VI PRÉFACE

approfondie des questions souvent controversées ont été proposées dans un Travail dégagé de toute intervention des signes algébriques, imprimé déjà depuis plusieurs années. Il servira d'Introduction à l'exposé complet des théories.

LES LOIS DU HASARD

Comment oser parler des lois du hasard? Le hasard n'estil pas ra%:i thèse de toute loi? En repoussant cette définition, je n'en proposerai aucune autre. Sur un sujet vaguement défini on peut raisonner sans équivoque. Faut-il distraire le chimiste de ses fourneaux pour le presser sur l'essence de la matière ? Gommence-t-on l'étude du transport de la force par définir l'électricité?

Le mot hasard, intelligible de soi, éveille dans l'esprit une idée parfaitement claire. Quand un joueur de tric-trac jette les dés, s'ils ne sont pas pipés, s'il ne sait ni ne veut amener aucun point plutôt qu'aucun autre, le coup est l'œuvre du hasard. Les grands noms de Pascal, de Fermât, de Huygens décorent le berceau du Calcul des hasards. On est injuste en oubliant Galilée. Un amateur du jeu, qui observait les coups et discutait les chances, lui proposa, comme cinquante ans plus tard le chevalier de Méré à Pascal, une contradiction et un doute. Au jeu de passe-dix ^ on jette trois dés et l'on gagne si la somme des points surpasse lo. Les

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chances sont ég^ales ; les combinaisons qui passent lo forment la moitié du nombre total. L'ami de Galilée, très familier avec les dés, s'étonnait de gagner par le point r i plus souvent que par le point 12 et de voir sortir 10 plus souvent (jue 9. Ces quatre points arrivent cependant chacun de six manières, et pas davantage. Pourquoi 11 est-il plus rare que 1 1 ? Fautil nier l'expérience ou douter du calcul? Il faut les accorder en faisant mieux le compte. Les cas que l'on dénombre ne sont pas pareils; /j, 4, 4? par exemple, qui donne 12, n'est pas comparable à 4, 5, 2, qui donne i 1 ; la première de ces combinaisons est unique, chacun des trois dés doit amener 4 ; 4, 5, 2, au contraire, représentent six combinaisons, par la même raison qu'avec trois lettres distinctes on peut écrire six mots différents. Attentif à tout circonstancier, Galilée, au heu de six chances, en montre distinctement vingt-sept pour le point 1 1, vingt-cinq seulement pour le point 12. Le calcul, le compte, pour parler mieux, s'accorde, comme toujours, avec l'expérience des joueurs. (Jialiléc n'en faisait aucun doute. Quoique ce grand géomètre .hic(pies liernoulli, pour avoir établi la loi sur des preuves, ait pris un rang élevé entre les plus illustres, la conviction universelle des joueurs a précédé ses profonds travaux. Quand un dé lui montrait trop souvent la même face, Panurgc, qui s'y connaissait, pour y voir bilï'e et piperie, n'invoquait rien (jue l'évidence. Ainsi faisait l'ami de Galilée : en com[)tant ro8o fois le point 1 1 contre looo fois le point 12, il devinait une cause et voulait la connaître.

Un jour, à Xaples, un homme de la Basilicate, en présence de l'abbé Galiani, agita trois dés dans un cornet et paria d'amener rafle de 6 ; il Tamena sur-le-champ. Cette chance est possible, dit-on ; l'homme réussit une seconde fois, el l'on répéta la même chose ; il remit les dés dans le cornet

trois, quatre, cinq fois, et toujours rafle de 6. « San^ue di Bacco! s' ècvidi l'abbé, les dés sont pipés! » et ils l'étaient. Pourquoi l'abbé jurait-il? Toute combinaison n'est-elle pas possible? Elles le sont toutes, mais inégalement. Galilée nous en avertit. Commençons, pour aller pas à pas, par jeter deux dés ensemble ou deux fois un seul dé, — les deux cas n'en font qu'un. Si deux joueurs parient, l'un pour deux 6, l'autre 6 et 5, les chances, pour eux, sont inégales. Sonnez représente l'une des trente-six combinaisons possibles ; le 6 et 5 en réunit deux. Si l'un arrive deux fois plus que l'autre, faudra-t-il accuser le hasard de partialité? attribuer au point 6 une antipathie occulte pour son semblable? (^ette interprétation n'est pas à craindre.

Si, prenant soixante dés, on compare la réunion des soixante (>, équivalente à trente sonnez de suite, avec la combinaison qui contient chacun des six points précisément dix: fois, les nombres par leur immensité se dérobent à l'imagination, et l'esprit troublé par une telle abondance cherche les causes d'un mystère qui n'existe pas.

