ) ai' ^ a'c' — ï'i' — . . . = .î" — A .

Cette équ.ilioM montre que. parmi les difTeM-ents svslèmes de coefficients x. x'. x" on doit compter le svstème

On aura d'ailleurs, pour un systt'nie (pielconque.

(x — a )f — 1 /.' — a' ic' — {•/.' — a" )t'' — . . . = A — k, el celle équation, étant identique, rutraîne les suivantes :

(y. — y. ) rt — I y,' — a' u7 ' — /. " — a " 1 a — . . . = o. {■A — 7.)ù —(/.'— x' <b — < y. — a ' 1 //' — . . . = o,

Ajoutons ces équations apiès les avoir multipliées, respectivement, par (ax), (a3), [xy), .... nous aurons, en vertu du svstème (Gij,

c esl-à-dire

(•) On verra plus loin la raison qui a conduit à désigner les coefficient- de celte formule par la notation (aa), (ajl).

par conséquenl, la somme