CHAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES
au concours des événements simples dont la réunion forme l'événement composé est, par une raison semblable, le produit des nombres de cas m,, mo, . . . , thr favorables à l'arrivée de chacun d'eux.
La probabilité de l'événement composé est donc
c'est le produit des probabilités des événements simples.
25. La probabilité cC un événement composé est le produit des probabilités des événements simples dont il exige la réunion. Un cas doit être |)révu, c'est celui où la probabilité du second événement est influencée par la manière dont se produit le premier. Si, par exemple, une urne contient deux boules blanches et deux boules noires, quelle est la probabilité, en liranL deux houles de suite sans les remettre dans l'urne, [)Our obtenir les deux boules blanches? La probabilité d'en obtenir une au premier tirage est ;^; mais, au second, elle est douteuse : égale à | si le premier tirage a enlevé une l)oide noire, elle sera | seulement si la boule disparue est blanche. Quelle est celle de ces deux fractions qui doit servir de multiplicateur? C'est la seconde, évidemment. Dans le premier des deux cas supposés, l'événement demandé est devenu impossible. Peu importe la probabilité des épreuves qui viennent ensuite.
La probabilité d'un événement composé est le produit de la probabilité du premier événement par la probabilité qu'acquiert le second quand on sait que le premier est arrivé.
On a souvent commis des erreurs graves en oubliant les derniers mots de cet énoncé.
26. Les deux théorèmes précédents sont et doivent être incomplètement démontrés. La probabilité, en effet, n'a été définie que pour une classe très restreinte d'événements. 11 en existe d'autres, incertains comme eux, dans lescjuels l'énuméralion des cas ne peut rien apprendre. Les principes leur sont-ils applicables? Sont-ils dès à présent démontrés pour eux ?
Les principes sont ap|)licables.
26 CALCUL DES PUOBABILITÉS.
Ils ne sont pas encore démontrés. Comment le seraient-ils? Les | probabilités dont ils donnent la mesure n'ont pas même été définies.
Quelle est la probabilité pour que la Seine soit gelée à Pans dans le courant de l'année iQpS?
Pour qu'un médecin appelé près d'un malade sache découvrir la nature, la cause et le remède du mal?
Pour qu'un homme âgé de quarante ans, aujourd'hui bien portant, atteigne l'âge de soixanle ans?
11 faut compléter la définition; tous ces cas lui échappent.
La probabilité d'un événement, quelle qu'en soit la nature, est dite égale à une fraction donnée/?, lorsque celui qui attend l'événement pourrait échanger indifféremment les craintes ou les espérances, les avantages ou les inconvénients attachés à l'arrivée de cet événement contre les conséquences supposées identiques de la sortie d'une boule puisée dans une urne dont la composition fait naître une probabilité égale à/?.
Comment, dans des cas tels que ceux qu'on a cités, justifier une telle assimilation? Ce n'est pas en ce moment la question. Si l'assimilation est im|)Ossible, on ne le fera pas. Si on la fait, il faudra la justifier.
La définition, dans les deux cas, reste irréprochable.
Lorsque l'assimilation sei a faite et justifiée, on en acceptera les conséquences.
On aura le droit de dire, par exemple :
Si, après avoir appelé un médecin, on évalue à :j^ la probabilité pour qu'il vienne el à * la prohabilité pour qu'il procure, s'il vient, la guérison du malade ; sans discuter ces chiffres, celui qui les admet peut ajouter : La probabilité pour que le malade soit visité et guéri par le médecin est, pour moi,
1 n X s — 1 fi •
Celui qui accepte, en effet, les probabilités -j^ et j est, par définition, dans le même doute que si, en présence de dix urnes indiscernables dont neuf renlerment une boule blanche et deux boules noires, il cherchait la probabilité pour mettre la main sur l'une des neuf uines dont la composition est connue el en tirer une houle blanche. L'identité des deux pioblèmes est admise ; elle fait partie de l'énoncé. Si on allègue l'impossibilité de mesurer en
rjIAP. II. — PHOBABILITÉS TOTALKS ET COMPOSÉES. 27
chiffres les probiibililés dont nous parlons, l'objection serait aussi peu fondée que si, évaluant la longueur d'un cbam|) d'ap[)arence rectangulaire à 3oo"' et la largeur à loo"', on contestait le droit d'ajouter, indépendatnnient de loiile vérification, ces mesures, si douteuses qu'elles soient, et ces appréciations assignent au cliamp une surface de Irois hectares.