Avec soixante dés, pour amener soixante fois 6, une seule combinaison est possible : chaque dé doit montrer le point G. Dix (3, au contraire, et dix fois chacun des autres points, peuvent se distribuer et s'arranger avec tant de variété que, si chacun des arrangements possibles était préparé dans une boite d'un décimètre carré sans que, dans aucune boîte, les mêmes dés présentassent les mêmes faces, la cent-millionième partie de celles que la combinaison désignée enveloppe sous un même nom pourrait couvrir un million de fois la surface de la terre sans y laisser aucun vide. Jeter les soixante dés à la fois, c'est charger le hasard de désigner une des boîtes, et si, dans cette abondance, les combinaisons peu nombreuses ne se montrent jamais, est-ce

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lui qui les exclut? La boîte qui contient les soixante 6, toutes celles môme qui en contiendraient plus de cinquante, sont introuvables dans la masse comme des gouttes d'eau désignées dans l'Océan.

Sur le Pont-\euf, pendant une journée ou pendant une beure, on peut prédire résolument que les passants de taille inférieure à deux mètres l'emporteront par le nombre. Le pont écarte-t-il les géants? Quand, au jeu de dés, on annonce quelles combinaisons prévaudront, c'est, comme pour les passants du Pont-Neuf, une question d'aritbmétique ; les combinaisons qu'on ose exclure forment, dans le nombre total, si les épreuves sont nombreuses, une proportion beaucoup moindre que, parmi les Parisiens, les bommes de six pieds (le baut.

Bufl'on, qui, ce jour-là, manqua de patience, fit jeter une pièce de monnaie en Fair '|oV> fois ; il obtint 204S fois face au lieu de 2020. Ln tel écart n'a rien d'inallendu. Le jeu étudié par BulTon était moins simple que pile ou face. Quelques millions d'épreuves ne [)ourraient ni en révéler ni en infirmer la loi. La pièce jelée en l'air est jetée de nouveau et de nouveau encore, s'il le faut, jusqu'à l'arrivée de face. Butïbn, ayant amené face 20 ^(S fois, a joué U0/4S parties.

Un paradoxe singulier rend ce jeu, — ce pj'oblèinc de Saint-Pélcj'sbourg , c'est le nom qu'on lui donne, — mémorable et célèbre. Pierre joue avec Paul; voici les conditions : Pierre jettera une pièce de monnaie autant de fois qu'il sera nécessaire pour qu'elle montre le coté face. Si cela arrive au premier coup, Paul lui donnera un écu ; si ce n'est qu'au second, deux écus ; s'il faut attendre un troisième coup, il en donnera quatre, buit au quatrième, toujours en doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent être ceux de Pierre? La Science, consultée par Daniel BernouUi, donne

pour réponse : Une somme infinie. I^e parti de Pierre, c'est le mot consacré, est au-dessus de toute mesure.

Les géomètres ont interprété de plusieurs façons et désavoué, comme excessive, la réponse irréprochable de la théorie du jeu. D'Alembert écrivait en 1768 : «Je connais jusqu'à présent cinq ou six solutions au moins de ce problème dont aucune ne s'accorde avec les autres et dont aucune ne meparaît satisfaisante. » Il en ajoute une sixième ou septième, la moins acceptable de toutes. L'esprit de d'Alembcrt, habituellement juste et fin, déraisonnait complètement sur le Calcul des probabilités.

Bufibn, pour expliquer le paradoxe de Saint-Pétersbourg, allègue que posséder ne sert de rien si l'on ne peut jouir. « Un mathématicien, dans ses calculs, — ce sont les propres paroles de Bufîon, — n'estime l'argent ([ue par sa quantité, c'est-à-dire par la valeur numérique; mais l'homme moral doit l'estimer par les avantages et les plaisirs qu'il peut procurer. » On promet à Pierre de doubler son gain à chaque coup qui retarde l'arrivée de face, on ne peut doubler que ses écus. Pierre ne demande rien de plus, Bulfon peut en être certain. « L'accroist de chevance, avait dit avant lui Montaigne, n'est pas l'accroist d'appétit au boire, manger et dormir... »; chacun peut allonger la liste. Daniel Bernoulli, réduisant cette distinction en formule, oppose à la richesse mathématique une richesse morale que l'or accroît, mais si lentement, que toutes les unités, jusqu'à la dernière, procurent un égal contentement.

Cette théorie condamne tous les jeux de hasard. Le conseil de ne jouer jamais, si excellent qu'il soit, ne peut être proposé pour une théorie du jeu. Supposons en présence deux disciples de Bernoulli. «Si je gagne, dirait Pierre, qui est pauvre, en proposant à Paul une partie d'écarté, votre enjeu

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de y^' payera mon dîner. — Repas pour repas, répondrait Paul, vous me devrez 2o'*" en cas de perte, car tel sera le prix démon souper. — Si je perdais 20'', s'écrierait Pierre ellVayé, je ne dînerais pas demain ; vous pouvez, sans en venir là, ])erdre loooo'*", déposez-les contre mes 20''; l'avantage, Daniel Bernoulli raffîrme, restera de votre côté. » — Ils ne s'entendront pas.

Ceux qui suivent Condorcet et Poisson, sans contester la bonne foi de Paul, tiennent ses engagements pour nuls. Si le hasard amenait pile soixante quatre fois, Paul devrait payer autant d'écus que le sultan des Indes ne put donner de grains de blés à l'inventeur du jeu d'échecs Une telle promesse est téméraire ; si riche qu'on le suppose, Paul, ruiné dès le trentième coup, ne pourra plus payer double. Ne comptant plus sur ses promesses, Pierre ne doit pas lespayer^ et le calcul règle le droit de Paul à i5 écus.

