y,"i — yj'i -f

aura une valeur minimiini, lorsque l'on aura

D'ailleurs, celle valeur minimum s'obliendra de la manière suivante.

L'équation (G5) montre que l'on a

Multiplions ces équations, respectivement, par (aa"), (a^), (ay), ..., et ajoutons; en a^ant égard aux relations (G^), on trouvera

a--}- a'2+ a"- — . . . . = (aa).

Lorsque les observations auront donné des équations approximatives

il faudra, pour déterminer l'inconnue x, choisir une combinaison de la forme suivante

telle que l'inconnue x acquière un coefficient égal à i et que les autres inconnues se trouvent éliminées.

Le poids de cette détermination sera

On obtiendra la délerminaiion la plus convenable en prenant

alors X aura la valeur A. On obtiendrait évidemment la même valeur sans connaître les multiplicateurs a, a', a", ..., en etïec-

CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERV.\TIONS. 'iSS

tuanl rélimiiiation sur les éc|uations

; = o, ';=<), ^ = o, . . .; le poids de cette déletinination sera

( aa ; '

et l'erreur moyenne à craindre

m \/pi xa j = /n \^p' ( aa ) = m!' sj p" ( xx ) = . . . .

Une max'clie analoj^iie conduirait aux valeurs les plus conve-

nahles des autres inconnues i'. c (jui seront celles (jue l'on

obtiendrait en eilectuant ['(''liniinalioii sur les éciuations

Si nous désignons par ii la somme

ou. ce qui revient au même,

on aura évidemment

'/o du „ c/o

«,/■ av "-

par consé(|uent, les valeurs des inconnues, déduites de la combinaison la plus convenable, et que nous pouvons appeler les valeurs les plus plausibles, sont précisément celles qui donnent à Q une valeur minimum. Or V — L représente la dilFérence entre la valeur observée et la valeur calculée; donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles (|ui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et observées des quantités V, V, V", . . ., ces carrés étant respectivement multipliés par le poids des observations. Ces principes ont été depuis longtemps établis |)ar d'autres considérations {Theon'a motus corporum cœtestiuni).

Si Ton veut assigner la précision relative de chacune des déler-

minalioiJS. il faut déduire des équations (G3) les valeurs de x, y, s, . . ., qui se présenleronl sous la forme suivante :

( z = C -H('Ya)f + (Y.3)-n ^- (ty) ?+••••

Les valeurs les plus plausibles des inconnues x^y^ z, ... seront A, B, C, .... Les poids de ces déterminations seront

û^)' ^' îrô' "*'

et les erreurs moyennes à craindre

Pour ,r m \/p( aa ) = >n'\/p' { xa) = . , .,

Pour jK ni^pC^'^) — m'\/p' ('i'^) =. . .,

Pour z m s/ p( YY ) = '" V/^'(TT) =••••>

ce qui s'accorde avec les résultats obtenus antérieurement ( Theoria motus corporum cœlestium).

Le cas où il n'y a qu'une seule inconnue est le plus fréquent et le |)lus simple de tous. On a alors

\ = iT, \ ' = a?, V"=a', ...;

il sera utile d'en diie quelcpies mots. On aura

/ = — Ls/p, /' = — L' ^p', l" = — L'V/,

et, par conséquent,

d'où

p—p ^ p — ... Ainsi, si, par plusieurs observations qui n'ont pas la même pré-

cision el dont les poids respectifs soni/>, //, //. . . . , on m trouvé, pour une même quantité, une première valeur L'. une deuxième L', une troisième L", . . . , la valeur la plus plausible sera

et le poids de celte détermination sera

Si toutes les observations sont éi^alement plausibles, la valeur la plus probable sera

c'est-à-dire la movenne arillimélicpie entre les valeurs observées ; en prenant pour unité le poids d'une observation isolée, le poids de la movenne sera m.

226. Quoicpie les formules proposées |)0ur exprimer la valeur probable du carré de l'erreur à craindre, à quelrpie point de vue qu'on se place pour les obtenir, méritent peu de confiance, il n'est pas inutile de les défendre contre un reproche injustement adressé.