La règle des probabilités totales et celle des probabilités composées s'appliqueront à loiiles les combinaisons de piobabilités simples '5U|)posées évaluées en nombres. L'évaluation sera plus ou moins judicieuse, plus ou moins justifiée, les conséquences vaudront ce qu'elle vaut elle-même, mais sans introduire aucun doute nouveau.
Les précautions presciiles dans l'application des deux principes sont indispensables, bien entendu, quand on les transporte aux cas nouveaux.
Il ne faudrait pas dire, pai- exemple :
La pi'obabilité pour (pie la Seine soit gelée à Paris en i()95 est la somme des probabilités pourcpTelle soit gelée pendant chacun des mois qui comf)Osent l'année.
Elle peut geler, en ellet, en plusieurs mois didercnts, et ('23) l'application du principe des probabilités totales n'est pas permise.
Si l'on a évalué la probabilité pour qu'il gèle demain à |, celle pour (^u'il tombe de la neige a ^, la probabilité pour voir à la l'ois de la glace et de la neige n'est pas -^7. La gelée, en eflél, si elle se présent*,', change la probabilité de la neige.
Nous citerons trois exemples intéressants d'erreurs commises par l'oubli de ces conditions nécessaires dans l'énoncé des principes.
27. pROBLJîME XV. — On tire à la cible. U arme, sans être parfaite, ne présente aucun défaut systématique; les déviations ont en tous sens même probabilité. L'hypothèse est-elle réalisable ? On le suppose.
Quelle est la probabilité pour que le point frappé soit à une distance du but comprise entre r et -\- dri
Les données sont insuffisantes, cela semble évident. On a résolu cependant le problème par une fausse application des principes.
CALCUL DES PROBABILITES.
Rapportons le poinl où frappe la balle à deux axes de coordonnées ajant pour origine le centre de la cible, c'est-à-dire le point que l'on veut atteindre. Soient 'f{^) dx la probabilité inconnue pour que l'abscisse du point frappé tombe entre x el x -^ dx, z>(y)dj- la probabilité pour que l'ordonnée tombe entre y et y -+- dy. La probabilité pour que la balle frappe le rectangle dx dy^ dont les coordonnées sont x ety. est, d'après le principe des probabilités composées,
Cette probabilité, d'après notre hypothèse, ne doit dépendre que de la distance du point frappé à l'origine, et l'on doit avoir
Cette équation suffit pour déterminer la fonction cp. On en déduit, en |)renanl les dérivées successivement par rapport à x et
1 r ■ o'ix) , I, ,
La traction — — - — - est par conséquent consianle, et 1 on en conclut
37 cp(a7) ' '
que la fonction C2(.r), qui doit s'annuler (piand x est infini, est de la foime
^{x) = Ge -^•'•'■\
Ce résultat, fort remarquable, n'est pas, malheureusement, acceptable.
La connaissance de la valeur de x changerait, en effet, la probabilité de celle de y et le (acteur par lequel il faudrait multiplier '-o{x)dx^ pour obtenir la probabilité d'un écart jk dans un sens, associé à un écart x dans l'autre, serait une fonction inconnue de X et de )', très différente peut-être de ©(jk). |
J^a déviation de la balle dépend, en effet, du soin plus ou moins grand et plus ou moins habile avec lequel le coup a été préparé. Si l'on a réussi sous un certain point de vue, il y a plus de chances pour que le coup soit bon et (|uc tous les écarts soient petits en même temps. La démonstration précédente ne tient aucun compte
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de celle ren)ar(|ue ; les probabilités j sonl traitées comme indépendaiiies.
