JL — I ) — 1.2.3. ..( [JL
Le nombre des combinaisons dans lesquelles deux boules désignées ne sont ni l'une ni l'autre à leur rang est, par conséquent,
(7) 1.2.3. . .u— A.i.a.S. ..([JL — i)-M.2.3. . .([X — 2).
l6 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Pour avoir le nombre des combinaisons clans lesquelles trois boules désignées ne sont pas à leur r.mg, il faut reli;incher du nombre (^) le nombre des combinaisons dans lesquelles, la troisième étant à son rang, les deux autres ne sont pas aux leurs dans les u. — I boules restantes. Ce nombre s'obtient en remplaçant dans ('-) 'j. par <j. — i ; il est
( 8 ) I . 2 . 3 . . . ( [JL — I ) — 2 . I . 2 . 3 . . . ( [Jl — 2) -H 1 . 2 . 3 . . . ( [JL — 3 ).
La différence ave(; (j) est 1.2.3. . .iji — 3. 1.2.3. . .(fJi — 1) -I- 3. 1.2.3. . .(;JL — 2) — 1.2.3. . .(ij. — 3).
La mélhode est générale. Le nombre des combinaisons dans lesquelles k boules ne sont pas à leur |)lace est
1 . 2 . 3 . . . iJL — A' . 1 . 2 . 3 . . . ( [JL — i) -î 1 . 2 . 3 . . . ( u • — 2) — .
La probabilité pour qu'aucune des boules désignées ne sorte à son rang est le quotient de (9) par le nombre i . 2 . 3 . . . [Ji des combinaisons possibles.
En supposant k = ^, on obtient la probabilité pour que, dans le tirage de toutes les boules, aucune ne sorte à son rang; elle est
Le nombre des termes dont la loi est évidente est celui des numéros de l'urne augmenté de un.
La série (10), si on la prolongeait indéfiniment, re|)résenterait -• Si donc D, n'est pas un très petit nombre entier, la probabilité devient, quel que soit le nombre des boules, très voisine de ->
La probabilité pour qu'un numéro au moins sorte à son rang
est
CHAP. I. — ENUMERATIOX DKS CHANCI-S. I7
Voici, du reste, les valeurs, pour
^a = I, 9.. . . . j 10, II,
de la probabilité p^^ à moins d'une demi-unité du septième ordre décimal :
p 1 = 0.0000000, p-i =z o,5oooooo, /?3 = o,333333'i, yOi = 0.3700000, /j^ = 0,3666667, Pi = o.368o356, p- = 0,3678671 ,
/>9 = o,3()7879-2, /),o = 0,3678795, Pu = 0,3678794.
On voit donc que, dès que ij. est égal ou supérieur à 9, la différence entre p et - n'atteint pas un millionième.
18. Problème XI. — Pierre et Paul sont soumis à un scrutin de ballottage ; l'urne contient m bulletins favorables à Pierre, n favorables à Paul; m est plus grand que n, Pierre sera élu. Quelle est la probabilité pour que, pendant le dépouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un ordre tel que Pierre ne cesse pas un seul instant d'avoir l'avantage.
Le nombre des combinaisons possibles est celui des arrangements àe. m -\- n lettres, parmi lesquelles m semblables entre elles représentent le nom de Pierre et les n autres, semblables aussi, représentent le nom de Paul.
Le nombre de ces arrangements est
Cherchons le nombre des arrangements dans lesquels Paul, à un certain moment, aura le même nombre de voix que Pierre. Parmi ces arrangements, il faut compter tous ceux qui com- B. 2
jg CALCUL DES PROBABILITES.
niencent par le nom de Paul. Leur nombre est celui des arrangements de m + n — i lettres, parmi lesquelles m semblables entre elles représentent le nom de Pierre, et les n - i autres celui de Paul. Ce noiTibre est
ils forment la moitié, précisément, du nombre que nous cherchons.
Nous allons démontrer, en effet, que tous les dépouillements commençant par le nom de Pierre, et dans lesquels l'égalité des suffrages'se produit à un certain moment, correspondent un à un, d'une manière parfaitement détern.inée, aux arrangements de ^+n — I lettres dont le nombre est représenté par la formule (i i).
Représentons par la lettre A les bulletins qui portent le nom de Pierre et par B ceux qui portent le nom de Paul.
Considérons une combinaison commençant par A et dans laquelle, à un certain moment, quand on appelle tous les termes à partir du premier, le nombre des B est égal à celui des A. Arrêtons-nous dans cette énuméralion faite de gauche à droite la première fois que cette égalité se produit. Enlevons le groupe déjà appelé, iransporlons-le à la fin de la combinaison, après avoir enlevé le B qui le termine nécessairement. Nous formerons la combinaison de m + n - i lettres, conjuguée de celle que nous avons choisie.
Par exemple, la combinaison
AABBABAB,
qui contient quatre A et quatre B, donnera
ABABAAB,
qui contient quatre i - et trois B.
La combinaison de m + ai — i lettres, déduite, comme nous l'avons dit, de l'une des combinaisons commençant par A dont nous voulons faire le compte, permet, quand elle-même est donnée, de retrouver celle dont on l'a déduite. Il suffit d'y appeler les lettres en commençant par la droite jusqu'au moment, qui ne peut.