Bienavmé, auteur de l'objection, a pro[)Osé « une modification profonde » ; il parle de la « défectuosité du calcul ordinaire ». Le défaut qu'il signale lui paraît si simple, « qu'aux premiers mots tout le monde en reconnaîtra l'existence ». — « L'erreur consiste, dit-il, à calculer la probabilité d'une erreur commise comme si elle était la seule. Un des premiers principes de la théorie des probabilités est que, quand plusieurs événements arrivent simultanénient, la probabilité de leur concours est le |)roduit des probabilités de chacun, de sorte que la probabilité de ce concours est inférieure à la probabilité de chaque événement pris à part; elle est d'autant plus petite qu'il y a plus d'événements. »

« Évidemment, ajoute Bienajmé, il en est de même des erreurs de plusieurs inconnues. La probabilité que ces erreurs resteront toutes à la lois dans certaines limites ne peut être que le produit

•288 CALCUL DKS PROBABILITES.

des probabilités séparées pour que chacune ne s'écarte pas de ses limites propres et, par conséquent, cette probabilité du concours des erreurs de grandeur limitée doit être notablement inférieure à la probabilité des limites de chaque errenr considérée isolément, quelles que puissent être les autres. »

L'assertion est évidente; mais le tort est d'accuser les auteurs de la théorie et des applications qu'on en a faites de l'avoir ignorée ou oubliée.

Quand on a calculé une inconnue, il importe de savoir quelle confiance mérite le résidtal. Les formules de Gauss répondent plus ou moins rigoureusement ;'i cette question. Si une seconde inconnue est calculée, le même problème sera résolu pour elle.

Si l'on connaît les probabilités pour que les erreurs commises sur deux angles soient plus petites que o'^, lo, on pourra, les deux résultats n'étant pas contestés, chercher la probabilité pour que les deux épreuves soient toutes deux plus petites que o", lo; l'intérêt de cet autre problème sera plus ou moins grand, mais c'est une étrange prétention d'accuser d^erreur ceux qui n ont pas désiré le résoudre.

Prenons un exem[)le.

On veut connaître un angle A. Cet angle fait partie d'un triangle ABC. On mesure les trois angles A, B, C et l'on prend pour A la valeur

Si ni- est la valeur probable du carré de l'erreur à craindre dans la mesure d'un angle, le carré de l'erreur à craindre en adoptant l'expression (38) est (199) l'n'-.

L'objection consiste à dire : Sur les tleux angles B el C vous avez des erreurs à craindre ; elles doivent entrer en compte; elles ont leur part nécessaire dans l'évaluation du mérite de la solution. Cela est vrai si le problème est de résoudre le triangle; mais, si le calcul est entrepris pour déterminer Tangle A, on n'aura nul souci des deux autres.

Le triangle a trois côtés; on peut y inscrire un cercle, ou le circonscrire, déterminer la surface, calculer les bissectrices, etc., et

CIIAP. XI. — COMBINAISON DES OBSKRVATIONS. .>.8g

résoudre cent problèmes difFérents pour chacun desquels, puisque le triangle est imparfaitement connu, une erreur sera à craindre. Cherchera-t-on la probabililé pour que toutes ces erreurs soient inférieures à des limiies données? Si persuadé qu'on soit ((u'il faut le faire, le nombre des grandeurs qui dépendent du triangle étant infini, d faudra s'arrêter ; où commencera la faute commise?

Ln exemple réduira l'objection à sa véritable valeur.

On construit une carte géographique. Les villes, villages et bourgades y sont inscrits par milliers. On étudie l'un des points principaux et l'on cherche l'erreur probable à craindre sur chacune de ses coordonnées géographiques. Les calculs sont irréprochables ; l'auteur de l'objection, sans y contredire, signale une faute très grave. Votre carte, dit-il, contient mille déterminations ; \\ faliait, en vertu à' un principe dont la vérité frappera tout le monde, faire poui- les mille points mar([u('"s le calcul exécuté pour un seul et multiplier les mille probabilit(''s.