28. Un physicien juslemenl célèbre, Maxwell, a proposé dans l'élude des gaz un raisonnement dont l'illusion est semblable.
Les molécules d'un gaz, suivant une théorie que nous n'avons pas à discuter, se meuvent en tous sens avec de grandes vitesses. Les directions sont réglées par le hasard aussi bien que les vitesses, mais toutes les vitesses ne sont pas également probables; la vitesse maxima et la vitesse moyenne varient avec la température. C'est la probabilité pour qu'une molécule ail une vitesse donnée qu'on espère découvrir, sans introduire d'autres conditions.
Soit 'Z)(x) la probabilité pour que la composante parallèle à l'axe des X de la vitesse d'une molécule prise au hasard soit x. La probabilité pour que les trois composantes soient ■^,y-, z parallèlement aux trois axes sera, d'après le théorème des probabilités composées, proportionnelle à
cp(a7) o(jk) '^iz).
Mais la probabilité p()ur(|u'une molécule ait une vitesse donnée, sans que l'on indique dans quel sens, doit être une fonction de celte vitesse, puisque toutes les directions sonl supposées également possibles. On doit donc avoir
et cette condition suffit pour déterminer la forme de la fonction'^. On en déduit, comme (27),
cp(.r)= Ge-*'-''.
La démonstration n'est pas acceptable. Le principe des probabilités composées n'a pas été correctement appliqué. Si la composante de la vitesse d'une molécule parallèlement à l'axe desXestj?, la valeur de x supposée connue influe sur la probabilit»' pour que la vitesse composée parallèlement à l'axe des Y soil y. Si, par exemple, x est égal à la vitesse maxima, le mouvement est certainement dirigé parallèlement à l'axe des X, et la probabilité de j est nulle.
3o CALCUL DES PROBABILITÉS.
La conclusioD obtenue, indépendamment des objections que la théorie peut faire naître, ne mérite donc aucune confiance.
29. On pourrait multiplier les exemples ; nous en citerons un troisième :
Un météorologiste annonce chaque soir le temps qu'il fera le lendemain. La probabilité pour qu'il pronostique juste est supposée égale à p.
Un second observateur fait, de son côté, des prédictions dont l'exactitude a pour probabilité/?'.
Les deux observateurs s'accordent pour prédire qu'd pleuvra demain. Quelle est la |)rol)abililé pour (pi'ils se trompent tous les deux?
La probabilité pour que le premier se trompe est i — p.
La probabilité pour cpie le second se trompe est i — p' .
La probabilité pour qu'ils se trompent tous les deux est une probabilité composée, mais «die n'est pas mesurée par le produit
La probabilité com|)Osée est le produit de (i — p') par la probabilité pour que le second observateur se trompe, quand on sait que le premier a fait un faux pronostic.
Les données du problème laissent cette probabilité complètement inconnue.
Si les deux observateurs ont reçu les mêtnes leçons, s'ils ont adopté les mêmes principes, en présence des mêmes faits ils porteront le même jugement. Si l'un se trompe, l'autre se ti'ompera aussi; le second facteur du produit sera l'unité. L'accord certain des deux |)rédictions ne diminue pas la chance d'erreur.
Si les deux méthodes sont différentes, les conclusions pourront l'être aussi, sans pour cela devenir indépendantes. Certains symptômes sont nécessairement appréciés de la même manière, et leur nombre inconnu laisse le problème insoluble.
Si l'un des météorologistes annonce qu'il pleuvra, l'autre qu'il ne pleuvra pas, la probabilité pour qu'ils disent juste tous deux n'est pas pp' : elle est nulle.
30. Problème XVL — Une urne contient trois boules marquées I, 2 et 3. On en tire deux successivement, en remettant
