HA1.1.EY
231. Il existe plus d'une manièi'e de consulter le sort; quand la probabilité est la même, la moyenne est la même sur un grand nombre d'épreuves, mais les chances d'écart peuvent être diiïérentes. — 232. Expression algébrique du problème à résoudre. — 233. Laplace et Poisson, dans leurs étu les sur la statistique des naissances, ont négligé cette remarque. — 234. Le tirage dans plusieurs urnes donne, pour une même probabilité moyenne, une valeur plus petite au carré de l'écart. — 235. Influence de l'itriporlancc des sommes assurées sur les chances d'écart de la moyenne. La formule obtenue en supposant les tirages faits dans la même urne n'est pas acceptable. — 23G. Loi de mortalité de Gompertz.
231. Les géoinèlres ont lacilement assimilé les événements forliiits à une série de tirages au sort laits dans une urne de composition inconnue. Rien n'autorise, a priori, une telle lijpolhèse. Toutes les manières de consulter le hasard ne sont pas écpiivalentes. Sans vouloir le contester, on s'est montré souvent trop peu sévère dans le choix à faire entre elles. Une première condition est évidente, c'est l'invariabilité approchée du rapport entre le nombre des événements et celui des ('preuves.
Quand cette première vérification réussit, on s'en contente presque toujours ; le rapport constant lait connaître la composi-
lion d'une urne dans laquelle doiveat se faire les tirages fictifs; on en déduit, pour un grand nombre d'épreuves, les conséquences estimées de plus en plus probables.
Si l'on observe, par exemple, dans un pays dont la [)opuIation est stationnaire, le nombre des décès, celui des naissances, le rapport du nombre des fdles à celui des garçons, le nombre des incendies, celui des jours où le vent souffle dans une direction désignée, etc., on tiouvera, avec une approximation inégale, mais toujours grande à la longue, un rapport invariable entre le nombre d'événements d'un genre désigné et le nombre des épreuves. On com|)ren(l dans quel sens est pris le mot épreuve. S'il s'agit, par exemple, des incendies, chaque maison sert d'épreuve, et le rapport dont nous parlons est celui de leur nombre total à celui des sinistres.
Chaque événement fortuit acquiert [)ar ces relevés, quand ils portent sur de grands nombres, une probabilité déterminée sur laquelle, lorscpie les rapports restent constants, ne peut s'élever aucun (Joule.
Si, sur loooo individus âgés de 3o ans, 5ooo atteignent l'âge de 65 ans, on conclura, très légitimement, que pour un boinnie de 3o ans choisi au hasard la probabdité de vivre 35 ans est \.
La conclusion étant acceptée, elle n'autorise pas l'assimilation des cbances de décès des hommes de 3o ans, dans une période de 35 ans, à celles du tirage au sort dans une urne contenant I boule blanche et i boule noire.
Si dans une telle urne on fait loooo tirages, le nombre des boules blanches oljtenues sera 5ooo environ, un peu plus ou un peu moins, selon les caprices du hasard.
Si, sur loooo individus âgés de trente ans, on compte les survivants 35 ans après, ce nombre, d'après les Tables (pii sont très exactes, sera 5ooo enviion, un peu plus, un peu moins, suivant des circonstances que nul ne peut prévoir.
Les deux cas sous ce rapport sont identiques. •
Est-ce là tout ce qu'on doit demander?
J^es nombres comparés diflerent peu de 5ooo.
Mais l'écart dans un cas, celui des décès, est com[)lètement inconnu ; nous n'en pouvons rien dire, moins encore affirmer. Dans
CHAP. XII. — LES LOIS DE L\ STATISTIQUE. 3oi
le cas des tirages an sort, dans une urne, il est soumis à des lois précises.
i^a moyenne de ses valeurs absolues, celles des valeurs de son carré peuvent être, avec confiance, calculées à l'avance.
On peut affirmer que, dans le cas pris pour exemple, sur loooo tirages renouvelés un grand nombre de fois, la valeur inovenne de l'écart sera 4o; celle de son carré, 9,5oo.
Si, en considérant un grand nombre de groupes de lOooo hommes de 3o ans, la moyenne générale des décès en 35 ans étant égale à oooo, la movenne des écarts, au lieu d'être 4o, se trouve égale à loo, on pourra, sans en conclure rexistence d'une cause perturbatrice, accuser de la discord;incc la prétention d'assimiler deux problèmes très différents.
11 y a, nous l'avons dit, bien des moyens de eonsullcn- le hasard; quand ils donnent le même résultat moven, ils ne donnent pas pour cela les mêmes |)robabiliLés d'écart. Au lieu de tirer des boules dans une urne de composition donnée, on peut associer plusieurs urnes de composition diOerente et puiser alli-rnalivement dans chacune d'elles : les résultats m<nens sont les mêmes que pour des tirages faits dans une urne de composition movenne, les chances d'écart ne le sont pas.
Si, pour prendre un cas extrême, au lieu de puiser loooo fois dans une urne contenant i boule noire et i boule blanche, on puisait alternativement dans deux urnes contenant, l'une la boule noire, l'autre la boule blanche, on obtiendrait avec certitude 5ooo fois la boule blanchr, et l'écart deviendrait nul.
La substitution de plusieurs urnes à une seule pour représenter les Tables de mortalité païaît, a pj-iori, très plausible. Parmi les individus d\\ même âge, il est impossible de ne pas faire des catégories pour lesquelles les chances de vie sont inégales. Elles ne sont pas les mêmes pour la ville et pour la campagne ; on doit tenir compte des habitudes d'oisiveté ou de travail, de la profession exercée, de l'intempérance ou de la sobriété, de la longévité des parents, etc. i^a s!atisti(|ue confond tous les cas et donne une moyenne; on approcherait davantage de la vérit(' en formant une Table pour chaque catégorie : chaque Table alors serait remplacée par une urne et les compositions seraient difïérenles.
