II

On peut avoir brelan en effet quelle que soit la première carte; la probabilité pour avoir une première carte est ~, celle pour que la deuxième soit de même espèce que la première est -j^, et pour que la troisième soit de même espèce que les deux autres la probabilité est -j^.

Cette probabilité /?< calculée pour un premier joueur à qui l'on donnerait trois cartes, sans s'occuper des autres, convient à l'un quelconque des trois, car la manière de distribuer les cartes est indifférente.

Lorsqu'un premier joueur a brelan, la probabilité pour qu'un second l'ait aussi est changée. Il faut d'abord que la première carte rende le brelan possible. La probabilité est {j, car elle ne

ClIAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 33

doit pas être celle qui complète le brelan déjà fait; pour que la deuxième carte soit pareille à la première, la prohabilité est A, et pour que la troisième soit pareille aux deux autres elle est -4. Ou en conclut

les autres formules se démontrent de la même manière.

P^J P2, Pz^ Pi sont des probabilités totales. Si l'on représente par TD< la probabilité pour que ; joueurs désignés aient des brelans et qu'ils soient seuls à en avoir, on aura les relations

, ^ (/'i^^ii /"s = T03 -f- TO; , p, = 77T., -r- 2 7^3 ^ 7TT.,

( /Di = cTi -I- 3 7^2 -i- 3 TîTj -t- rn^.

Il est clair, en eflTel, que la probabilité pour qu'un joueur ait ' brelan se compose de la probabilité m, pour qu'il l'ait seul de la probabilité 3^2 pour qu'il l'ait en même temps que l'un ou l'autre de ses adversaires, de la probabilité 3m.^ pour qu'il l'ait avec deux d'entre eux, ce qui fait trois cas, et de la probabilité ra^ pour que les quatre joueurs aient brelan.

On déduit des équations (i)

^\— P\~ "ip-i -t- 3/>.i — />i

et, par conséquent,

TÎTi = 0,000000639, THs = 0,00001 29 j8,

ro.2 = o,ooo386244i

TUl = 0,016345764.

La probabilité pour qu'il n'v ait aucun brelan est Q = (i-R,)(i — R-2)(i-R,)(i-Ri),

II, étant la probabilité d'avoir brelan pour le joueur de rang i <juand les précédents n'en ont pas.

On a évidt'mment

ï^i==^ii R.j = Toi -h nr^, Ro = TO| -t- •2TO2 -H TO3,

R[ = Toi -+- 3 TO2 -h 3 TO3 -i- TO^ ,

La probabilité R^ pour que le quatrième joueur ait brelan, les autres ne l'ayant pas, ne diflere pas en effet de nr,.

Rs, probabilité pour que le troisième joueur ait brelan, les deux premiers ne l'ayant pas, est une probabilité totale. R peut avoir brelan tout seul, la probabilité est ro, ; ou l'avoir en même temps que le quatrième joueur, la prohabilité estm^. Les autres formules se justifient par des raisons semblables.

On en conclut

Kl =/>!= 0,017554,

R:i = P\ 2/02-l-/?3= 0,Ol678'2,

Rj = Pi— ipz-h 3/>3 — />4= 0,1634576,

3i2. PuoBLÈME XVIIL — Quelle est la probabilité de la chance favorable réservée au banquier dans le jeu de trente et quarante?

Le jeu de trente et quarante se joue avec un grand nombre de cartes, réunion de divers jeux complets mêlés en un seul, bien euU-ndu.

On abat une à une assez de cartes pour obtenir une somme de points supéiieure à 3o, les figures étant comptées pour 10 et les autres cartes pour le nombre de points qui s'y trouvent marqués.

Une sect)nde épreuve suit la piemièie. |

Le hasard donne ainsi deux sommes toutes deux plus grandes que 3o et égales au plus à 40.

Le joueur parie pour celle des deux sommes qu'il choisit et gagne si elle est plus grande que l'aulre.

Si les sommes sont égales, le coup est nul. Ln seul cas esL excepté, celui où l'on a deux fois 3i.

Ce refait de 3i est le seul avantage réservé au banquier; il a droit, dans ce cas, à la moitié des mises.

Nous supposerons le nombre des cartes assez grand pour que, pendant les deux premiers lirages, on puisse négliger l'influence des cartes sorties sur les probabilités des divers points. S'il y a huit jeux, par exemple, et par conséquent trente-deux sept, la