Les erreurs n'étant pas indépendantes, la solution aurait le mérite d'une difficulté vaincue, mais elle condamnerait la carte la plus admirée d'autant i)lus sévèrement qu'elle serait plus riche de détails. Comment espérer que le produit de mille probabilités ne soit pas très petit?

Le produit étant supposé connu, on accueillerait certainement comme un grand progrès la recherche isolée de cha(|ue facteur. C'est elle seulement qui peut intéresser.

227. Nous terminerons ce Chapitre par la démonstration d'un élégant théorème de Gauss, annoncé (211) et dont les c-onséqiiences relatives à la détermination de la précision d'un svstème d'observations ne me |)araissent pas acce|)tables.

On a mesuré directement n + /y grandeurs. Les mesures inspirent la même confiance ; mais la valeur probable //?- du carré de l'erreur commise sur Tune d\dles est rt />/vo/7' complètement inconnue. Ces /ï -I- /> grandeurs mesurées sont liées par des équations, que renoncé du problème fait connaître, à n grandeurs inconnues. La méthode des moindres carrés détermine ces inconnues par la condition que les corrections sur les grandeurs directement mesurées, qui rendent les équations compatibles, aient une somme de carrés minima.

2 go

Les calculs font connaître exactement cette somme de carrés, plus petite par l'énoncé même de la condition imposée, que la somme des carrés des erreurs réellement commises.

i.e théorème de Gauss se compose de deux parties :

La somme des carrés des corrections prescrites par la mélliode des moindres carrés est une fonction homogène du second degré, parfailemenl déterminée, des erreurs réellement commises.

En désignant par />^- la valeur probable, a priori, du carré de l'erreur commise sur une observation, la valeur probable de In fonction qui représente la somme des carrés des corrections prescrites par la méthode, et par conséquent la valeur probable de cette somme de carrés dont la valeur numérique est connue, est égale à j>in- .

jNous allons démontrer ces deux théorèmes, sans pouvoir accepter qu"il soit permis ensuite d'égaler la valeur vraie de la somme des carrés des corrections à la valeur probable et d'en conclure pour valeur probable du carré de l'une des erreurs d'observations

e,, Co, ..., en^p é'iant les corrections faites aux grandeurs mesurées et le dénominateur /? étant l'excès du nombre /i -1- /> des mesures prises sur le nombre ii des inconnues qu'on en a déduites.

Non seulement la somme des carrés des coriections, mais chaque correction en particulier peut s'exprimer en fonction des erreurs réellement commises. Si ces erreurs, en elVet, sont connues, les équations auxquelles les inconnues satisfont, et qui deviennent incompatibles, sont parfaitement déterminées; elles s'accorderaient si l'on ajoutait à chaque grandeur l'erreur commise en la mesurant, mais elles peuvent s'accorder d'une infinité de manières. Les corrections véritables étant inconnues, on rend la somme des carrés minima. Le calcul à faire pour cela est parfaitement déterminé, et le résultai ne peut contenir, outre le^ données de la question et les grandeurs mesurées, que les erreurs réellement commises.

La méthode exposée (207) permet de calculer cette fonction, dont l'existence est évidente a priori.

Soient

Pie,+ PoCo-t-.

Qi6'i-H Q,eo-H.

•+ Q/;-f-pe,,+;, — a,,

les éqnalions qui lient les erreurs possibles e^, e.^, . . . , Cn+p aux évaluations des grandeurs /, , /,, ..., /„^^, douta,, a,, ..., a^ sont des fonctions numériquement connues et très petites, j3uisqu'elles seraient rigoureusement nulles si les mesures étaient exactes. Les corrections e,, go, ..., Cn+p, prescrites par la méthode des moindres carrés, sont des fonctions de a, , ao, .... y.p que la méthode fait connaître. La somme de leurs carrés est une fonction homogène du second degré de a,, ao, . . . , a^. Mais les équations (Sp) sont satisfaites par tous les systèmes de corrections compatibles avec les données du problème; elles le sont donc par les corrections égales aux erreurs véritablement commises, et, en remplaçant a,, ao, . . . , -j.p par leurs valeurs données par (iJg) en fonction des erreurs véritables £,, So, . . . , t„^p^ on aura exprimé la somme des carrés des corrections en fonction de ces erreurs véritablement commises qui restent inconnues.

