CHAI». II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES
sortie d'un sepl diminue la probabilité d'en voir sortir un second. ]1 serait difficile de dire quelles sont les caries dont la sortie accroît ou diminue la probabilité du refait de 3i. Nous néglio-erons cette très petite influence.
Soit V„ la probabilité pour que, en abattant su» cessivemenl les cartes, la somme prenne à un certain moment la valeur n.
La somme i ne peut se produire qu'au premier coup, si l'on abat un as. La probabilité pour cela est jij ; on a
La somme 2 peut se produire de deux manières : 2 au premier coup; as au premier, as air second. On a
La somme 3 peut se produire de trois manières : 3 au premier coup; passer par la somme 2 obtenue en une ou en deux fois et la faire suivre dun as; commencer par un as, puis amener un 2.
On en déduit
On a, en général, tant que /i est inférieure 10,
i3 lô ij - ,3
On trouve ainsi
Pi = 0,076927,
Pr.= 0,1 084 65, Pg = 0,1 11424, Pt= 0,117995,
Pu = 0,139166.
A partir du point lo, les conditions changent; quatre cartes différentes, en effet, les dix et les trois figures, peuvent amener dix points. On a
P,„= 4-^- 4(Pi+P2+P3-t-...-t-P9) = o,38o64i. 1 3 i3
Au-dessus de n = lo, la formule évidente
donn(
Pl3= 0,129613, P24 = 0,147362,
Pn = o,i343o4, P25= 0,149543,
P, 5= 0,139398, P26= 0,l5ll92,
Pj-= 0,147143, P28= 0,154272,
Pjs = 0,151978, P29 = o,i55382,
Pl9=0,l56021, P3o= 0,168488,
P21 = o,i4oc)33,
La probabilité d'obtenir 3i étant P3,, celle de l'obtenir deux fois est
Poisson, dans un Mémoire de lecture difficile, a trouvé, pour valeur approchée de la probabilité du refait de 3i,
Il tient compte de l'influence des cartes déjà passées sur la probabilité de celles qui suivent et suppose huit jeux réunis. L'influence est petite, on le voit par la concordance du résultat exact du calcul fait en supposant le nombre des jeux infini avec le résultat approché de l'autre.
Il ne faut pas croire que l'influence augmente lorsque, le jeu continuant, les cartes deviennent moins nombreuses. Il s'agit, en effet, de calculer Vavantage du banquier et non son bénéfice,
CHVP. II. — PIIOBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 3y
variable avec le hasard des coups. Le calcul doit être fait avant que la première carte soit abattue ; si l'on doit, avant d'épuiser les huit jeux, faire cinquante tailles, les probabilités de la cinquantième sont, à ce moment, identiquement les mêmes que celles de la première.
Les cartes sorties n'auraient d'influence que si un joueur avait assez de mémoire pour se les rappeler toutes, et assez d'habileté pour calculer en quelques secondes leur influence sur la probabilité d'un refait. Le mérite serait grand, l'avantage bien petit.
33. Problème XIX. — Est-il avantageux pour le ponte ou pour le banquier de demander une carte au jeu du baccarat quand il a le point 5?
L'élude mathématique du jeu de i)nccarat est compliquée par la nécessité d'énumérer les cas, toujours nombreux, en faisant pour chacun un petit calcul.
Le ponte reçoit deux cartes, le banquier en prend deux. Le ponte a droit de demander une carte qui s'adjoint aux deux premières, ou de s'y tenir en gardant son jeu.
Le banquier a les mêmes droits, mais il a l'aviinlage, avant de prendre sa décision, de savoir si l'adversaire a demandé une carte et de connaître celle qu'il a reçue.
Chaque carte vaut, comme au trente et quarante, le nombre des points marqués sur elle. Les figures valent lo. Le gagnant est celui qui a le point le plus fort, les chifl'res des dizaines ne comptant dans aucun cas : i i vaut i ; 12 vaut 2; 28, si l'on a trois cartes, vaut 3.
l^e jeu se termine immédiatement si l'un des joueurs reçoit, quand on donne les cartes, l'un des points 8 ou 9. Il abat et gagne si l'adversaire n'a pas un point meilleur. Dans ce cas, il n'est pas donné de caries nouvelles.
