CHAP. I. — KM MÉ RATION DES CHANCES
13. Problème VI. — Quelle est la probabilité, en jetant deux dés trois fois de suite, pour amener une fois au moins un doublet.
Le nombre des combinaisons possibles sur trois épreuves est
A chaque coup, six combinaisons sont des doublets, trente n'en sont pas. Le nombre total des combinaisons qui ne contiennent aucun doublet est donc, sur trois épreuves, 3o^ ou 2jooo. Le nombre des combinaisons (pii conliennenl un doublet au moins est
3(')^ — So^ = 19636.
La probabilité demandée est
196 if)
14. Problème VIL — Quelle est la probabilité pour qu'en jetant deux dés n fois de suite on amène sonnez au moins une fois ?
A chaque fois que Ton jette deux dés, U' nombre des associations de points possibles est 36; 35, sur ces 3(3, sont autres que sonnez.
Le nombre des combinaisons possibles en n coups est 36"; le nombre de celles dont sonnez est exclu est 35"; le nombre des condîinaisons (jui contiennent une ou plusieurs fois sonnez est
La probabilité demandc'C est
Si l'on veut que celle probabilité soit 4-, il i'Aul di^terminer n par l'équation
lO CALCUL DES PROBABILITES.
On en déduil
Si l'on parie d'amener sonnez en 24 coups, les chances de perte l'emportent sur celles de gain. C'est le contraire si l'on accorde 20 coups.
Le problème précédent, proposé à Pascal par le chevalier de Méré, a été l'occasion des premières recherches sur le Calcul des probabilités.
« Je n'ai pas le temps, écrivait Pascal à Fermât, de vous envoyer la démonstration d'une difficulté qui étonnait fort M. de Méré; car il a un très bon esprit, mais il n'est pas géomètre. C'est, con)me vous savez, un grand défaut. Il me disait donc qu'il avait trouvé difficulté sur les nombres |)Our cette raison : Si l'on entreprend de faire 6 ;tvec un dé, il y a avantage de l'entreprendre par 4 coups. Si l'on entreprend de faire sonnez avec deux dés, il y a désavantage de l'entreprendre en 24 coups, et néanmoins 24 est à 36, qui est le nombre des faces des deux dés comme 4 est à 6, qui est le nombre des faces d'un dé.
» Voilà quel était son grand scandale et qui lui faisait dire hautement que les propositions n'étaient pas constantes et que l'Arithmétique se dément. »
La réponse ne pouvait embarrasser ni Pascal ni Fermât.
Il semble que l'exemple d'un dé à deux faces, c'est-à-dire d'une pièce de monnaie, aurait suffi pour ouvrir les yeux de Méré. Sur I coup, avec une pièce de monnaie, on peut parier sans avantage ni désavantage, d'amener une fois pile. Avec un dé à six faces, Méré le savait, il y a avantage à entreprendre d'amener un point donné en 4 coups. La proportion est donc en défaut, et la petitesse des nombres [)ermet d'en apercevoir aisément la raison.
Lorsque le nombre des faces d'un dé s'accroît et lorsque l'on augmente le nombre des tirages, le nombre total des cas [)ossibles et celui des cas qui contiennent un point donné ne croissent proportionnellement ni au nombre des faces ni à celui des coups.
On peut s'en assurer soit par l'examen des cas les plus simples, soit par la recherche d'une formule. La première méthode était