Pour obtenir les corrections prescrites par la méthode des moindres carrés, il faut rendre mininia la somme

adjoindre, par conséquent, à l'équalion

eidey^ e^ de^ + ...-(- e,t+,,den+i, = o

les p équations obtenues en difïérentiant le système {'ig).

On devra, conformément à la théorie des maxima et minima, ajouter ces équations après les avoir multipliée.-^ par des facteurs indéterminés, et écrire le système

<?l-^ [^lPl-4- ÎJt2Ql-+-...-H ,'Jt/;T, = O,

e-i -f- rji, P, -u u. Q; -I- ... -h [Xj^T, = o.

^n+p -r- [J-i P/i-i-yj -i- [J.J Q/J+/; -r- . . . -T- '^p T,i^fj := O ;

2g2 CALCLL DKS PROBABILITES.

les facteurs [ji,, [Xo, \t-p et les inconnues e,, eo, . . . , e„+p se

déduiront de ces n -{- p équations adjointes aux/? équations (89). Pour obtenir les facteurs ji.,, uo, ..., [x^, ajoutons les équations (4o), après les avoir multipliées par P,, Po, • ■ • , puis par Q,, Q2, . . . , et ainsi de suite, nous aurons

a,-+-[JL,(P2) +[jL,(PQ)+...+ ,a/.(P,T) = o,

iJL,(TP) +,a,(TQ)+...-+-iJi/.(T2)

/p2\ (PQ), ... représentant la somme des carrés des valeurs

deP'^ deP,Q,, ....

Ajoutons les équations (4o), après les avoir multipliées par e,, Ci, . . ., e«+j,, nous aurons

Se? -i- [J-iXi-t- HiOii-h. . .-h V-p'i-]>= o,

et cette équation fera connaître Sej, exprimé, conmie nous l'avions annoncé, en fonction de a,, ao, . . . , rt« qui sont eux-mêmes des fonctions connues d"un système quelconque de corrections possibles et par conséquent, en particulier, des erreurs réellement commises.

228. Il nous reste à chercher la valeur probable de l'expression

(42) [^la,— ;j.2a2-l-...-H [a;;a/,.

Si £,, So, .... £«+p sont les erreurs réellement commises, la valeur probable de é\ est, quel que soit «, la quantité inconnue mqui représente la précision des observations, et, les mesures étant indépendantes, la valeur probable de £,, £/■, quels que soient iet«% est égale à zéro.

La valeur probable de (42) est donc le produit par m- de la somme des coefficients des carrés de £|, So? • • • > e«+/j-

En substituant aux a dans la somme (4^) leurs valeurs en fonction des £, données par le système (39), l'expression devient, en ayant égard aux équations (4o),

(43) £ie, -h £-262+. • --^ '«^«;

CHAP. XI. — rOMBINAISOX DKS OBSliKVATIONS. 29^

Cl, comme les corrections e sont des fonctions linéaires des u. et des a, par conséquent des s, on voit que la somme des coefficients des carrés e^^ t-^i • • • ^ ^/i+p dans (42) est égale à

det (le., (len+i>

dii ' c/£, ■ ■ ■ (/tn + p

c'est-à-dire, d'après le système (39), égale, an signe près, à

ri -r h <^'i -. r-. . .-+- Il - —

d^i (/Zi (/zi

' - dz, ' ^- dz. ' -y^ 'dz.

On a, en lemarqnant que les £ satisfont au svslènie (Sg) et fjue les |jL sont des fonctions linéaires des a,

(l'M d'il dui d'il

on en déduit les équations

rtîi dt^ dx-i ^ d'j.,,

«£•2 d'j-i - dj-i ' en.,, ' '

d\J.\ d\J^ ., d'il d'il

La somme des premiers membres est donc égale à

c'est-à-dire à l'unité; car cette expression (44) 6st précisément le résultat de la substitution dans la valeur de jjl, déduite de (4o), des coelficients de u, aux termes tout connus ai, ao, • • • , a^.