Tous les points, à l'exception de 10 (ou zéro) ont même probabdité quand on donne les cartes : la probabilité de 10 est -^ = 0,1479, celle de chacun des autres 7^^=0,09467. La démonstration ne présente aucune difficulté.
Quand un joueur demande une caite, (|uel que soit le point qu'il ait, il a probabilité -j^ de le conserver en recevant un dix et
probabilité -j^ de le changer pour un quelconque des autres points, qui deviennent tous également probables.
Nous traiterons une seule question.
Lorsque le ponte a reçu le point 5, est-il avantageux pour lui de demander une carte?
11 faut résoudre quatre problèmes :
Le ponte ayant 5 et ne demandant pas de carte, quelle est pour lui la probabilité de gagner et quelle est celle de (aire coup nul, lorsque le banquier, ignorant qu'il a le point 5, sait qu'il a l'habitude, quand il a ce point, de ne pas demander de carte?
Le ponte ayant 5 et ne demandant pas de carte, quelles sont pour lui les probabilités de gagner ou de faire coup nul, lorsque le banquier, ignorant qu'il a le point 5, croit qu'il a l'habitude, quand il a ce point, de demander une carte?
Le ponte ayant f) et demandant une carte, quelles sont pour lui les probabilités de gagner ou de faire coup nul, lorsque le banquier connaît son habitude de demander une carte dans cette circonstance ou lorsqu'il croit savoir qu'il n'en demande pas?
Résolvons le piemier problème.
Le ponte a 5. Le banquier l'ignore. En le voyant s'y tenir, il apprend qu'il a 5, 6 ou 7. Ces trois cas ont chacun pour probabilité \. Huit suppositions peuvent être faites : le banquier peut avoir o, i, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7. Les probabilités des huit hypothèses étaient ^ pour le point o et ^ pour les autres, au moment où les caries ont été données. Mais on n'a pas abattu ; les points 8 et 9 ne sont plus possibles. Les probabilités deviennent
et
Que fera le banquier? S'il a o, i, 2. 3, 4, il prendra une carte.
Il pourra hésiter s'il a 5 ou 6, et il faut résoudre cette question incidente : Dans les circonstances supposées, c'est-à-dire le ponte s'y étant tenu et ayant l'habitude de ne pas tirer à 5, le banquier doit-il tirer à 6? doit-il tirer à 5?
CHVl>. II. — PHOB.VBILITKS TOTALES ET COMPOSÉES. Sq
Nous ferons le calcul pour le cas où le banquier a le point 6 ; il se compose de deux autres :
Quelle est la probabililé de «•aju^ner pour le banquier qui, ayant 6, demande une carte dans les conditions supposées?
Quelle est la probabilité s'il ne demande pas de carte?
Si le bancpiier ne lire pas avant 6, il a probabilité i de perdie le ponte ayant -, | de gagner le ponte ayant 5, j de faire coup nul.
Si le banquier, avant 6, demande une carte, il acquiert la probabilité -p3 d'avoir chacun des neuf points autres que 6 et -j^ d'avoir celui-là.
La probabilité de perdre contre l'adversaire dont le |)oint est 5, 6 ou - doit s'évaluer par l'énuméralioii des cas :
Il y a la probabililé -p^- de perdre av(;i; les points o, i, 2. 3, 4 ! la probabilité yï po"r avoir, avec le point 5, probab ilitt- -^ de faire coup nul et| de perdre ; la probabilité -pj- pour avoir, avec le point 6, probabilité | de gagner, jde faire coup nul et ~ de perdre; probabilité -^ pour acquérir, avec le point -j , probabilité ^ de gagner, j de (aire coup nul ; probabililé ~, enfin de gagner avec le point 8 ou avec le point g.
La probabilité de gagner est, d'après cette énumération,
celle de faire coup nul