302 CALCUL DES PROBABILITKS.
SI l'événement éludié est la chute de la pluie et (|ue, dans un lieu déterminé, on observe, en moyenne, sur un grand nombre de siècles, 92 jours de pluie par an, la prohabilité sera, pour qu'il | pleuve un jour donné, ^, cela n'est pas contesté; mais, chaque année, le nombre des jours de pluie s'écartera plus ou moins de 92 : la moyenne des écarts n'a rien de commun avec celle qui se produirait si, chaque année, on faisait 365 tirages dans une urne contenant 92 boules blancbes et •i;-3 boules noires.
La cause de la différence, très probablement, est autre dans ce cas que dans le précédent. La probabilité |)Our qu'il pleuve un jour désigné longtemps à l'avance est ^; mais, pour qu'il pleuve deux jours de suite, elle est très différente de {—)-. Quand il fait mauvais temps, ce n'est pas d'habitude pour un jour seulement; la probabilité d'un tirage est influencée par celle du tirage précédent. Cela ne change rien aux. mojennes, puisque l'urne a été composée précisément pour les rendre égales; mais il n'y a plus entre les écarts, indépendamment de toute cause perturbatrice, aucune relation nécessaire.
232. La question générale semble devoir être posée de la manière suivante :
Un événement fortuit peut, sur y. épreuves, arriver un nombre inconnu de fois : la probabilité pour qu'il arrive n fois est/>„ ; le nombre probable des arrivées sera
Pi -+- 2/92 + 3/^3 + ... + .J./?y :
en le désignant par ;j./j, la statistique indiquera le nombre p comme probabilité de l'événement à chaque épreuve.
Si l'on renouvelle n fois les <^ épreuves, le nombre d'arrivées s'écartera, pour chaque série, de la valeur moyenne ixp. En nommant N,, INo, ...,]N« les nombres successifs sur ^ épreuves, la moyenne
Ni-^ N2-f-N3H-...-^N„
différera peu de u.p. Nous pouvons même la regarder comme égale à [j.yj, car c'est ce rapport seul qui nous fait connaître la probabilité moyenne désignée pav p.
CHAP. XII. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. 3o3
L'écart dans les ix épreuves formant la série du rang i sera
La moyenne des carrés des valeurs de cette différence aiirait(62) une expression très simple, u/?(i— /?), si l'événement était le tirage au sort dans une urne ; elle pourra, sans qu'on s'en étonne, prendre dans le cas général une valeur très différente.
L'étude de ces valeurs dans tous les cas possibles serait intéressante.
La moyenne des carrés de l'expression (3) est identiquement (103)
(4) ^ ' ^ -^ ■-' ' • • — '^" /-Ni-t-^o-
Le second terme différera peu de jjl^/?^ ; cela résulte, nous l'avons dit, de la définition même de/>.
Le premier terme
n'est pas une fonction déterminée de p.
Si les nombres N,, N„ ..., N„ résultent de tirages au sort dans une urne donnant à la sortie d'une boule blanche la probabilité />, on aura approximativement, pour un grand nombre d'épreuves.
Ni-4-N,-^...+ N„
[xp.
(6) Nf + N|+...-HN^
L'équation (5) est évidente.
Le premier membre de (6) peut, si n est grand, être remplacé par la valeur probable de N^, c'est-à-dire par le carré du nombre d'arrivées sur tx épreuves de l'événement dont la probabilité est la somme des termes du développement de {p + qY multipliés chacun par le carré de l'exposant de p. Cette somme a été calculée (183).
3o4 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Si l'on ne connaît sur les probabilités /?,, yOo, ■ ■ • , Pp. que la seule équation
Pi-h ipz-h 'ipî-^. . .-{- lJ.pp,= lip,
à laquelle il faut adjoindre la condition identique
P\^P'>-^P3-^'-- + Pll= l,
l'équation (6) n'est plus démontrée. Il est impossible de connaître, d'après les données, la valeur probable de
Nf + Nl+...+ N^ n égale à
et par conséquent aussi la valeur probable de l'écart représentée par l'expression (4) doit rester inconnue.
233. Lorsque Laplace et Poisson ont cherché les probabilités de certaines anomalies locales dans le rapport du nombre de naissances masculines et féminines, ils n'ont pas tenu compte des J différences très grandes que nous venons de signaler. Leurs calculs sont faits comme si, la naissance d'un garçon avant une certaine probabilité, les résultats possibles d'un nombre quelconque de naissances avaient, à moins de causes perturbatrices, les mêmes chances que si l'on tirait des boules d'une même urne convenablement préparée.
234. Lorsque la probabilité d'un événement est p, la valeur probable du nombre d'arrivées sur jx épreuves est iip, et celle du carré de l'écart entre le nombre véritable et le nombre probable a/? est (62) jU/?(i — p).
Si, à une ui^ne donnant une probabilité p à l'événement, on substitue/z urnes différentes donnant les probabilités/», , /jo, -..^pn, dans lesquelles on puisera alternativement, la probabilité moyenne étant égale à y?, la valeur moyenne du carré de l'écart sera diminuée.
Si l'on tire, en effet, successivement dans les diverses urnes et
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que, le nombre lolal des tira-es étant |jl/?, on ait puisé iji fois dans chacune, le nombre probable des boules blanches sorties sera