La première colonne du Tableau est égale à l'unité.

Tl en est de même de toutes les autres, et la somme est égale kp.

Celle élégante démonstration a été donnée par M. Gnvou.

Lors donc que l'on résont un problème par la méthode des moindres carrés, n -{- p mesures ayant été prises et le carré de l'erreur à craindre sur chacune d'elles étant m^, la valeur probable de la somme des carrés des erreurs réellement commises est

mais la valeur probable, nécessairement plus petite, de la somme des carrés des corrections indiquées par la méthode comme les plus plausibles est seulement/?An-.

229. Reprenons, pour donner un exemple, le problème résolu (214). A, , A2, A3, A4 étant quatre points observés du point O, et les angles sous lesquels A, Ao, A, A3, A, A4, A4 A3 et AiAo sont vus du point O étant /, , l.,. /s, /..,, L^, en posant

a< et ao étant très petits, les corrections à faire aux angles mesurés sont

La somme de leurs carrés est

(45) 8*^^^' "^ ^^^ — 'laïaa).

On a, en nommant £,, £0, £3, £-,, £5 les erreurs réellement commises,

ai = Ej. -+- £1 — £3,

3t2= îô-^- £2— Î3-

La valeur probable de a^ est dm'-; celle de a!;, 3m- et celle de

a, ao, m- : la valeur probable de (45) 6Sl donc

c'est-à-dire, conformément au théorème de Gauss, le produit de m- par l'excès 5 — .3 du nomi)re des angles mesurés sur celui des angles inconnus réellement distincts.

En égalarU cette somme a/w- à la somme des carrés des corrections prescrites parles formules pour les huit angles directement mesurés, la valeur ainsi obtenue pour m- ne peut nullement être acceptée pour mesure certaine ou vraisemblable de l'erreur à craindre dans les observation*s.

On peut affirmer seulement, et c'est là le point important, que, si la somme des carrés des corrections est petite, la probabilité est grande pour que les observations aient été bien faites.

230. Indépendamment de l'incertitude du principe sur lequel la démonstration repose, je veux dire le droit d'égaler la somme des carrés des corrections à leur valeur probable, une autre cause, non moins grave que la première, suffirait, dans le plus giand nombre des cas, pour enlever toute confiance dans l'évaluation précise des chances d'erreur [H-oposées après chaque application de la méthode.

On suppose, a priori, toutes les mesures également précises ; il est impossible, dans la plupart des cas, de crc>ire à cette égalité : c'est faute de connaître aucune raison de préférence qu'on accepte l'équivalence des résultats. Mais, connues ou inconnues, ces raisons, si elles existent, doivent exercer une influence sur l'eireur réellement commise, et c'est celle-là dont on prétend donner les chances.

Il ne faudrait pas dire : On obtient une précision mo^'enne. Des mesures dont la précision est inégale ne donneront nullement le même résultat qu'un nombre égal de mesures prises avec une précision uniforme de quelque manière qu'on la choisisse.

Les formules, enfin, supposent pour toutes les observations les erreurs constantes absolument écartées ; c'est une condition difficilement remplie quand on combine des observations d'origine ddlérente.

29^ CALCUL DES PROHABIMTÉS.

Le calcul rie la précision d'un sjslème d'observaliotis et l'éva- Inalion quon en déduil pour la confiance méritée par le résultat ont compromis plus d'une fois la méthode des moindres carrés.

Après avoir discuté par d'immenses calculs les observations du passage de Vénus sur le Soleil en 1-61, Enckc a trouvé pour la parallaxe du Soleil 8", 49 et pour erreur probable o",o6. Il y avait, en conséquence, plus de 3ooooo à parier contre i que l'erreur n'atteindrait pas o", 42, représentant sept fois l'erreur probable.

Les asironomes, cependant, acceptent aujourd'hui pour parallaxe 8", 91, qui correspond précisément à l'erreur o", 42.

