CHAP. I. — ENUMERATION DES CHANCES
plus grande que le côlé du triangle écjuilatéral, doil se trouver dans celui des Irois angles qui est compris entre les deux autres. La probabilité pour que le hasard entre trois angles égaux qui peuvent le recevoir le dirige dans celui-là semble, par définition, égale à j.
On peut dire aussi : si l'on connaît la direction de la corde, ce renseignement ne change pas la probabilité. La symétrie du cercle ne permet d'v attacher aucune influence, favorable ou défavorable à l'arrivée de l'événement demandé.
La direction de la coi-de étant donnée, elle doit, pour être plus grande que le côté du triangle équilatéral, couper l'un ou l'autre des rayons qui composent le diamètre perpendiculaire, dans la moitié la plus voisine du centre. La probabilité pour cpi'il en soit ainsi semble, par définition, égale à |.
Ou peut dire encore : choisir une corde au hasard, c'est en choisir au hasard le point milieu. Pour que la corde soit plus grande (pie le côlé du triangle é(piilatéral, il faut et il suffit que le point milieu soit à une distance du centre plus petite que la moitié du rajon, c'est-à-dire à l'intérieur d'un cercle (|uatre fois plus petit en surface. Le nombre des points situés dans l'intérieur d'une surface (pialre fois moindre est quatre fois moindre. La probabilité pour (pie la corde dont le milieu est choisi au hasard soit plus grande que le côté du triangle équilatéral semble, par définilion, égale à {-.
Entre ces trois réponses, quelle est la véritable? Aucune des trois n'est fausse, aucune n'est exacte, la question est mal posée.
6. On choisit au hasard un plan dans l'espace; quelle est la probabilité pour qu'il fasse avec l'horizon un angle plus petit
que-?
On peut dire : tous les angles sont possibles entre o et —, la
probabilité pour que le choix tombe sur un angle intérieur à -:
est {.
On peut dire aussi : par le centre d'une sphère, menons un rayon |)ei|)en(liculaire au plan en question. Choisir le plan au
6 CALCUL DES PROB VBILITÉS.
hasard, c'est choisir au hasard le point où cette perpendiculaire perce la sphère.
Pour que l'ar)gle du plan avec l'horizon soit plus petit que-> il faut que la perpendiculaire coupe la sphère dans l'intérieur d'une zone dont la surface est
•mR^/i — cosy j = 47:R2sin2|-
Le rnpport de la surface de cette zone à celle de la demi-sphère est
2Sin2- — 0,29.
La probabilité est donc 0,2g.
C.etle question, comme la précédente, est mal posée et les deux réponses contradictoires en sont la preuve.
T. On fixe au hasard deux points sur la surface d'une sphère; quelle est la probabilité pour que leur distance soit inférieure a 10.'
Le premier point peut être supposé connu, la position qu'il occupe, quelle qu'elle soit, ne change rien à la probabilité cherchée.
Le grand cercle qui réunit les deux points peut être également supposé connu, les chances possibles sont les mêmes dans toutes les directions. Si l'on partage ce cercle en 2160 arcs de 10'. de manière que le point commun soit un point de division, les points situés dans les deux arcs séparés par le point donné remplissent seuls la condition demandée : la probabilité est donc j^âô ^ TôTô •
On peut dire aussi : le premier point étant connu, pour que le
second soit à une distance moindre que 10', il faut qu'il soit situé
dans une zone dont la surface est
4tcR2 sin2 5 = j'î^R" sin- — ;t- •
Le rapport de la surface de cette zone à celle de la sphère est
plus de deux cents fois plus petite que 777^.
CHAP. I. — EXtMERATIOX DES CHANCES. 7
Les probabilités relatives à la distribution des étoiles, en les supposant semées au hasard sur la sphère céleste, sont impossibles à assigner si la question n'est pas précisée davantage.
8. L'application directe de la définition, lorsque les cas possibles sont en nombre déterminé et d'égale vraisemblance, est souvent, au contraire, un problème facile appartenant à la théorie des combinaisons.
Problème L — On jette une pièce de monnaie n fois de suite. Quelle est la probabilité pour que pile et face se succèdent dans un ordre assigné?
Pile et face, à chaque épreuve, sont également possibles. Toutes les successions présentent des chances égales. Leur nombre, pour n épreuves, est 2", car chaque jet nouveau présente deux cas possibles qui, l'un et l'autre, peuvent s'associer à chacune des combinaisons précédentes, dont le nombre est par conséquent doublé. Parmi ces 2" combinaisons, une seule est demandée. La probabilité est-^. L'arrivée de face ou de pile est prise ici comme le ■2" ^ '
type d'un événement dont la probabilité est ^-.
La probabilité de voir, à la roulette, la rouge et la noire se succéder dans un ordre assigné serait exactement la même.
Quelle est, par exemple, la probabilité pour que, la rouge se montrant au premier coup, la couleur change sans interruption à chacun des 29 coups suivants?
La probabilité est
— = o,oooooo()Ooq3i 33.
La piobabilité pour que, pendant les trente premiers coups, la rouge et la noire se succèdent sans que la même couleur sorte deux fois de suite est double de la précédente. La suite alternée peut commencer par rouge ou par noire. Cela fait deux cas possibles.
9. Problème IL — Quelle est la probabilité pour obtenir avec un dé à six faces n fois de suite le point 3?
8 CALCUL DES PROBAUILITKS.
A chaque jer, six cas sont possibles et peuvent s'adjoindre à chacune des combinaisons précédentes, dont le nombre est ainsi sextuplé. Le nombre des combinaisons possibles sur n épreuves
est donc 6"; une seule est demandée, elle a pour probabilité^-
10. Problème III. — Quelle est la piobahilité pou?' amener avec deux dés une somme de points égale à ']!
Le nombre des cas possibles quand on jette deux dés est 36. La somme ^ peut être obtenue par 6 et i , 5 et 2, 4 6t 3. Chacune de ces manières représente deux cas; 6 et i, par exemple, peut résulter de 6 donné par le premier dé avec i donné par le second, ou de I donné par le premier avec 6 donné par le second.
Sur 36 cas possibles, 6 sont favorables; la probabilité est ^
11. Problème IV. — Quelle est la probabilité pour amener avec deux dés n fois de suite le point 'j?
Le nombre des combinaisons possibles sur n épreuves faites avec deux dés est 36".
Chacune des six combinaisons qui, à chaque épreuve, peuvent amener la somme •-, en s'associant à toutes les précédentes, multiplie par 6 le nombre des cas favorables. Le nombre total de ces cas pour les n épreuves est donc 6". La probabilité, rapport du nombre des cas favorables à celui des cas possibles, est
12. Problème V. — Quelle est la probabilité, en jetant deux dés, pour avoir une somme de points égale à 8?
La somme 8 peut être comme la somme 7, oblenue de trois manières : 6 el 2, 5 et 3, 4 et 4; niais ces trois manières représentent cinq cas et non six. Le doublet 4 el 4 ne peut se produire, en effet, que si les deux dés donnent 4- Le nombre des cas possibles est 5 el la probabilité est ^g ■