On propose à 5o personnes possédant chacune 20 millions et pas davantage d'organiser une loterie à 20 millions le billet. Le gagnant deviendra l'homme le plus riche du monde, les 49 autres seront ruinés. Les 5o vigésimillionnaires acceptent. Ils sont peu sensés, mais équitables. La justice et la raison sont choses distinctes. Au jeu de Saint-Pétersbourg, tout aussi bien qu'à cette loterie, les espérances doivent être payées ; il ne s'agit plus d'un seul, mais d'un nombre illimité de milliards. Le problème imaginé par Daniel Bernoulli dissimule ingénieusement cette énorme mise. 1^'Algèbre, en la dégageant, met la chance à son juste prix.

Les conditions d'un jeu peuvent être équitables et dangereuses ; iniques dans d'autres cas, mais acceptables. Est-il déraisonnable, malgré le o, le double o et le refait, de risquer D^*' à la roulette ou au trente-et-quarante ?

Quant au problème de Saint-Pétersbourg, il faut approuver

absolument et simplement la réponse réputée absurde. Pierre possède, je suppose, un million d'écus et les donne à Paul en échange des promesses convenues. Il est fou ! dira-t-on. Le placement est aventureux, mais excellent ; l'avantage infini est réalisable. Qu'il joue obstinément, il perdra i partie, looo, looo millions, i million de milliards peut-être; qu'il ne se rebute pas, qu'il recommence un nombre de fois que la plume s'userait à écrire, qu'il diffère surtout le règlement des comptes, la victoire, pour lui, est certaine, la ruine de Paul inévitable. Quel jour? quel siècle? On l'ignore ; avant la fin des temps certainement, le gain de Pierre sera colossal.

Une fourmi transporte un grain de poussière de la cime du mont Blanc dans la plaine, retourne sur la hauteur, descend une nouvelle charge et recommence toujours. Après combien de voyages aura- t-elle comblé les vallées et nivelé la chaîne des Alpes? Le premier écolier, sans consulter l'arénaire d'Archimède, fera le calcul sans erreur. Le dessein de la fourmi dépasse ses forces, s'écrieront des gens sages ; elle mourra à la peine. Gondorcet et Poisson ne sont pas moins sages. Pierre est un imprudent ; il entreprend, au delà de son crédit, une opération beaucoup trop longue ; il est aussi certain pourtant de ruiner Paul que la fourmi de niveler la Suisse.

Dans un problème plus célèbre et plus grave, la vie humaine servait d'enjeu. L'inoculation, avant la vaccine, était, contre la variole, le meilleur parti qu'on pût prendre ; mais I inoculé sur 200 mourait des suites de l'opération. Quelques-uns hésitaient ; Daniel Bernoulli, géomètre impassible, calculait doctement la vie moyenne, la trouvait accrue de trois ans et déclarait par syllogisme l'inoculation bienfaisante. D'Alembert, toujours hostile à la théorie du jeu, qu'il n'a jamais comprise, repoussait, avec grande raison cette

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fois, l'application qu'on en voulait faire : « Je suppose, dit-il, que la vie moyenne d'un homme de trente ans soit trente autres années et qu^il puisse raisonnablement espérer de vivre encore trente ans en s'abandonnant à la nature et en ne se faisant pas inoculer. Je suppose ensuite qu'en se soumettant à cette opération la vie moyenne soit de trente-quatre ans. Ne seuible-t-il pas que, pour a[)précier l'avantage de rinoculation, il ne suffit pas de comi)arer la vie moyenne de trente-quatre ans à la vie moyenne de trente, mais le risque de I sur 200, auquel on s'expose, de mourir dans un mois, par rinoculation, à l'avantage éloigné de vivre quatre ans de plus au bout de soixante ans? »

On argumente mal pour vider de telles questions : supposons que Ton puisse, par une opération, accroitie la vie moyenne, non plus de quatre, mais de quarante ans, à la condilion qu une mort immédiate menacera le ([uart des opérés : un quart des vies sacrilié pour doui)lcr les liois autres, le bénéfice est grand. Qui voudra le recueillir? Quel médecin fera l'opération? Qui se chargera, en y invitant 4000 habitants robustes et bien portants d'une même commune, de commander pour le lendemain 1000 cercueils? Quel directeur de collège oserait annoncer à 3o mères, qu'empressé à accroître la vie moyenne de ses 200 élèves, il a joué pour eux ce jeu avantageux et que leurs iils sont les perdants? Les parents les plus sages acceptaient i chance sur 200; aucun, sur la foi d'aucun calcul, ne s'exposerait à i chance sur 4-

Un jeu, sans blesser la justice, peut causer de grands dommages; il peut être périlleux d'y échanger les chances de perte et de gain, les règles que doivent suivre ceux qui veulent commettre cette imprudence n'en reçoivent aucun changement.

Un ingénieur calcule la charge capable d'abaisser de o'°,5o