CH\P. I. — ÉNIMKRATION DES CHANCES. II
seule accessible au chevalier de Méré. Pascal, en voulant lui expliquer l'autre, a aperçu son grand délaul : il n'était pas géomètre.
13. Problème VIII. — La probabilité d'un événement est p, combien faut il tenter d'épreuves pour que la probabilité de voir C événement se produire au moins une fois dépasse une fraction donnée /?
Supposons que, dans une urne, soient contenues m boules blanches et n boules noires, m et n élanl telles que
ni -H n
Il faut chercher combien de tirages doivent être tentés pour que la probabilité d'amener une boule bbtiiclie soit plus grande que r.
La boule sortie est remise dans l'urne après chaque épreuve, de telle sorte que la |u-obabililé reste, à cbaque tirage, égale à p.
Le nombre des combinaisons possibles, sur A" épreuves, est
le nombre de celles qui ne contiennent pas de boules blanches est n*.
Le nombre des combinaisons contenant une boule blanche au
moins est
La probabilité demandée est donc
Le nombre k des épreuves à tenter pour que celte probabilité soit égale à /■ est donné par l'équation
d'où
Cette valeur de A- n'est pas, en général, un nombre entier. Pour
12 CALCUL DES PROBABILITES.
un nombre d'épreuves plus petit que A", la probabilité de voir une boule blanche sortir sera moindre (]ue /'; elle surpassera ;• si le nombre des épreuves est plus grand que k.
Lie chevalier de Méré se scaudalisait de ue pas voir k inversement proportionnel à/?.
(( Pourquoi, disait-il, pour /> = jJjr, k n'est-il pas six fois plus grand que pour y:> = i? »
La formule (i) sert de réponse pour les géomètres; elle montre que, pour de petites valeurs de/>, la proportionnalité supposée par de Méi'é s'éloigne peu de la vérité.
On a, en effet,
Si p est très petit, on peut su[)poser K^ — P) =—p-
Le nombre k des épreuves est donc, à très peu près, pour une valeur donnée de r, proportionnel à -, pourvu que p soit très pelit.
On a, en supposant les logarithmes népériens, ce qui est permis dans la formule (i), dont cela ne change pas les rapports,
^Tô =— ^10 = — '2,3o:>.5, ^Foif = — /loo = — 4,fio5i, ^TôTô" = — ^iooo = — 6.9077, ^TToôô = — ^ loooo = — 9,210.
J^a formule (i) donne donc les théorèmes suivants :
Si un événement a pour probahilité ~^ N étant assez grand pour
qu'on puisse négliger ^i et prendre — i pour le logarithme népérien de 1— p;j, le nombre des épreuves qu'il faut tenter pour acquérir les probabilités ^, |, 4., ^^, ^^i^, JÏ121. de voir l'événe-
CHAP. I. — KNUMÉRATION DES CIlANCKS. l3
ment se produire an moins une fois esl :
Pour la probabilité j o,(i9N
» "HT 2,3o25N
iVô 4,«^^o5N
TTÔT (>.907N
(3n peut s'expliquer sans calcul comment, avec le nombre des épreuves, la probabilité s'accroît pour devenir rapidement une quasi-certitude.
Le chevalier de Méré aurait accepté sans étonnement le premier chiffre du Tableau. Il y a chance égale, il l'avait reconnu, pour que sonnez^ dont la probabilité est ■—. ;irrive ou n'arrive pas en ■i4 coups, environ. 24 est les | de 36, comme OjôgN esl, à peu près, les| de N.
La proportion n'est })as exacie, mais ;ipprochée.
Quand le nombre des épreuves est 9,2N, on peut le partager en i4 groupes, environ, de Ojô'gN chacun. Celui cpii a parié pour l'arrivée de l'événement une fois au moins en 9,2N coups est dans le même cas que s'il était admis à renouveler quatorze lois une épreuve qui donne probabilité égale pour gagner ou pour perdre.
Ne pas voir une seule lois l'arrivée de l'événement est, pour lui, aussi peu vraisemblable que de perdre quatorze lois de suite à pile ou face.
16. Problème IX. — Quelle est la probabilité pour qu'en tirant n boules de suite dans une urne qui en contient jj., marquées 1 , 2, 3, . . . , jjL, et remettant la boule sortie après chaque tirage, k numéros désignés soient sortis au moins une fois?
Lorsque k est égal à i, un seul numéro étant désigné, le nombre des combinaisons qui le contiennent est
(2) -J."— ( [JL — 1)".
Il faut, en effet, retrancher du nombre total des combinaisons, u", le nombre des combinaisons qui restent possibles quand le numéro désigné est laissé en dehors.
l4 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Pour avoir le nombre des combinaisons qui contiennent deux numéros désignés, il faut retrancher de (2) le nombre des combinaisons qui, ne contenant pas le second, contienuenl le premier; ce nombre est donné par la même formule, dans laquelle ^ est remplacé par [j. — i ,
([JL-l)«-(}Jl-'2)".
Le nombre des combinaisons qui contiennent une ou plusieurs fois deux numéros désignés est donc
(3) tJL«- 2([JL — I)«H-([JI — 2)".
Pour avoir le nombre des combinaisons qui contiennent trois numéros désignés, il faut, de (3), retrancher le nombre des combinaisons qui, ne contenant pas le troisième, contiennent les deux premiers. Ce nombre s'obtient en remplaçant dans (3) ^ par UL — I ; il est
(H — l)"— 2O — 2)"-+-{ [JL— S)'».
Le nombre des combinaisons qui contiennent une ou plusieurs fois trois numéros désignés est
(4) [j,«3(fji — i)«+3([a-'2)«- ([^-3)«.
La méthode est générale. Le nombre des combinaisons qui contiennent k numéros désignés est
ix^ — k{ Il — i)'^H ([i. — 2)«. . . ± ( ,a — k)".
En divisant ce nombre par pt.", nombre des combinaisons possibles, on aura la probabilité demandée.
Si l'on suppose ^ = [ji, on aura la probabilité pour que n tirages fassent sortir tous les numéros
La suite contient a + i termes.
CIIAP. I. — KNUMKRATION DK» CHANCKS. l5
Si n et [X sont grands, on a approxinialivemenl
lt\" I = e
Ces formules d'approxinialion sont applicables aux |)remiers termes de (5); les autrt-s sont négligeables, et l'on peut représenter approximativement la probabilité pour que tous les numéros soient sortis en n tirages par
17, Problème X. — Une urne contient jx boules marquées I, 2, 3, ..., u. On les tire successivement, sans les remettre dans l'urne quand elles sont sorties. Quelle est la probabilité pour que, parmi k boules désignées, aucune ne sorte à un rang égal au numéro dont elle est marquée?
Les combinaisons dans lesquelles une boule désignée n'est pas à son rang sont au nombre
( (■) ) 1 . 9. . 3 . . . ij. — I . ->. . 3 . . . ( [i. — I ).
Le nombre de celles dans lesquelles deux boules désignées ne sont ni l'une ni l'autre à leur rang s'obtiendra en retranchant de
(6) le nombre de celles dans lesquelles, la seconde boule étant à son rang, la première, dans l'arrangement des [jl — i autres, ne serait pas au sien. Ce nombre s'obtient en remplaçant dans (6) |jL pai- u — I ; il est