Sur un nombre total de [49 observations, Eucke, par des raisons dont il serait difficile de donrier le détail, en avait considéré 90 comme meilleures que les 69 autres. Les premières avaient même poids dans les calculs et les secondes un poids moitié moindre. Il n'en faut p;is davantage, indépendamment de toute objection théorique, pour expliquer, j'oserai dire pour prévoir, des erreurs plus grandes encore (]iie celles qu'on a commises.

Si le résultat final est exact, l'un des observateurs, Short, s'est trompé de 20" sur l'instant du second conlact et Justander de 4o" sur celui du premier.

L'un et l'autre, cependant, sont admis dans la première classe, comme Lacaille, qui se serait trompé de 2" seulement, et Lalande de i",7.

L erreur probable sur l'instant du premier conlacl, pour tous les observateurs de première classe, étant 7", il y aurait, si l'on s en rapporte aux formules, 19000 à parier contre i qu'une erreur de 4o" ne sera pas commise; n'était-ce pas une raison suflisante pour faire passer Justander dans la seconde classe, peut-être même pour supprimer ses chifï'res, en voyant qu'à la sortie il » s'est trompé de 20"?

Encke, en prenant ce parti, aurait manqué, je le sais, à un principe que je n'accepte pas : les observations sont des témoins; SI elles sonl, avant l'épreuve, jugées dignes de confiance, leur déclaration, quelle qu'elle soit, doit être recueillie et conservée.

Laplace a évalué la masse de Jupiter -^ de celle du Soleil.

L'erreur commise, affirmall-il, est plus [)elite (|ue jjj du nombre proposé, et le Calcul des probabilités démontre qu'il y a looooo contre i à |)arier pour qu'elle n'atteii^ne pas celte limite. La limite cependant a été dépassée : aucun astronome n'en doute aujourd'hui.

Il serait intéressant de refaire et de discuter de tels calculs. Je veux parler ici des principes seulement. Lorsque des inconnues sont déterminées par un grand nombre de mesures, les équations étant plus nombreuses qu'il ne faut, le calcul fait connaître les corrections pour lesquelles la somme des carrés est mi ni ma

Quelle est la confiance méritée par les résultais?

Nous avons résolu deux problèmes dilïerents :

Les observations n'étant pas faites encore, ou, ce qui revient au même, leur résultat étant encore inconnu, mais leur précision étant appréciée d'après l'habileté de l'observateur, quelle est la précision du résultat? La solution est irréprochable, mais sans intérêt dans la plupart des cas. l^orsque les observateurs sont différents et les observations nombreuses, il est impossible, évidemment, d'exprimer a priori par un nombre la confiance méritée par chacun, en écartant tes circonstances particulières qui ont pu le troubler, comme, par exemple, dans les observations du passage (le \ énus, ce phénomène imprévu de la goutle qui rendait les contacts incertains.

C'est après les avoir obtenus qu'il faut juger les résultais, et le véritable problème est celui-ci : J^es observations sont faites, les calculs leiminés, la somme des carrés des corrections est connue en chillVes; en déduire la précision su[)posée égale des observations combinées.

iNous devons répéter ce qui a été dit (17i) :

Quand on entreprend une série de mesures, l'habileté des observateurs n'est ni parfaitement connue ni complètement inconnue. Ce sont des cas extrêmes. Il arrivera presque toujours que, toutes les valeurs de la précision étant possibles, elles seront, a priori, inégalement vraisemblables. La loi de leurs probabilités avant l'épreuve étant inconnue, le problème est insoluble.

Si les observations étaient mal faites, les équations seraient discordantes. La probabilité pour que le hasard, et non la perfec-

tion des mesures, les rende compatibles après de petites corrections, peut être considérée comme une impossibilité. On peut, en conséquence, quand la somme des carrés des erreurs est petite, accepter sans crainte le résultat, mais il est téméraire d'évaluer en chiffres la confiance qu'il doit inspirer.

CHAP. XII. — Lies LOIS Dl-: I.A STATISTIOIE. 299