PROBABILITES TOTALES ET PROBABILITÉS COMPOSÉES

Un (les points les pins importants do la théorie des probahililés el l'clui qui prèle le plu^ aux illusions est la manière dont les probabilités aufçnienlent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles.

r.APLACE.

■22. Les solutions de problèmes isolés ne font pas une théoiie. — 23. Théorème des probahililés totales. — 2'i. Probabilités composées. — 25. Cas où le premier événement influe sur la probabilité du second. — 26. Le- tlu-orèmes ne sont démontrés que dans les cas pour lesquels la probabilité est dèOnie: on complète les définitions. Les théorèmes deviennent généraux. — 27. Erreur commise dans la théorie du tir à la cible. — 28. Erreur commise dans la théorie des gaz. — 29. Erreur commise dans l'appréciation des pronostics sur le temps. — 30. Problème relatif aux tirages faits dans une urne. Fausseté d'un raisonnement en apparence très plausible. — ,*}!. Probabilité du brelan au jeu de la bouillotte. — 32. .\vantage du banquier au jeu de trente-et-quarante. — 33. Etudes sur le jeu du baccarat. — 3'i. Problème de la poule.

2^2. La solution des problèmes précédents n'a pas exigé de principes nouveaux. Le compte des cas favorables rapproché de celui des cas possibles appartient à la théorie des combinaisons. L'ingénieux et bizarre Cardan, bon géomètre el grand ami des ♦dés, connaissait pour chaque coup le nombre exact des chances; (il l'a publié sans devenir, pour cela, l'inventeur de la Science du Itasard.

Une Science doit enchaîner les cas simples aux cas composés et ireposer sur des principes. Ceux du Calcul des probabilités sont aussi simples que féconds.

24 CALCIL DES PROBABILITÉS.

Deux théorèmes fondamentaux renconlreul des applications à chaque page pour ainsi dire de la théorie des chances. Nous les démontrerons d'abord dans les cas où la probabilité a été définie. L'étude des autres cas ne peut précéder, évidemment, la définition du sens exact attaché aux mots qui y figurent.

23. Probabilités totales. — La probabilité d'un événement étant, par définition, le rapport du nombre des cas favorables à celui des cas possibles, si l'on partage les cas favorables en plusieurs groupes, la probabilité de t événement sera la somme des probabilités pour qa' il appartienne à chacun des groupes. On ajoute en ellet les fractions de même dénoniiniiteur en ajou- (ant les numérateurs.

La probabilité d'amener avec trois dés une somme de points supérieure à i4 est la somme des probabilités pour obtenir i5, i6, I ^ ou i8.

Le choix des groupes est arbitraire, sous la seule condition, bien entendu, d'j enfermer tous les cas possibles sans qu'aucun s'v rencontre deux fois.

Si, par exemple, pour calculer la probabilité d'amener 50/z/ie2 une fois au moins en 20 coups, on faisait la somme des probabilités calculées pour chaque coup, on appliquerait mal le principe. Le sonnez obtenu à un coup n'empêche [)as celui du coup suivant; on compterait vingt lois, de cette manière, la série de coups dans laquelle sonnez arrive vingt fois.

La probabilité d'amener avec deux dés le point 3 ou le point 4 n'est pas la somme de la probabilité pour amener 3 et de celle pour amener 4- On peut, en effet, les amener tous deux; et le point 3 et 4j compté une première fois comme contenant 3, ne doit pas l'être une seconde comme contenant 4-

24. Probabilités composées. — Un événement composé est défini par le concours de plusieurs événements simples que le hasard doit amener successivement ou simultanément. Le nombre N des cas possibles, lorsque les événements simples sont indépendants, est le produit a, [ji.2 . . . [jl^ des nombres de cas possibles dans chacun d'eux, chaque cas de l'un des groupes pouvant s'associer avec tous les cas des autres groupes. Le nombre des cas favorables