CHAP. I. — ÉNUMÉRATION DES CHANCES. lO
manquer de se produire, puisque les A. sont en majorité, où le nombre des A surpassera d'une unité celui des B. On enlèvera alors le groupe ainsi défini pour en faire le commencement de la combinaison, en le transportant à la gauche après l'avoir séparé des termes non transportés, qui gardent leur ordre, par la lettre B ajoutée à la fin.
Le nombre total des dépouiilonents dans lesquels le ..ombre des lettres B, à un certain ...ornent, atteint l'égalité est donc
En le divisant par le nombre total des arraiigemenls distincts
le quotient
■xn
m -,- Il
est la probabilité pour que Pierre, pendant la durée du scrutin, |)erde, à un certain moment, l'avanlaiie.
La probabilité pour que Pierre garde toujours l'avantage est
Cette ingénieuse démonsi.-ation est due à M. André.
19. Problème XII. Une urne contient ^ boules numérotées I, 2, 3, ..., a. Quelle est la probabilité pour que, dans n tirages, la somme des numéros sortis soit égale à k'I
On suppose qu'après chaque tirage la boule sortie soit remise dans l'urne.
Le nombœ des combinaisons possibles est a«, puisque chacun des ^ numéros peut sortir à chacun des n tirages.
Le nombre des cas favorables à l'événement demandé est le nombre des manières de former une somme égale à A-avec n nombres inteneurs a j^+i. Cette somme est, évidemment, le coefficient de V^ dans le développement de
^^' {t ^ f--^.. .■+■ tV-)"-
CALCUL DES PROBABILITES.
ordonné suivant les puissances de t. Par quelque voie que l'on effectue ce développement, les coefficients des puissances de t feront connaître les numérateurs des diverses probabdités dont le dénominateur commun est ^'^.
On a
L'expression (i) peut donc s'écrire
Les développements du deuxième et du troisième facteur se feront par la formule du binôme.
Le troisième donnera un développement illimité; mais la multiplication fera disparaître tous les termes dans lesquels l'exposant
est négatif.
Le Tableau suivant a été formé par cette méthode. On j a inscrit en regard de chaque somme demandée, et pour un nombre de tirages inférieur à huit, le nombre des combinaisons qui la produisent en supposant u. = 6.
Les tirages peuvent être remplacés par des dés, en nombre égal à n, que l'on jette à la fois sur le tapis. La somme des points est inscrite dans la première colonne verticale, le nombre des dés en tète de chaque autre colonne, et le nombre des combinaisons sur la colonne horizontale commençant par la somme demandée.
Nombre demandé.
1 dé.
2 dés.
3 dés.
4 dés.
5 dés.
6 dés.
7 dés.
8 dés
lO
CIIAP. I. — ENUMERVTION DES CHANCES. 21
Nombre demandé. 1 dé. 2 dés. 3 dés. i dés. 5 dés. 6 dés. 7 dés. 8 dés.
IS o o 10 140 6Ji 1666 2807 3368
23 0000 126 2856 24017 ii3()88
20. Problème XITI. — Combien faut-il jeler de fois trois dés pour avoir la probabilité p d' amener une fois au moins le point iD?
La probabilités d'amenei- i5 en jetaiil trois dés est, d'après le Tableau précédent,
2ij5= 0,0462963.
La probabilité d'amener i5 une fois au moins en n coup» est
Le nombre n est donc donné par léqiiation (i— 5;'= \- p\ on trouve, en faisant
En jetant quinze (bis les trois dés, la probabilité d'amener i5 est plus grande que i; elle est plus grande que f en les jetant trente fois et que ,'„ en les jetant quarante-neuf fois.
aa CALCUL DES PROBABILITÉS.
21. Le jeu du passe-dix, autrefois fort en vogue, donnait aux deux adversaires chance égale de gagner.
Pierre jetait trois dés et gagnait si la somme des points surpassait lo; il perdait dans le cas contraire.
Le Tableau montre que, dans le cas de trois dés, les points supérieurs sont précisément en même nombre que les points non supérieurs à lo; ii a aulant de chances que lo, 12 que 9, i3 que 8, etc.
La même symétrie se rencontre pour les points obtenus avec cinq ou sept dés. Avec (quatre, six ou huit, il existe un maximum pour lequel il n'j a pas de point conjugué.
La raison en est simple. Sur un dé, le point 6 et le point i sont sur des faces opposées, le point 5 est opposé à 2 et 4 à 3. Si donc on jette sur une table 2n-hi dés, la somme des points marqués par les faces posées sur la Table, ajoutée à celle des points marqués par les dés, sera 7(2/1 + 1). Si l'une des deux sommes est plus grande que 7/^ + 8, l'autre sera au plus égale à 7/1 + 8. Celui qui parierait d'amener un point supérieur à 7/1 + 83 donc pour lui la moitié des chances; lorsque 2/1 + 1^8, n est égal à i et 7/1 + 8 est égal à 10. Si l'on jouait avec cinq dés, il faudrait au passe-dix, pour laisser les chances égales, substituer le passe-dixsept. I
C'est pour cette raison que les derniers chifTres du Tableau ont été supprimés. Veut-on savoir, par exemple, le nombre des manières d'amener 44 avec 8 dés. Ce nombre est le même pour 28 + 16 et pour 28 — 16, ou I 2 ; il est donc 880.
CHAI'. II. — PUOBABILITÉS TOTALES ET CO.MPOSÉES. iS
